专题06三角函数与解三角形（选择填空题）-学生及教师版

专题06三角函数与解三角形（选择填空题）

1．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，若函数在区间上无零点，则正数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围为___________．

4．已知函数在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间上存在，满足；②在区间有且仅有1个最大值点；③在区间上单调递增；④的取值范围是，其中所有正确结论的编号是

A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④

5．记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为__________．

6．记的内角，，的对边分别为，，，已知角，，则角（    ）

A． B． C． D．

7．在中，，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

8．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（    ）

A． B． C． D．

9．的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为_________．

10．定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形.已知在平面凸四边形中，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知，， 则（    ）

A． B． C． D．

12．若，则（    ）

A． B． C． D．

13．已知，则___________.

14．赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼成，现连接，当正方形的边长为1且其面积与正方形的面积之比为1∶5时，___________.

15．若，则______．

16．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.

17．矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点，，处测得铜雕顶端处仰角分别为，，，且，则四门通天的高度为（    ）

A． B． C． D．

18．我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合．从后表却行一百二十七步，亦与表末三合．问岛高及去表各几何．这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年．其大意为：测量望海岛的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆，（，，共面，均垂直于地面），使目测点与，共线，目测点与，共线，测出，，，即可求出岛高和的距离（如图）．若，，，，则海岛的高（    ）

A．18 B．16 C．12 D．21

19．已知函数.若存在，使不等式成立，则整数的值可以为______.（写出一个即可）.

20．函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

①的图象关于直线对称

②的图象关于点对称

③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象

④若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

A．①④ B．②④ C．③④ D．②③

21．将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是

A． B． C． D．

22．记函数的最小正周期为．若，且的图象的一条对称轴为，关于该函数有下列四个说法：

①；

②；

③在上单调递增；

④为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度．

以上四个说法中，正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

23．已知函数，关于函数有如下四个命题：

①的最小正周期是；

②若在处取得极值，则；

③把的图象向右平行移动个单位长度，所得的图象关于坐标原点对称；

④在区间上单调递减，则的最小值为．

其中真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

24．如图，一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.如果过点作一条直线分别交，于点，，并沿直线裁掉，则剩下的四边形面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

25．潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化，人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻（单位：小时）与对应水深（单位：米）的函数关系式为.某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长时间不超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要及时驶入深水区域，则该船第一次停止卸货的时刻为______.

26．在中，D是BC边的中点，且，，，则的形状为（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．无法确定

27．已知函数，若函数在上单调递减，则不能取（    ）

A． B． C． D．

28．的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

参考答案：

1．B

【分析】根据题意得，由得，由在上恰有2个零点，得 ，即可解决.

【详解】由题可知，，

先将函数的图象向右平移个单位长度，得，

再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，

当时，，

因为在上恰有2个零点，

所以，解得.

所以的取值范围为，

故选：B

2．D

【分析】由的范围可得的范围，根据函数无零点可构造不等式组求得的范围（含整数），根据大小关系和为正数可确定的取值，进而得到的准确范围.

【详解】，

当时，，

在上无零点，，

解得，令，解得，

又，，解得，，又，或；

当时，；当时，，

正数的取值范围为.

故选：D.

3．

【分析】由题意求出，由题意结合正弦函数性质列出不等式，求得答案.

【详解】当时，则，则，

要使在区间上恰有两个零点，

则，解得，

即的取值范围是，

故答案为：．

4．B

【分析】对①，，则为最大值减最小值，需要找到在上是否存在最大值和最小值；对②，对应的值有可能在上；对④，由在区间上有且仅有2个根，得，求出的范围；对③，由的范围，确定的范围，进而确定的单调性.

【详解】，

，

令，则，

由题意在上只能有两解和，

，（*）

因为上必有，

故在上存在满足，①成立；

开对应的（显然在上）一定是最大值点，

因对应的值有可能在上，故②结论错误；

解（*）得，所以④成立；

当时，，

由于，

故，

此时是增函数，从而在上单调递增. 所以③成立

综上，①③④成立，

故选：B.

【点睛】本题考查函数与方程，考查三角函数的性质，属于较难的题目.

5．14

【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的极小值点，即可求出的取值，从而得解；

【详解】解： 因为所以最小正周期，

又所以，即；

又为的极小值点，所以，解得，因为，所以当时；

故答案为：14

6．C

【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得与的关系，进一步计算得出结果.

【详解】已知角，，

由正弦定理可得，

整理得，即，

因为，所以，所以.

又，所以.

故选：C.

7．B

【分析】由余弦定理可得表达式，结合可得答案.

【详解】，因为，所以.

又，所以的范围是.

故选：B

8．C

【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得、，利用余弦定理化简计算即可求解.

【详解】由，得，

由成等差数列，得，

由余弦定理，得，

即，

整理，得，由得，

由得.

故选：C.

9．##

【分析】由题意可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】由可得：，则，

由余弦定理可得，

因此，.

故答案为：.

10．A

【分析】根据给定条件，求出，再确定的范围，利用正弦定理结合正弦函数的性质求解作答.

【详解】在中，由余弦定理得：，

显然，即，，

在中，，，因为为平面凸四边形，则有，

因此，而，

由正弦定理得：，

当时，，当时，，

因此，，即，

所以的取值范围是.

故选：A

【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

11．A

【分析】由三角函数两角和公式求出，再根据三角函数的二倍角公式，并利用同角三角函数的关系构造齐次式，即可求解.

