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2023年湖北省武汉市中考数学一模试卷 （含解析）
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这是一份2023年湖北省武汉市中考数学一模试卷 （含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉市中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数3的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
2．（3分）“一箭双雕”这个事件是（ ）
A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定性事件
3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．吉 B．祥 C．如 D．意
4．（3分）计算（3a4）2的结果是（ ）
A．3a8 B．6a8 C．9a8 D．9a6
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）1个不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和3个白球，从中摸出1个球不放回，再摸出1个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m＝3，n2+n＝3，那么代数式3n2﹣mn﹣3m的值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．9
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：这组数据的中位数是 ．
一分钟跳绳个数（个）
141
142
144
145
146
学生人数（名）
3
2
2
1
2
13．（3分）计算的结果是 ．
14．（3分）一艘在南北航线上的测量船，在点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东45°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是 （结果保留整数）．（参考数据：，）
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1.4
0
1
2.4
y
﹣1.4
2.4
5
2.4
①a＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③﹣1.4是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
④当﹣1＜x＜2.4时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
以上结论正确的是 （填序号）．
16．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝10，，E是AB的中点，F是边CD上一点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CF的长是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠A＝60°，∠C＝50°，求∠BED的大小．
19．（8分）某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了a名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为A，B，C，D四个小组，并制作了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
平均每天课外阅读时间频数分布表
小组
时间（小时）
频数
A
0≤t＜0.5
10
B
0.5≤t＜1
20
C
1≤t＜1.5
b
D
t≥1.5
c
请根据图表中的信息解答下列问题．
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）该校现有1200名学生，请估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
20．（8分）如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点D．
求证：
（1）DE＝BD；
（2）若sin∠BAC＝，，求DE的长．
21．（8分）如图是由小正方形组成的12×11网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点A，B，C的圆交△ADE于点F，点G在DE上，其中D，G是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在AD的下方画出正方形ADMN；
（2）画出圆心O；
（3）画出的中点P；
（4）画出线段AE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段AQ．
22．（10分）某商场经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，表记录的是某三周的有关数据．
x（元/件）
50
60
70
y（件）
1000
900
800
（1）求y关于x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）若某周该商品的销售量不少于700件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润；
（3）规定这种商品的售价不超过进价的2倍，若商品的进价每件提高m元（m＞0）时，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．
23．（10分）如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动．
（1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小；
（2）如图1，若C是FG的中点，求证：CH＝DH；
（3）如图2，若AE＝2，EF＝3，设EB＝x，CG2＝y，直接写出y与x的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）．
24．（12分）如图，抛物线经过（0，0）和（﹣4，0）两点，直线AB：y＝kx+b交抛物线于A，B两点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若k＜0，b＝﹣4，△AOB的面积是，求k的值；
（3）如图2，若∠AOB是直角，求原点O到AB距离的最大值．
2023年湖北省武汉市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数3的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：实数3的相反数是﹣3．
故选：D．
2．（3分）“一箭双雕”这个事件是（ ）
A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定性事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：“一箭双雕”这个事件是随机事件，
故选：C．
3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．吉 B．祥 C．如 D．意
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
4．（3分）计算（3a4）2的结果是（ ）
