2023年湖北省武汉市江岸区中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖北省武汉市江岸区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列事件中是必然事件的是(    )

A. 投掷一次骰子，向上一面的点数是 B. 童威在罚球线上投篮一次，未投中
C. 任意画一个多边形，其外角和是 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

4.  如图是一个空心圆柱体，它的左视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，是一元二次方程的两根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度单位：与无人机上升的时间单位：之间的关系如图所示下列说法正确的是(    )

A. 时，两架无人机都上升了
B. 乙无人机上升的速度为
C. 时，两架无人机的高度差为
D. 时，甲无人机距离地面的高度是

9.  如图，为四边形的内切圆，，，，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有详解九章算法，对数的运算进行了深入研究与总结，类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题已知，为实数，且，，计算可得：，，，由此求得(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

11.  写出一个大于且小于的正无理数______ ．

12.  节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约亿千万人，用科学记数法表示为______ ．

13.  一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，若一次性摸出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于的概率是______ ．

14.  如图，根据热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为，则这栋楼的高度为______

15.  已知函数为实数，下列四个结论：
当时，图象与坐标轴所夹的锐角为；
若，则当时，随着的增大而减小；
不论为何值，若将函数图象向左平移个单位长度，则图象经过原点；
当时，抛物线顶点在第一象限．
其中正确的结论是______ 填写序号

16.  如图，在中，，点是三内角平分线的交点，若，，则的长为______ ．

三、解答题（本题共8小题，共72分）

17.  解不等式组请结合题意完成本题的解答每空只需填出最后结果．

解：解不等式，得________．

解不等式，得________．

把不等式和的解集在数轴上表示出来：
 

所以原不等式组的解集为________．

18.  如图，
若，，求证：；
若，，直接写出的值．

19.  某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了个活动小组每位学生只能参加一个活动小组：音乐；体育；美术：阅读；人工智能为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机抽取了______ 名学生；
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
扇形统计图中圆心角 ______ 度：
若该校有名学生，估计该校参加组阅读的学生人数．

20.  如图，点、、、是上的四个点，．
判断的形状，并证明；
若，求．

21.  如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
如图，作的中点；
如图，在边上找一点，连接，使的面积是面积的倍；
如图，画出点关于的对称点，连接，在射线上取点，使得，画出点．

 

22.  鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面如图和截面示意图如图，攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知，，足球飞行的水平速度为，水平距离水平距离水平速度时间与离地高度的鹰眼数据如表：

假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时， ______ ；
求关于的函数解析式；
守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．

 

23.  如图，在菱形中，，为对角线，点是边延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点．
求证；
若，．
求菱形的面积；
求的值．
若，当的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．

 

24.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的顶
点在抛物线：上，直线与抛物线、分别交于点，．
求的值；
将的纵坐标分别记为，，设，若的最大值为，则的值是多少？
是轴的正半轴上一点，且的中点恰好在抛物线上，试探究：此时无论为何负值，在轴的负半轴上是否存在定点，使总为直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数；掌握其定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、投掷一次骰子，向上一面的点数是，是随机事件，不符合题意；
B、童威在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个多边形，其外角和是，是必然事件，符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据从左边看得到的图形是左视图，看得见的线画实线、看不见的线画虚线，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
【解答】
解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式进行计算，再得出选项即可．
本题合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式等知识点，能熟记合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
图象在第二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
点，，都在反比例函数的图象上，
点在第二象限，点，在第四象限，
，，
，
故选：．
根据反比例函数的性质得出图象在第二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据点的横坐标比较即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：



