2022年湖北省武汉市武汉七一中学中考数学模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，在中，，，，点在以斜边为直径的半圆上，点是的三等分点，当点沿着半圆，从点运动到点时，点运动的路径长为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

2．这个数是(    )

A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数

3．据统计，2018年全国春节运输人数约为3 000 000 000人，将3 000 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．0.3×1010    B．3×109    C．30×108    D．300×107

4．下列说法中，正确的是（　　）

A．不可能事件发生的概率为0

B．随机事件发生的概率为

C．概率很小的事件不可能发生

D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次

5．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（  ）

A． B． C． D．

7．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．中位数是9 B．众数为16 C．平均分为7.78 D．方差为2

8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）

A． B． C． D．

9．如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=25cm，则AD的长为（　　）

A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm

10．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．写出一个一次函数，使它的图象经过第一、三、四象限：______．

12．分解因式______．

13．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

根据前面各式的规律，则（a+b）6=                       ．

14．被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻一雀一燕交而处，衡适平并燕、雀重一斤问燕、雀一枚各重几何？”

译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等只雀、6只燕重量为1斤问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为______．

15．因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=_____．

16．一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为- 1，则另一个根为            ．

17．计算（x4）2的结果等于_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）综合与实践﹣﹣旋转中的数学

问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，它们各自对角线的交点重合于点O，连接AA′，CC′．请你帮他们解决下列问题：

观察发现：（1）如图1，若A′B′∥AB，则AA′与CC′的数量关系是______；

操作探究：（2）将图1中的矩形ABCD保持不动，矩形A′B′C′D′绕点O逆时针旋转角度α（0°＜α≤90°），如图2，在矩形A′B′C′D′旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

操作计算：（3）如图3，在（2）的条件下，当矩形A′B′C′D′绕点O旋转至AA′⊥A′D′时，若AB=6，BC=8，A′B′=3，求AA′的长．

19．（5分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）

20．（8分）如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,DE⊥AC．求证: △BDA∽△CED．

21．（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．

（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．

（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．

22．（10分）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．

23．（12分）已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证△ABF∽△EAD.

24．（14分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．

（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；

（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】
根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M的轨迹是以EF为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分两种情况讨论．

【详解】

当点D与B重合时，M与F重合，当点D与A重合时，M与E重合，连接BD，FM，AD，EM，

∵

∴

∵AB是直径

即

∴

∴点M的轨迹是以EF为直径的半圆，

∵

∴以EF为直径的圆的半径为1

∴点M运动的路径长为

当 时，同理可得点M运动的路径长为

故选：A．

【点睛】

本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键．

2、D

【解析】
由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．

【详解】

解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．
故选D．

【点睛】

本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．

3、B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.

【详解】

解：根据科学计数法的定义可得，3 000 000 000=3×109，故选择B.

【点睛】

本题考查了科学计数法的定义，确定n的值是易错点.

4、A

【解析】

试题分析：不可能事件发生的概率为0，故A正确；

随机事件发生的概率为在0到1之间，故B错误；

概率很小的事件也可能发生，故C错误；

投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，D错误；

故选A．

考点：随机事件．

5、B

【解析】试题分析：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．

故选B．

【考点】中心对称图形．

6、D

【解析】

试题分析：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和直径的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和半径的矩形，故答案选D．

考点：D.

7、A

【解析】
根据中位数，众数，平均数，方差等知识即可判断；

【详解】

观察图象可知，共有50个学生，从低到高排列后，中位数是25位与26位的平均数，即为1．

故选A．

【点睛】

本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

8、C

【解析】
设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数＋小马数＝100；②大马拉瓦数＋小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．

【详解】

解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：，

故选C．

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．

9、C

【解析】
首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC=∠DCA，根据等角对等边证明FC=AF，则DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解．

【详解】

∵长方形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAC=∠DCA，

又∵∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠DCA，

∴FC=AF=25cm，

又∵长方形ABCD中，DC=AB=32cm，

∴DF=DC-FC=32-25=7cm，

在直角△ADF中，AD==24（cm）．

故选C．

【点睛】

本题考查了折叠的性质以及勾股定理，在折叠的过程中注意到相等的角以及相等的线段是关键．

10、C

【解析】
连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．

【详解】

解：连接OD，

在Rt△OCD中，OC＝OD＝2，

∴∠ODC＝30°，CD＝

∴∠COD＝60°，

∴阴影部分的面积＝ ，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、y=x﹣1　(答案不唯一)

【解析】

一次函数图象经过第一、三、四象限，则可知y=kx+b中k>0，b<0，由此可得如：y=x﹣1　(答案不唯一).