A．3a8 B．6a8 C．9a8 D．9a6
【分析】直接根据积的乘方计算即可得出结果．
【解答】解：（﹣3a4）2＝9a8．
故选：C．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
【解答】解：从左边看，是一列两个小正方形．
故选：B．
6．（3分）1个不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和3个白球，从中摸出1个球不放回，再摸出1个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有9种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有9种，
∴两次都摸出白球的概率为＝＝，
故选：D．
7．（3分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故选：D．
8．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴图象在一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴或，
解得a＞1或a＜﹣1，
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴，
无解，
故选：D．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过D点作DH⊥AB于H点，连接OE、OF，如图，先根据切线的性质得到OE⊥CD，根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C＝60°，CD∥AB，则OE⊥AB，再判断四边形OEDH为矩形得到DH＝OE＝6，DE＝OH，接着计算出AH＝2，所以OH＝DE＝6﹣2，通过证明△OAF为等边三角形得到∠AOF＝60°，所以∠EOF＝30°，然后根据梯形的面积公式、扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S梯形AOED﹣S△AOF﹣S扇形EOF进行计算即可．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H点，连接OE、OF，如图，
∵⊙O与DC相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，CD∥AB，
∴OE⊥AB，
∵DH⊥AB，
∴四边形OEDH为矩形，
∴DH＝OE＝AB＝6，DE＝OH，
在Rt△ADH中，∵∠A＝60°，
∴AH＝DH＝×6＝2，
∴OH＝OA﹣AH＝6﹣2，
∴DE＝OH＝6﹣2，
∵OA＝OF，∠A＝60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴∠EOF＝90°﹣60°＝30°，
∴图中阴影部分面积＝S梯形AOED﹣S△AOF﹣S扇形EOF
＝×（6﹣2+6）×6﹣×62﹣
＝36﹣15﹣3π．
故选：A．
10．（3分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m＝3，n2+n＝3，那么代数式3n2﹣mn﹣3m的值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．9
【分析】由m2+m＝3，n2+n＝3，可得n2＝3﹣n，m、n是关于x的方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，故m+n＝﹣1，mn＝﹣3，把所求式子变形再整体代入可算得答案．
【解答】解：∵m2+m＝3，n2+n＝3，
∴n2＝3﹣n，m、n是关于x的方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，
∴3n2﹣mn﹣3m
＝3（3﹣n）﹣（﹣3）﹣3m
＝9﹣3n+3﹣3m
＝12﹣3（m+n）
＝12﹣3×（﹣1）
＝12+3
＝15，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是 5 ．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：＝|﹣5|＝5．
12．（3分）某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：这组数据的中位数是 143 ．
一分钟跳绳个数（个）
141
142
144
145
146
学生人数（名）
3
2
2
1
2
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的中位数是第5、6个数据的平均数，而这两个数据分别为142、144，
所以这组数据的中位数是＝143，
故答案为：143．
13．（3分）计算的结果是 ．
【分析】先把异分母分式通分成同分母分式，再利用同分母分式加减法进行计算．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝，
故答案为：．
14．（3分）一艘在南北航线上的测量船，在点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东45°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是 11海里 （结果保留整数）．（参考数据：，）
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意可得：AC＝30海里，∠CAB＝30°，∠DCB＝45°，然后设DB＝x海里，分别在Rt△ADB和Rt△DBC中，利用锐角三角函数的定义求出AD，CD的长，最后根据AD+DC＝AC，列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意得：AC＝30海里，∠CAB＝30°，∠DCB＝45°，
设DB＝x海里，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝x（海里），
在Rt△DBC中，DC＝＝x（海里），
∵AD+DC＝AC，
∴x+x＝30，
∴x＝15﹣15，
∴BD＝15﹣15≈11（海里），
∴海岛B离此航线的最近距离是11海里，
故答案为：11海里．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1.4
0
1
2.4
y
﹣1.4
2.4
5
2.4
①a＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③﹣1.4是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
④当﹣1＜x＜2.4时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
以上结论正确的是 ①③④ （填序号）．
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.2，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①由图表中数据可得出抛物线开口向下，a＜0；
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝1.2，
∴当x≥1.2时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
③∵x＝1.4时，y＝1.4，
∴1.4是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故③正确；
④∵x＝﹣1.4时，ax2+bx+c＝﹣1.4，
