2023届广西壮族自治区玉林市博白县高三模拟考试数学（文）试题含解析

2023届广西壮族自治区玉林市博白县高三模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算，再计算补集得到答案.

【详解】，则.

故选：B

2．设复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得，再利用复数除法即可求得的代数形式.

【详解】，则

，

故选：C.

3．已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（    ）

A．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

B．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

C．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数

D．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数

【答案】D

【分析】根据条形统计图可分别计算出甲、乙的平均数、中位数、极差，从而判断出ACD的正误；根据成绩的分散程度可判断B的正误.

【详解】对于A，甲的成绩的极差为，乙的成绩的极差为，

甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故A错误．

对于B，由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对稳定，

甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故B错误；

对于C，甲的成绩的平均数为，

乙的成绩的平均数为，

甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故C错误；

对于D，甲的成绩的中位数为；乙的成绩的中位数为：，

甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故D正确；

故选：D

4．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知，，则光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由椭圆的性质求解即可

【详解】由题意可知：

，

则，

则光经过的路径长.

故选：B

5．“”是“数列为等差数列”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.

【详解】设，则，，，所以，但数列不是等差数列；

若数列为等差数列，根据等差数列的性质可知，成立.

所以，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件.

故选：C.

6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求导数，利用在上恒成立，分离参数进行求解.

【详解】，因为在区间上单调递增，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上

所以的最小值为1，所以.

故选：B.

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由三视图知几何体为长方体中去掉一个圆锥体，结合棱柱、圆锥的表面积求法求几何体的表面积即可.

【详解】由三视图知：几何体为长方体中去掉一个圆锥体，如下图示，

所以圆锥底面半径为3，母线长为，侧面积为，底面积为，

则几何体的表面积为.

故选：A

8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于说法正确的是（    ）

A．奇函数

B．在上单调递增

C．图象关于点对称

D．图象关于直线对称

【答案】D

【分析】先通过平移求出，然后利用余弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得

函数，

对于A：，为偶函数，A错误；

对于B：当时，，在上单调递减，在上单调递减，B错误；

对于C：，图象不关于点对称，C错误；

对于D：，图象关于直线对称，D正确.

故选：D.

9．在正方体中，下列说法不正确的是（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面垂直

C．三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一

D．直线与直线垂直

【答案】D

【分析】AB选项，根据线线垂直得到线面垂直，进而得到AB正确；C选项，设出棱长，利用正方体体积减去四个三棱锥体积求出三棱锥的体积；D选项，求出异面直线的夹角为，D错误.

【详解】AB选项，因为在正方体中，，，且，平面，

所以平面，

又平面，

所以，

同理可得，，，

因为，平面，

所以平面，所以A，B正确；

D选项，由正方体中的基本关系得到，而三角形是等边三角形，

故与所成角为，故直线与直线所成角为，所以D错误；

C选项，设棱长为1，则四棱锥的体积等于正方体体积减去4个三棱锥的体积，

即，所以三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一，C正确．

故选：D

10．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，化简得到，，代入计算得到答案.

【详解】设，，则，，

即，，，

故，.

故选：D

11．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】利用双曲线的定义及标准方程，得到，，再由及三角形面积公式得到，再由余弦定理代入上述等式得到关于的齐次方程，从而可求得双曲线的离心率.

【详解】∵分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，

∴，，

又∵在中，，

∵，

∴，则，

又，

∴，即，故，解得：，

∵，

∴.

故选：A.

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．

12．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.

【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，

所以切线方程为，

又切线过点，则，整理得.

要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，

即函数图象与直线在R上有3个交点，

设，则，

令，令或，

所以函数在上单调递增，在和上单调递减，

且极小值、极大值分别为，如图，

由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，

即过点的切线有3条.

所以实数a的取值范围为.

故选：B.

二、填空题

13．若x，y满足约束条件，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】作出可行域，即可求目标函数的最小值.

【详解】

作出可行域如上图，根据几何意义可知，

当目标函数的图象经过点时，

有最小值为，

故答案为:.

14．若向量，，且，共线，则______．

【答案】

【分析】根据向量共线的充要条件得出，然后利用向量的坐标运算即可求解.

【详解】因为，共线，所以，解得：，

所以，，

所以，

故答案为：.

15．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙在同一个小组的概率为______．

【答案】/

【分析】先求出5位选手分成两组的分法，再求甲和乙在同一个小组的分法，根据古典概率可得答案.

【详解】设甲乙等5人的代号分别为;

总的分组方法有：,共10种；

甲乙在同一小组的有：共4种；

所以甲和乙在同一个小组的概率为.

故答案为：.

16．已知三棱锥 中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为______．

【答案】

【分析】将三棱锥补成直三棱柱，直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，确定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圆半径，进而求得三棱锥外接球半径，即可得答案.