【详解】解：，解得，

，

故选：A.

12．C

【分析】先由诱导公式求出的值，再利用拆分角求得结果.

【详解】由，

得.

故选：C.

13．##

【分析】利用诱导公式化简已知等式求得，对所求式子再次利用诱导公式和二倍角余弦公式即可求得结果.

【详解】，，

.

故答案为：.

14．.

【分析】根据图形，由面积可得出直角三角的三边长，求出角的三角函数，利用求解.

【详解】由题意得，，故直角三角形斜边为，

设直角三角形中较短直角边长为，如图中，则较长直角边长为，

如图中,

则由勾股定理可得，解得，

，

，,

.

故答案为：.

15．

【分析】利用降幂公式，将所求式子化简，再结合已知条件，即可求出答案.

【详解】解：由降幂公式得：，

又∵

∴.

故答案为：

【点睛】本题考查了降幂公式和诱导公式，属于基础题.

16．

【分析】设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.

【详解】设，因为，，，

所以，，，.

在中，，

即①.，

在中，，

即②，

因为，

所以①②两式相加可得：，解得：，

则，

故答案为：.

17．B

【分析】设的投影为，且，利用锐角三角函数表示出、、，再在和中分别用余弦定理得到方程，解得即可.

【详解】解：设的投影为，且，在中，，

所以，

在中，，所以，

在中，，所以，

在和中分别用余弦定理得，

解得或（舍去），即四门通天的高度为.

故选：B

18．A

【分析】由题可得，，结合条件即得.

【详解】由题可知，，

所以，，又，，，，

所以，，

解得，.

故选：A.

19．(答案不唯一)

【分析】先应用二倍角公式及辅助角公式化简求出的最值,再结合存在不等式成立,求出整数的值即可.

【详解】因为，

化简得，

因为,所以,即得,即，

若存在，使不等式成立，则，

所以,所以与中的任选一个即可.

故答案为：.

20．B

【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论．

【详解】解：由函数的图象可得，由，解得，

又函数过点，所以，，

又，得，所以函数，

当时，，即的图象关于点对称，故②正确；

当时，，故①错误；

将函数的图象向左平移个单位长度得到，故③错误；

当，则，

令，解得，此时，即，

令，解得，此时，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为方程在上有两个不相等的实数根，即与在上有两个交点，

所以，故④正确；

故选：B

21．B

【分析】由已知求得，再由已知得函数的最小正周期为，求得，结合对任意恒成立列关于的不等式组求解．

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，

再将所得的图象向下平移一个单位长度，得，

又的图象与直线相邻两个交点的距离为，得，即．

∴，当时，，

∵，，

∴，解得，∴的取值范围是，故选B．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．

22．B

【分析】利用周期公式求出的范围可判断①；由为一条对称轴得，结合的范围可求得，从而得出的解析式，求值可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用三角函数图象平移的规律可判断④.

【详解】由且，故，故①错误；

因为为一条对称轴，故，．由于，故，则，所以，故②正确；

当时，，则在上单调递增，故③正确；

将的图象向右平移个单位长度得的图象，而，故④错误．

所以，正确的有②③，共2个．

故选：B．

23．C

【分析】由题可得，根据余弦函数的图象和性质可判断①②，根据图象变换规律及三角函数的性质可判断③，根据函数的单调性可得，然后根据对勾函数的性质可判断④.

【详解】因为，

所以的最小正周期是，故①正确；

若在处取得极值，则，即，又，故，故②错误；

把的图象向右平行移动个单位长度，可得，

因为，故函数为奇函数，图象关于坐标原点对称，故③正确；

由，可得，又在区间上单调递减，

则，即，根据对勾函数的性质可知，故④正确；

所以真命题的个数为3.

故选：C.

24．A

【分析】分析可将问题转化为求面积的最小值，利用正弦定理及基本不等式即可解决.

【详解】设

则

=

化简得：

，当且仅当，即时取得等号，故

而

当面积的最小时，剩下的四边形面积的最大为

故选：A

【点睛】本题考察平面图形的面积最值，可转化为求三角形面积最值，一般情况都可以转化为利用基本不等式或者同一变量的函数值域问题，属于压轴题.

25．6时

【分析】令船底与海底距离为，则，化简后求导判断单调性，从而确定当时，，即可求解.

【详解】令船底与海底距离为，则，

所以，所以，

又，，

所以，

所以当或时，当时，

所以在上单调递增；在上单调递减.

又因为，

所以当时，；当时，

所以该船第一次停止卸货的时刻为6时.

故答案为：6时

26．C

【分析】分别在和中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到，然后在中，由余弦定理判断.

【详解】解：在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

两式相加得，则，，

在中，由余弦定理得，

所以是钝角三角形，

故选：C

27．A

【分析】化简，得，求出函数的单调递减区间为，再根据，得，，再分别令，，，求出整数，由此可得答案.

【详解】因为

，

由，，

得，，

所以函数的单调递减区间为.

又函数在上单调递减，所以，

所以，，因为，所以，，

当时，得，得，不成立；所以不可取；

当时，得，得，因为，所以时，可取到；

当时，得，得，因为，所以时，可取到；

当时，得，得，因为，所以时，可取到.

综上所述：不能取.

故选：A

28．A

【分析】根据正弦、余弦定理可得，结合即可求解.

【详解】因为，由正弦定理得.又，

所以.因为，

所以，故.

故选：A.