∴x＝﹣1.4时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵x＝2.4时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，
∴当﹣1＜x＜2.4时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故④正确．
故答案为：①③④．
16．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝10，，E是AB的中点，F是边CD上一点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CF的长是 ．
【分析】过点A作关于EF的对称点A′，连接AA′，EA′，过点C作CG⊥AB于点G，根据折叠的性质可知AE＝A′E＝5，∠AEF＝∠A′EF，根据三角形三边关系可得A′C＞CE﹣A′E，以此得到当点A′在CE上时，A′C取得最小值，此时A′C＝CE﹣A′E，设AA′交EF于点H，tan∠B＝，可设CG＝3x，BG＝4x，根据勾股定理建立方程，求得CG＝6，BG＝8，则EG＝3，再根据勾股定理求得，于是可得∠CFE＝∠AEF＝∠FEC，根据等边对等角即可解答．
【解答】解：如图，过点A作关于EF的对称点A′，连接AA′，EA′，过点C作CG⊥AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，AB＝10，
∴BC＝AB＝10，AB∥CD，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AE＝AB＝5，
根据折叠的性质可知，AE＝A′E＝5，∠AEF＝∠A′EF，
在△A′CE中，A′C＞CE﹣A′E，
∴当点A′在CE上时，A′C取得最小值，此时A′C＝CE﹣A′E，
当点A′在CE上时，如图，设AA′交EF于点H，
在Rt△BGC中，BC＝10，tan∠B＝＝，
∴设CG＝3x，BG＝4x（x＞0），
在Rt△BCG中，BG2+CG2＝BC2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
解得：x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
∴CG＝6，BG＝8，
∴EG＝BG﹣BE＝8﹣5＝3，
在Rt△CEG中，CE＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠AEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF＝．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 x＞﹣3 ；
（2）解不等式②，得 x≤3 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ﹣3＜x≤3 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得x＞﹣3；
（2）解不等式②，得x≤3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是﹣3＜x≤3．
故答案为：x＞﹣3，x≤3，﹣3＜x≤3．
18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠A＝60°，∠C＝50°，求∠BED的大小．
【分析】（1）根据BE是△ABC的角平分线，客车∠DBE＝∠EBC，根据DE∥BC，可得∠DEB＝∠EBC，进一步即可得证；
（2）根据三角形内角和定理，可得∠ABC的度数，根据角平分线的定义可得∠EBC的度数，根据平行线的性质可得∠BED的度数．
【解答】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DB＝DE．
（2）解：∵∠A＝60°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠BED＝∠EBC＝35°．
19．（8分）某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了a名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为A，B，C，D四个小组，并制作了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
平均每天课外阅读时间频数分布表
小组
时间（小时）
频数
A
0≤t＜0.5
10
B
0.5≤t＜1
20
C
1≤t＜1.5
b
D
t≥1.5
c
请根据图表中的信息解答下列问题．
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）该校现有1200名学生，请估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
【分析】（1）根据B组的频数和所占的百分比，可以求得a的值，然后即可计算出b、c的值；
（2）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
【解答】解：（1）a＝20÷40%＝50，
c＝50×10%＝5，
b＝50﹣10﹣20﹣5＝15，
∴a＝50，b＝15，c＝5；
（2）1200×＝480（名），
答：估计该校有480名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
20．（8分）如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点D．
求证：
（1）DE＝BD；
（2）若sin∠BAC＝，，求DE的长．
【分析】（1）连接BE．根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC．根据圆周角定理得到∠CAD＝∠CBD．求得∠BAE＝∠CBD．根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OC，DC，OD，OD交BC于点F．根据等腰三角形的判定定理得到BD＝DC，推出OD垂直平分BC．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC，
又∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠CBD+∠EBC，
∴∠BED＝∠DBE，
∴BD＝DE；
（2）解：连接OC，DC，OD，OD交BC于点F，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝DC，
∴OD垂直平分BC．
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴BD＝10，
∴DE＝10．
21．（8分）如图是由小正方形组成的12×11网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点A，B，C的圆交△ADE于点F，点G在DE上，其中D，G是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在AD的下方画出正方形ADMN；
（2）画出圆心O；
（3）画出的中点P；
（4）画出线段AE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段AQ．
【分析】（1）根据正方形的定义画出图形；
（2）由题意AC速度直径，取AC的中点O即可；
（3）利用网格特征，作OP⊥AF交⊙O于点P，点P即为所求；
（4）设AE交⊙O于点J，连接JO，延长JO交⊙O于点R，连接AR，延长AR交MN的延长线于点Q，线段AQ即为所求．
【解答】解：（1）如图，正方形ADMN即为所求；
（2）如图，点O即为所求；
（3）如图，点P即为所求；
（4）如图，线段AQ即为所求．