【详解】因为，，

所以在中，根据余弦定理可得：，

即．所以，

所以∠ABC=120°，所以底面是顶角为120°的等腰三角形．

由题意将三棱锥补成如图所示的直三棱柱，

则该直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，

且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上．

设外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R，

由正弦定理得，，

所以，，

所以三棱锥外接球的体积为，

故答案为：

三、解答题

17．卡塔尔世界杯期间，为了解某地观众对世界杯的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，将卡塔尔世界杯期间累计收看比赛超过20场的观众称为“体育迷”，不超过20场的观众称为“非体育迷”，下面是根据调查结果绘制的列联表：

(1)根据已知条件，你是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？

(2)在“体育迷”当中，按照男､女比例抽取5人，再从5人当中随机抽取3人进行访谈，求至少抽到2名男性的概率．

附：．

【答案】(1)有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；

(2)

【分析】（1）计算的值，根据 与的大小判断；

（2）由分层抽样知抽取男性3人，女性2人，由古典概型求至少抽到2名男性的概率．

【详解】（1）因为，

所以有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．

（2）由于“体育迷”中，男女比例为，故抽取的5人中有3位男性用表示，2位女性用表示．

从这5人中随机抽取3人，可能的情况共有以下10种：

，，

其中至少抽到2位男性的情况有以下7种：

，

所以概率为．

18．已知数列的前项和为，，；数列中，，．

(1)求数列﹑的通项公式和；

(2)设，求数列的前项和；

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据，作差得到，再结合，即可得到为等比数列，从而求出的通项，再根据得到为等差数列，即可求出其通项；

（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）因为，，

所以当时，

当时，所以，

即，又，

所以是以为首项、为公比的等比数列，所以；

又，，所以，即是以为首项、为公差的等差数列，

所以.

（2）由（1）可得，

所以，

，

所以

，

所以.

19．如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面，，，，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求到平面的距离

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接和，通过证明，即可证明结论；

（2）连接，取中点，连接.通过证明面，面，可得，，后由等体积法可得答案.

【详解】（1）证明：取中点，连接和.

∵为中点，∴且.

∵且，

∴且.

∴四边形为平行四边形，则.

∵面，面，∴面.

（2）连接，取中点，连接.

则等边中，，.

∵面面，面面，

面，∴面，∴.

∵，面，面，，

∴面，，.

∴

因直角梯形中，连接，则，，

∴

∴，，，

∴

∴

设到面的距离为，则，解得.即到面的距离为.

20．已知函数，且曲线在点处的切线方程为．

(1)求a，b的值，并求函数的单调区间；

(2)证明：．

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）先利用切线方程求出，再利用导数判断函数的单调性；

（2）利用分析法转化为只需证明.利用导数判断单调性，求出的最小值，判断出，即可证明.

【详解】（1）的定义域为(0,+∞)，,则.

又,则曲线在点处的切线方程为,即,

所以解得：.

所以,且.

令,解得：；令,解得：.

所以的单调递减区间为,单调递增区间为.

（2）由（1）知,x>0.则要证，只需,只需.

令,则.

令,则，所以在(0,+∞)上单调递增.

而，所以存在唯一的,使得.

当时,单调递减；当时, 单调递增.

所以

所以,即.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4) 利用导数证明不等式．

21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线1与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）设抛物线C的方程为，根据题意得到，求得，即可

求得抛物线C的方程；

（2）设､，联立方程组得到，求得，化简抛物线方程，结合导数的几何意义求得点和点处的切线方程，联立方程组求得点的坐标和到直线的距离，得出的面积，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，设抛物线C的方程为，

因为直线经过抛物线C的焦点，

所以，解得，

所以抛物线C的方程为.

（2）解：设､，

联立方程组，整理得，

因为，且，，

所以，

由，可得，则，

所以抛物线经过点的切线方程是，

将代入上式整理得，

同理可得抛物线C经过点B的切线方程为，

联立方程组，解得，所以，

所以到直线的距离，

所以的面积，

因为，所以，

即当时，，所以面积的最小值为.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为 （为参数），直线的普通方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求与的极坐标方程；

(2)在极坐标系中，射线与，分别交于点A，B（异于极点），若，求的值．

【答案】(1)的极坐标方程为；的极坐标方程为.

(2)

【分析】（1）消去参数得的直角坐标方程，再根据互化公式可得的极坐标方程；根据互化公式可得的极坐标方程；

（2）联立极坐标方程求出两点的极径，代入可求出结果.

【详解】（1）由消去参数得，即，

由，得，得，

所以的极坐标方程为.

将，代入，得，

所以的极坐标方程为.

（2）由，得，所以，

由，得，即，

所以，

所以，又，所以.

23．已知函数.

(1)求的值域；

(2)若的最大值为m，正实数工x，y，z满足，求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）写出的分段形式，结合各区间的定义域求值域即可.

（2）由（1）得，再应用柯西不等式证明不等式，注意等号成立条件.

【详解】（1）当时，，

当时，，

当时，，

综上，的值域为.

（2）由（1）知：，则，

∴由柯西不等式得：，即，当且仅当时，取等号.