，
，是一元二次方程的两根，
，
原式，
故选：．
先将所求式子化简，再根据，是一元二次方程的两根，可以得到的值，然后整体代入化简后的式子计算即可．
本题考查根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握运算法则和根与系数的关系是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故选项A错误；
甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故选项B错误；
时，两架无人机的高度差为：，故选项C正确；
时，甲无人机距离地面的高度是，故选项D错误；
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，设与圆的切点为，与圆的切点为，与圆的切点为，与圆的切点为，连接，，，如图，
，
四边形，四边形都是正方形，四边形是矩形，
，，，，共线，
点、、是切点，
，，
设圆半径为，则，，
，，
，
，
解得：，
故选：．
过点作于点，设与圆的切点为，与圆的切点为，与圆的切点为，与圆的切点为，连接，，，得四边形，四边形都是正方形，四边形是矩形，设圆半径为，则，，根据切线长定理和勾股定理列方程即可求解．
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，勾股定理，充分利用切线长定理求解相关线段长度是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
先根据题意求出，进而推出，由此代值计算即可．
本题主要考查了规律型：数字的变化类，多项式乘多项式，正确推出是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：例如、、等．
故答案为：．
写出一个符合条件的无理数就行．
本题考查了无理数，掌握无理数的定义是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有种等可能的情况，其中两个小球标号的和不小于有种，
两个小球标号的和不小于，
故答案为：．
用列表法或树状图法列举出所有可能结果数，从中找出标号的和不小于的结果数，再按等可能事件概率公式计算即可．
本题考查等可能事件概率的求法，熟练掌握列表法和树状图法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，
，
米，
在中，
，
米，
米．
答：这栋高楼的高度为米．
故答案为：．
根据特殊角三角函数列式计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，函数为一次函数，由于系数为，所以图象与坐标轴所夹的锐角不为，故错误；
若，抛物线的对称轴为直线，则当时，随着的增大而减小，故正确；
当函数图象向左平移个单位时，解析式为，则其图象过原点，故正确；
当时，对称轴直线，顶点纵坐标为，故抛物线顶点在第一象限，故正确；
故答案为：．
由一次函数即可判断；根据二次函数的性质即可判断；得到平移后的解析式即可判断；求得顶点坐标即可判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过作的垂线，分别交，于点，点，作交延长线于点，
，，，
≌，
，，
，
，分别平分，，
，
，，
∽∽
：：：，
，，，
，，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
过作的垂线，分别交，于点，点，作交延长线于点，可得≌，推出，，所以再由是三内角平分线的交点可得从而得出∽∽，再根据，，可求得，，从而求出，，再通过解直角三角形，求出最后用勾股定理求出．
本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线定义，及勾股定理的应用，关键是作的垂线，构造相似三角形．
 

17.【答案】解：；； 
解集在数轴上表示如下：

 
． 

【解析】解：解不等式，得．
解不等式，得．
把不等式和的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
；
解：，
∽，
，
． 

【解析】先证明，则根据平行线的判定方法得到，再根据平行线的性质得到，然后根据得到，从而得到结论；
根据相似三角形的判定方法得到∽，然后根据相似三角形的性质求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．
 

19.【答案】   

【解析】解：调查人数：名，
故答案为：；
组的人数：名，
补全条形统计图如下：

扇形统计图中圆心角，
故答案为：；
人，
答：估计该校参加组阅读的学生人数为人．
由组的人数除以所占百分比即可；
求出组的人数，补全条形统计图即可；
由乘以组所占的比例即可；
由该校共有学生人数乘以参加组阅读的学生人数所占的比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，，，
是等边三角形；
过点作交的延长线于点，过点作于点．
，，，
≌，
，，
，
≌，
，
设，则，
，
，
解得，或，
或，或，
或，
的面积或，
综上所述，的面积为． 

【解析】根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明；
过点作交的延长线于点，过点作于点证明≌，推出，，证明≌，推出，设，则，构建方程求解即可．
本题考查的是圆周角定理、等边三角形的判定，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示；点即为所求；
点 即为所求；
点即为所求．
 

【解析】根据平行四边形的性质即可得到结论；
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
作，再过点作，交于，再过格点作的平行线，交于点．
本题考查了作图轴对称作图，线段垂直平分线的性质，正确地作出图形是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等，
抛物线关于对称，
当时，，
时，，
故答案为：．
由知，抛物线关于对称，设，
把代入上述解析式，
，解得，

若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为，且时，足球位于守门员正上方，
则有，解得，
，
代入上述解析式可得，，
解得或．
此过程守门员的最小速度为．
根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；
根据路程先算出当足球在守门员正上方时的时间，进而求出对应的，再代入求出，比较即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意是关键，同时要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
 

23.【答案】证明：如图，四边形是菱形，

，
，
．
解：如图，连结交于点，交于点，

，
，
，，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作，交于点，则为定值，
理由：连结交于点，交于点，
，
当的大小发生变化时，始终都有，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
为定值；
，
． 

【解析】由菱形的性质得，，可证明≌，得，而，所以；
连结交于点，交于点，由，，，根据勾股定理可求得，则，即可由求出菱形的面积；
先由证明，则，所以，再由得，则，即可由，得，可求得，所以，再求出的值即可；
过点作，交于点，由可知，当的大小发生变化时，始终都有，由∽得，所以，同理可得，再证明∽，得，即可求得，说明为定值，再求出的值即可．
此题考查菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意可知，抛物线：的顶点的坐标为，
点在抛物线：上，
，
；

直线与抛物线，分别交于点，，
，，



，
，
当时，的最大值为，
的最大值为，
，解得，
，
．

无论为何负值，在轴的负半轴上存在定点，使总为直角，理由如下：
设点的横坐标为，则，
，
点在轴正半轴上，
且，
，
，．
如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，

，，
，
，
，
∽，
：：，即．
，，，
，
解得．
 

【解析】由抛物线的顶点式可直接得出顶点的坐标，再代入抛物线即可得出结论；
根据题意可分别表达，的纵坐标，再根据二次函数的性质可得出的值；
过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，则∽，设出点的坐标，可表达点和点的坐标，进而可得出结论．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，构造相似得出方程是解题关键．