22．（10分）某商场经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，表记录的是某三周的有关数据．
x（元/件）
50
60
70
y（件）
1000
900
800
（1）求y关于x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）若某周该商品的销售量不少于700件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润；
（3）规定这种商品的售价不超过进价的2倍，若商品的进价每件提高m元（m＞0）时，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法即可求解；
（2）设这周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据某周该商品的销售量不少于700件可得x的取值范围，再根据“利润＝（售价﹣进价）×销售量”得出w关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值即可；
（3）根据题意可得w＝（﹣10x+1500）（x﹣30﹣m）＝﹣10x2+（1800+10m）﹣1500（30+m），该抛物线a＜0，对称轴为直线x＝，当x≤时，以此得到该商场每周销售这种商品的利润才随售价的增大而增大，再由这种商品的售价不超过进价的2倍可得不等式≥2（30+m），以此即可求解．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（50，1000）（60，900）分别代入，
可得，
解得：
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣10x+1500；
（2）设这周该商场销售这种商品获得的利润为w，
∵某周该商品的销售量不少于700件，
∴﹣10x+1500≥700，
解得：x≤80，
w＝y（x﹣30）＝（﹣10x+1500）（x﹣30）＝﹣10（x﹣90）2+36000，
∵a＜0，在对称轴直线x＝90的左侧，函数值w随自变量x的增大而增大，
∵x≤80，
∴x＝80时，w有最大值，最大值为﹣10（80﹣90）2+36000＝35000；
∴这周该商场销售这种商品获得的最大利润为35000元；
（3）若商品的进价每件提高m元（m＞0）时，则进价为（30+m）元，
w＝y（x﹣30﹣m）＝（﹣10x+1500）（x﹣30﹣m）＝﹣10x2+（1800+10m）﹣1500（30+m），
∵a＜0，抛物线对称轴为直线x＝＝，
∴当x≤时，该商场每周销售这种商品的利润才随售价的增大而增大，
∵这种商品的售价不超过进价的2倍，
∴≥2（30+m），
解得：m≤20，
∴0＜m≤20．
23．（10分）如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动．
（1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小；
（2）如图1，若C是FG的中点，求证：CH＝DH；
（3）如图2，若AE＝2，EF＝3，设EB＝x，CG2＝y，直接写出y与x的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）．
【分析】（1）利用AAS证明△AEB≌△BFC，得AE＝BF，则CF＝BF，即可得出答案；
（2）分别延长AG与BC交于点P．首先利用ASA得出△PCG≌△BCF，得PC＝BC，再利用AAS证明△ADH≌△PCH，得DH＝CH；
（3）在EF上取点P，使EP＝AE，连接PC，交FG于K，连接AC，利用△EAB∽△PAC，得∠AEB＝∠APC＝90°，可知点C在PK上运动，其中PF＝KF＝1．过点G作GM⊥PQ于点M，过点M作MN⊥EF于点N，过点C作CR⊥EF于点R，表示出CM和GM的长，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是矩形，
∴AB＝BC，AE＝GF，∠E＝∠F＝∠ABC＝90°．
又∵∠EBA+∠FBC＝∠BCF+∠FBC＝90°，
∴∠EBA＝∠BCF．
∴△AEB≌△BFC（AAS）．
∴AE＝BF．
∴GF＝BF．
∴∠FBG＝∠BGF＝45°；
（2）证明：如图1，分别延长AG与BC交于点P．
∵∠PGC＝∠BFC＝90°，CG＝FC，∠PCG＝∠BCF，
∴△PCG≌△BCF（ASA），
∴PC＝BC．
∵AD＝BC，
∴AD＝PC．
又∵∠ADH＝∠PCH＝90°，∠AHD＝∠PHC，
∴△ADH≌△PCH（AAS）．
∴DH＝CH；
（3）解：在EF上取点P，使EP＝AE，连接PC，交FG于K，连接AC，AC，
则△AEP和△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAP＝∠BAC，，
∴∠BAE＝∠PAC，
∴△EAB∽△PAC，
∴∠AEB＝∠APC＝90°，
∴点C在PK上运动，其中PF＝KF＝1．
如图2，过点G作GM⊥PQ于点M，过点M作MN⊥EF于点N，过点C作CR⊥EF于点R，
∵∠APE＝45°，
∴CR＝PR，
由（1）知，CR＝EB，
则PR＝CR＝EB＝x，
∵CK＝1，∠CKM＝45°，
∴，，．
∴．
24．（12分）如图，抛物线经过（0，0）和（﹣4，0）两点，直线AB：y＝kx+b交抛物线于A，B两点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若k＜0，b＝﹣4，△AOB的面积是，求k的值；
（3）如图2，若∠AOB是直角，求原点O到AB距离的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）如图1，设直线AB交y轴于点P，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，设A，B两点的横坐标分别为xa，xb．根据△AOB的面积是可得xb﹣xa＝，联立方程组可得，即可得求解；
（3）如图2，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，证明△AOM∽△BON，根据相似三角形的性质得，联立方程组得x2﹣2（k﹣2）x﹣2b＝0，由根与系数的关系得m+n＝2k﹣4，mn＝﹣2b．求得直线AB的解析式为y＝kx+4k+2，则直线AB经过定点P（﹣4，2），连接OP，过点O作AB的垂线，垂足为Q，即可得原点O到AB距离的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+n经过（0，0）和（﹣4，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式是y＝x2+2x；
（2）如图1，设直线AB交y轴于点P，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，设A，B两点的横坐标分别为xa，xb．
∵△AOB的面积是，S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP，
∴OP•（xb﹣xa）＝，
∵直线AB：y＝kx+b交抛物线于A，B两点．k＜0，b＝﹣4，
∴OP＝4，
∴xb﹣xa＝，
联立方程组得x2﹣2（k﹣2）x+8＝0，
∴，，
∴，即，
∵k＜0，
∴k＝﹣；
（3）如图2，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，
∴∠AMO＝∠ONB＝90°，∠AOM+∠OAM＝90°，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠OAM＝∠BON，
∴△AOM∽△BON，
∴，
设A，B两点坐标分别为，，
则，
化简得，
联立方程组得x2﹣2（k﹣2）x﹣2b＝0，
∴m+n＝2k﹣4，mn＝﹣2b．
∴，
∴b＝4k+2，
∴直线AB的解析式为y＝kx+4k+2，即y＝k（x+4）+2，
故直线AB经过定点P（﹣4，2），
连接OP，过点O作AB的垂线，垂足为Q，则，
故原点O到AB距离的最大值是．
2023年湖北省武汉市中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数3的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
2．（3分）“一箭双雕”这个事件是（ ）
A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定性事件
3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．吉 B．祥 C．如 D．意
4．（3分）计算（3a4）2的结果是（ ）
A．3a8 B．6a8 C．9a8 D．9a6
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）1个不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和3个白球，从中摸出1个球不放回，再摸出1个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m＝3，n2+n＝3，那么代数式3n2﹣mn﹣3m的值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．9
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：这组数据的中位数是 ．
一分钟跳绳个数（个）
141
142
144
145
146
学生人数（名）
3
2
2
1
2
13．（3分）计算的结果是 ．
14．（3分）一艘在南北航线上的测量船，在点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东45°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是 （结果保留整数）．（参考数据：，）
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1.4
0
1
2.4
y
﹣1.4
2.4
5
2.4
①a＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③﹣1.4是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
④当﹣1＜x＜2.4时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
以上结论正确的是 （填序号）．
16．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝10，，E是AB的中点，F是边CD上一点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CF的长是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠A＝60°，∠C＝50°，求∠BED的大小．
19．（8分）某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了a名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为A，B，C，D四个小组，并制作了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
平均每天课外阅读时间频数分布表
小组
时间（小时）
频数
A
0≤t＜0.5
10
B
0.5≤t＜1
20
C
1≤t＜1.5
b
D
t≥1.5
c
请根据图表中的信息解答下列问题．
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）该校现有1200名学生，请估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
20．（8分）如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点D．
求证：
（1）DE＝BD；
（2）若sin∠BAC＝，，求DE的长．
21．（8分）如图是由小正方形组成的12×11网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点A，B，C的圆交△ADE于点F，点G在DE上，其中D，G是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在AD的下方画出正方形ADMN；
（2）画出圆心O；
（3）画出的中点P；
（4）画出线段AE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段AQ．
22．（10分）某商场经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，表记录的是某三周的有关数据．
x（元/件）
50
60
70
y（件）
1000
900
800
（1）求y关于x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）若某周该商品的销售量不少于700件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润；
（3）规定这种商品的售价不超过进价的2倍，若商品的进价每件提高m元（m＞0）时，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．
23．（10分）如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动．
（1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小；
（2）如图1，若C是FG的中点，求证：CH＝DH；
（3）如图2，若AE＝2，EF＝3，设EB＝x，CG2＝y，直接写出y与x的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）．
24．（12分）如图，抛物线经过（0，0）和（﹣4，0）两点，直线AB：y＝kx+b交抛物线于A，B两点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若k＜0，b＝﹣4，△AOB的面积是，求k的值；
（3）如图2，若∠AOB是直角，求原点O到AB距离的最大值．
2023年湖北省武汉市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数3的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：实数3的相反数是﹣3．
故选：D．
2．（3分）“一箭双雕”这个事件是（ ）
A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定性事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：“一箭双雕”这个事件是随机事件，
故选：C．
3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．吉 B．祥 C．如 D．意
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
4．（3分）计算（3a4）2的结果是（ ）
A．3a8 B．6a8 C．9a8 D．9a6
【分析】直接根据积的乘方计算即可得出结果．
【解答】解：（﹣3a4）2＝9a8．
故选：C．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
【解答】解：从左边看，是一列两个小正方形．
故选：B．
6．（3分）1个不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和3个白球，从中摸出1个球不放回，再摸出1个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有9种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有9种，
∴两次都摸出白球的概率为＝＝，
故选：D．
7．（3分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故选：D．
8．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴图象在一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴或，
解得a＞1或a＜﹣1，
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴，
无解，
故选：D．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过D点作DH⊥AB于H点，连接OE、OF，如图，先根据切线的性质得到OE⊥CD，根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C＝60°，CD∥AB，则OE⊥AB，再判断四边形OEDH为矩形得到DH＝OE＝6，DE＝OH，接着计算出AH＝2，所以OH＝DE＝6﹣2，通过证明△OAF为等边三角形得到∠AOF＝60°，所以∠EOF＝30°，然后根据梯形的面积公式、扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S梯形AOED﹣S△AOF﹣S扇形EOF进行计算即可．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H点，连接OE、OF，如图，
∵⊙O与DC相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，CD∥AB，
∴OE⊥AB，
∵DH⊥AB，
∴四边形OEDH为矩形，
∴DH＝OE＝AB＝6，DE＝OH，
在Rt△ADH中，∵∠A＝60°，
∴AH＝DH＝×6＝2，
∴OH＝OA﹣AH＝6﹣2，
∴DE＝OH＝6﹣2，
∵OA＝OF，∠A＝60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴∠EOF＝90°﹣60°＝30°，
∴图中阴影部分面积＝S梯形AOED﹣S△AOF﹣S扇形EOF
＝×（6﹣2+6）×6﹣×62﹣
＝36﹣15﹣3π．
故选：A．
10．（3分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m＝3，n2+n＝3，那么代数式3n2﹣mn﹣3m的值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．9
【分析】由m2+m＝3，n2+n＝3，可得n2＝3﹣n，m、n是关于x的方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，故m+n＝﹣1，mn＝﹣3，把所求式子变形再整体代入可算得答案．
【解答】解：∵m2+m＝3，n2+n＝3，
∴n2＝3﹣n，m、n是关于x的方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，
∴3n2﹣mn﹣3m
＝3（3﹣n）﹣（﹣3）﹣3m
＝9﹣3n+3﹣3m
＝12﹣3（m+n）
＝12﹣3×（﹣1）
＝12+3
＝15，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是 5 ．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：＝|﹣5|＝5．
12．（3分）某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：这组数据的中位数是 143 ．
一分钟跳绳个数（个）
141
142
144
145
146
学生人数（名）
3
2
2
1
2
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的中位数是第5、6个数据的平均数，而这两个数据分别为142、144，
所以这组数据的中位数是＝143，
故答案为：143．
13．（3分）计算的结果是 ．
【分析】先把异分母分式通分成同分母分式，再利用同分母分式加减法进行计算．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝，
故答案为：．
14．（3分）一艘在南北航线上的测量船，在点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东45°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是 11海里 （结果保留整数）．（参考数据：，）
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意可得：AC＝30海里，∠CAB＝30°，∠DCB＝45°，然后设DB＝x海里，分别在Rt△ADB和Rt△DBC中，利用锐角三角函数的定义求出AD，CD的长，最后根据AD+DC＝AC，列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意得：AC＝30海里，∠CAB＝30°，∠DCB＝45°，
设DB＝x海里，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝x（海里），
在Rt△DBC中，DC＝＝x（海里），
∵AD+DC＝AC，
∴x+x＝30，
∴x＝15﹣15，
∴BD＝15﹣15≈11（海里），
∴海岛B离此航线的最近距离是11海里，
故答案为：11海里．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1.4
0
1
2.4
y
﹣1.4
2.4
5
2.4
①a＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③﹣1.4是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
④当﹣1＜x＜2.4时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
以上结论正确的是 ①③④ （填序号）．
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.2，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①由图表中数据可得出抛物线开口向下，a＜0；
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝1.2，
∴当x≥1.2时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
③∵x＝1.4时，y＝1.4，
∴1.4是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故③正确；
④∵x＝﹣1.4时，ax2+bx+c＝﹣1.4，
∴x＝﹣1.4时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵x＝2.4时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，
∴当﹣1＜x＜2.4时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故④正确．
故答案为：①③④．
16．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝10，，E是AB的中点，F是边CD上一点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CF的长是 ．
【分析】过点A作关于EF的对称点A′，连接AA′，EA′，过点C作CG⊥AB于点G，根据折叠的性质可知AE＝A′E＝5，∠AEF＝∠A′EF，根据三角形三边关系可得A′C＞CE﹣A′E，以此得到当点A′在CE上时，A′C取得最小值，此时A′C＝CE﹣A′E，设AA′交EF于点H，tan∠B＝，可设CG＝3x，BG＝4x，根据勾股定理建立方程，求得CG＝6，BG＝8，则EG＝3，再根据勾股定理求得，于是可得∠CFE＝∠AEF＝∠FEC，根据等边对等角即可解答．
【解答】解：如图，过点A作关于EF的对称点A′，连接AA′，EA′，过点C作CG⊥AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，AB＝10，
∴BC＝AB＝10，AB∥CD，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AE＝AB＝5，
根据折叠的性质可知，AE＝A′E＝5，∠AEF＝∠A′EF，
在△A′CE中，A′C＞CE﹣A′E，
∴当点A′在CE上时，A′C取得最小值，此时A′C＝CE﹣A′E，
当点A′在CE上时，如图，设AA′交EF于点H，
在Rt△BGC中，BC＝10，tan∠B＝＝，
∴设CG＝3x，BG＝4x（x＞0），
在Rt△BCG中，BG2+CG2＝BC2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
解得：x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
∴CG＝6，BG＝8，
∴EG＝BG﹣BE＝8﹣5＝3，
在Rt△CEG中，CE＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠AEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF＝．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 x＞﹣3 ；
（2）解不等式②，得 x≤3 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ﹣3＜x≤3 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得x＞﹣3；
（2）解不等式②，得x≤3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是﹣3＜x≤3．
故答案为：x＞﹣3，x≤3，﹣3＜x≤3．
18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠A＝60°，∠C＝50°，求∠BED的大小．
【分析】（1）根据BE是△ABC的角平分线，客车∠DBE＝∠EBC，根据DE∥BC，可得∠DEB＝∠EBC，进一步即可得证；
（2）根据三角形内角和定理，可得∠ABC的度数，根据角平分线的定义可得∠EBC的度数，根据平行线的性质可得∠BED的度数．
【解答】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DB＝DE．
（2）解：∵∠A＝60°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠BED＝∠EBC＝35°．
19．（8分）某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了a名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为A，B，C，D四个小组，并制作了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
平均每天课外阅读时间频数分布表
小组
时间（小时）
频数
A
0≤t＜0.5
10
B
0.5≤t＜1
20
C
1≤t＜1.5
b
D
t≥1.5
c
请根据图表中的信息解答下列问题．
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）该校现有1200名学生，请估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
【分析】（1）根据B组的频数和所占的百分比，可以求得a的值，然后即可计算出b、c的值；
（2）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
【解答】解：（1）a＝20÷40%＝50，
c＝50×10%＝5，
b＝50﹣10﹣20﹣5＝15，
∴a＝50，b＝15，c＝5；
（2）1200×＝480（名），
答：估计该校有480名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
20．（8分）如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点D．
求证：
（1）DE＝BD；
（2）若sin∠BAC＝，，求DE的长．
【分析】（1）连接BE．根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC．根据圆周角定理得到∠CAD＝∠CBD．求得∠BAE＝∠CBD．根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OC，DC，OD，OD交BC于点F．根据等腰三角形的判定定理得到BD＝DC，推出OD垂直平分BC．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC，
又∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠CBD+∠EBC，
∴∠BED＝∠DBE，
∴BD＝DE；
（2）解：连接OC，DC，OD，OD交BC于点F，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝DC，
∴OD垂直平分BC．
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴BD＝10，
∴DE＝10．
21．（8分）如图是由小正方形组成的12×11网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点A，B，C的圆交△ADE于点F，点G在DE上，其中D，G是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在AD的下方画出正方形ADMN；
（2）画出圆心O；
（3）画出的中点P；
（4）画出线段AE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段AQ．
【分析】（1）根据正方形的定义画出图形；
（2）由题意AC速度直径，取AC的中点O即可；
（3）利用网格特征，作OP⊥AF交⊙O于点P，点P即为所求；
（4）设AE交⊙O于点J，连接JO，延长JO交⊙O于点R，连接AR，延长AR交MN的延长线于点Q，线段AQ即为所求．
【解答】解：（1）如图，正方形ADMN即为所求；
（2）如图，点O即为所求；
（3）如图，点P即为所求；
（4）如图，线段AQ即为所求．
22．（10分）某商场经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，表记录的是某三周的有关数据．
x（元/件）
50
60
70
y（件）
1000
900
800
（1）求y关于x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）若某周该商品的销售量不少于700件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润；
（3）规定这种商品的售价不超过进价的2倍，若商品的进价每件提高m元（m＞0）时，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法即可求解；
（2）设这周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据某周该商品的销售量不少于700件可得x的取值范围，再根据“利润＝（售价﹣进价）×销售量”得出w关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值即可；
（3）根据题意可得w＝（﹣10x+1500）（x﹣30﹣m）＝﹣10x2+（1800+10m）﹣1500（30+m），该抛物线a＜0，对称轴为直线x＝，当x≤时，以此得到该商场每周销售这种商品的利润才随售价的增大而增大，再由这种商品的售价不超过进价的2倍可得不等式≥2（30+m），以此即可求解．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（50，1000）（60，900）分别代入，
可得，
解得：
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣10x+1500；
（2）设这周该商场销售这种商品获得的利润为w，
∵某周该商品的销售量不少于700件，
∴﹣10x+1500≥700，
解得：x≤80，
w＝y（x﹣30）＝（﹣10x+1500）（x﹣30）＝﹣10（x﹣90）2+36000，
∵a＜0，在对称轴直线x＝90的左侧，函数值w随自变量x的增大而增大，
∵x≤80，
∴x＝80时，w有最大值，最大值为﹣10（80﹣90）2+36000＝35000；
∴这周该商场销售这种商品获得的最大利润为35000元；
（3）若商品的进价每件提高m元（m＞0）时，则进价为（30+m）元，
w＝y（x﹣30﹣m）＝（﹣10x+1500）（x﹣30﹣m）＝﹣10x2+（1800+10m）﹣1500（30+m），
∵a＜0，抛物线对称轴为直线x＝＝，
∴当x≤时，该商场每周销售这种商品的利润才随售价的增大而增大，
∵这种商品的售价不超过进价的2倍，
∴≥2（30+m），
解得：m≤20，
∴0＜m≤20．
23．（10分）如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动．
（1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小；
（2）如图1，若C是FG的中点，求证：CH＝DH；
（3）如图2，若AE＝2，EF＝3，设EB＝x，CG2＝y，直接写出y与x的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）．
【分析】（1）利用AAS证明△AEB≌△BFC，得AE＝BF，则CF＝BF，即可得出答案；
（2）分别延长AG与BC交于点P．首先利用ASA得出△PCG≌△BCF，得PC＝BC，再利用AAS证明△ADH≌△PCH，得DH＝CH；
（3）在EF上取点P，使EP＝AE，连接PC，交FG于K，连接AC，利用△EAB∽△PAC，得∠AEB＝∠APC＝90°，可知点C在PK上运动，其中PF＝KF＝1．过点G作GM⊥PQ于点M，过点M作MN⊥EF于点N，过点C作CR⊥EF于点R，表示出CM和GM的长，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是矩形，
∴AB＝BC，AE＝GF，∠E＝∠F＝∠ABC＝90°．
又∵∠EBA+∠FBC＝∠BCF+∠FBC＝90°，
∴∠EBA＝∠BCF．
∴△AEB≌△BFC（AAS）．
∴AE＝BF．
∴GF＝BF．
∴∠FBG＝∠BGF＝45°；
（2）证明：如图1，分别延长AG与BC交于点P．
∵∠PGC＝∠BFC＝90°，CG＝FC，∠PCG＝∠BCF，
∴△PCG≌△BCF（ASA），
∴PC＝BC．
∵AD＝BC，
∴AD＝PC．
又∵∠ADH＝∠PCH＝90°，∠AHD＝∠PHC，
∴△ADH≌△PCH（AAS）．
∴DH＝CH；
（3）解：在EF上取点P，使EP＝AE，连接PC，交FG于K，连接AC，AC，
则△AEP和△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAP＝∠BAC，，
∴∠BAE＝∠PAC，
∴△EAB∽△PAC，
∴∠AEB＝∠APC＝90°，
∴点C在PK上运动，其中PF＝KF＝1．
如图2，过点G作GM⊥PQ于点M，过点M作MN⊥EF于点N，过点C作CR⊥EF于点R，
∵∠APE＝45°，
∴CR＝PR，
由（1）知，CR＝EB，
则PR＝CR＝EB＝x，
∵CK＝1，∠CKM＝45°，
∴，，．
∴．
24．（12分）如图，抛物线经过（0，0）和（﹣4，0）两点，直线AB：y＝kx+b交抛物线于A，B两点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若k＜0，b＝﹣4，△AOB的面积是，求k的值；
（3）如图2，若∠AOB是直角，求原点O到AB距离的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）如图1，设直线AB交y轴于点P，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，设A，B两点的横坐标分别为xa，xb．根据△AOB的面积是可得xb﹣xa＝，联立方程组可得，即可得求解；
（3）如图2，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，证明△AOM∽△BON，根据相似三角形的性质得，联立方程组得x2﹣2（k﹣2）x﹣2b＝0，由根与系数的关系得m+n＝2k﹣4，mn＝﹣2b．求得直线AB的解析式为y＝kx+4k+2，则直线AB经过定点P（﹣4，2），连接OP，过点O作AB的垂线，垂足为Q，即可得原点O到AB距离的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+n经过（0，0）和（﹣4，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式是y＝x2+2x；
（2）如图1，设直线AB交y轴于点P，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，设A，B两点的横坐标分别为xa，xb．
∵△AOB的面积是，S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP，
∴OP•（xb﹣xa）＝，
∵直线AB：y＝kx+b交抛物线于A，B两点．k＜0，b＝﹣4，
∴OP＝4，
∴xb﹣xa＝，
联立方程组得x2﹣2（k﹣2）x+8＝0，
∴，，
∴，即，
∵k＜0，
∴k＝﹣；
（3）如图2，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为M，N，
∴∠AMO＝∠ONB＝90°，∠AOM+∠OAM＝90°，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠OAM＝∠BON，
∴△AOM∽△BON，
∴，
设A，B两点坐标分别为，，
则，
化简得，
联立方程组得x2﹣2（k﹣2）x﹣2b＝0，
∴m+n＝2k﹣4，mn＝﹣2b．
∴，
∴b＝4k+2，
∴直线AB的解析式为y＝kx+4k+2，即y＝k（x+4）+2，
故直线AB经过定点P（﹣4，2），
连接OP，过点O作AB的垂线，垂足为Q，则，
故原点O到AB距离的最大值是．
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