12、（x+y+z）（x﹣y﹣z）．

【解析】
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题后三项可以为一组组成完全平方式，再用平方差公式即可．

【详解】

x2-y2-z2-2yz，

=x2-（y2+z2+2yz），

=x2-（y+z）2，

=（x+y+z）（x-y-z）．

故答案为（x+y+z）（x-y-z）．

【点睛】

本题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．

13、a2+2a5b+25a4b2+20a3b3+25a2b4+2ab5+b2．

【解析】
通过观察可以看出（a+b）2的展开式为2次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为2、2、25、20、25、2、2．

【详解】

通过观察可以看出（a+b）2的展开式为2次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为2、2、25、20、25、2、2．

所以（a+b）2=a2+2a5b+25a4b2+20a3b3+25a2b4+2ab5+b2．

14、

【解析】
设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可．

【详解】

设雀、燕每1只各重x斤、y斤,根据题意,得

整理,得

故答案为

【点睛】

考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系.

15、

【解析】

mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，

故答案为n(n-m)(m+1).

16、-1.

【解析】
因为一元二次方程的常数项是已知的，可直接利用两根之积的等式求解．

【详解】

∵一元二次方程x2+mx+1=0的一个根为-1，设另一根为x1，

由根与系数关系：-1•x1=1，

解得x1=-1．

故答案为-1.

17、x1

【解析】

分析：直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案．

详解：（x4）2=x4×2=x1．

    故答案为x1．

点睛：本题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）AA′=CC′；（2）成立，证明见解析；（3）AA′=

【解析】
（1）连接AC、A′C′，根据题意得到点A、A′、C′、C在同一条直线上，根据矩形的性质得到OA=OC，OA′=OC′，得到答案；

（2）连接AC、A′C′，证明△A′OA≌△C′OC，根据全等三角形的性质证明；

（3）连接AC，过C作CE⊥AB′，交AB′的延长线于E，根据相似多边形的性质求出B′C′，根据勾股定理计算即可．

【详解】

（1）AA′=CC′，

理由如下：连接AC、A′C′，

∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，∠CAB=∠C′A′B′，

∵A′B′∥AB，

∴点A、A′、C′、C在同一条直线上，

由矩形的性质可知，OA=OC，OA′=OC′，

∴AA′=CC′，

故答案为AA′=CC′；

（2）（1）中的结论还成立，AA′=CC′，

理由如下：连接AC、A′C′，则AC、A′C′都经过点O，

由旋转的性质可知，∠A′OA=∠C′OC，

∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是矩形，

∴OA=OC，OA′=OC′，

在△A′OA和△C′OC中，

，

∴△A′OA≌△C′OC，

∴AA′=CC′；

（3）连接AC，过C作CE⊥AB′，交AB′的延长线于E，

∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，

∴，即，

解得，B′C′=4，

∵∠EB′C=∠B′C′C=∠E=90°，

∴四边形B′ECC′为矩形，

∴EC=B′C′=4，

在Rt△ABC中，AC==10，

在Rt△AEC中，AE==2，

∴AA′+B′E=2﹣3，又AA′=CC′=B′E，

∴AA′=．

【点睛】

本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、矩形的性质是解题的关键．

19、（1）商家一次购买这种产品1件时，销售单价恰好为2800元；（2）当0≤x≤10时，y＝700x，当10＜x≤1时，y＝﹣5x2+750x，当x＞1时，y＝300x；（3）公司应将最低销售单价调整为2875元．

【解析】
（1）设件数为x，则销售单价为3200-5（x-10）元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；

（2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2800元，按0≤x≤10，10＜x≤50两种情况列出函数关系式；

（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．

【详解】

（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元．

由题意得：3200﹣5（x﹣10）＝2800，解得：x＝1．

答：商家一次购买这种产品1件时，销售单价恰好为2800元；

（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：

当0≤x≤10时，y＝（3200﹣2500）x＝700x，

当10＜x≤1时，y＝[3200﹣5（x﹣10）﹣2500]•x＝﹣5x2+750x，

当x＞1时，y＝（2800﹣2500）•x＝300x；

（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y随x增大而增大，

函数y＝700x，y＝300x均是y随x增大而增大，

而y＝﹣5x2+750x＝﹣5（x﹣75）2+28125，在10＜x≤75时，y随x增大而增大．

由上述分析得x的取值范围为：10＜x≤75时，即一次购买75件时，恰好是最低价，

最低价为3200﹣5•（75﹣10）＝2875元，

答：公司应将最低销售单价调整为2875元．

【点睛】

本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．

20、证明见解析.

【解析】
不难看出△BDA和△CED都是直角三角形，证明△BDA∽△CED，只需要另外找一对角相等即可，由于AD是△ABC的中线，又可证AD⊥BC，即AD为BC边的中垂线，从而得到∠B=∠C，即可证相似．

【详解】

∵AB是⊙O直径，

∴AD⊥BC，

又BD=CD，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∠ADB=∠DEC=90°，

∴△BDA∽△CED.

【点睛】

本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用．

21、（1）如图所示见解析；（2）四边形OCED是菱形．理由见解析.

【解析】
（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；
（2）根据图形平移的性质得出AC∥DE，OA=DE，故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA=OB，故DE=CE，由此可得出结论．

【详解】

（1）如图所示；

（2）四边形OCED是菱形．

理由：∵△DEC由△AOB平移而成，

∴AC∥DE，BD∥CE，OA=DE，OB=CE，

∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB，

∴DE=CE，

∴四边形OCED是菱形．

【点睛】

本题考查了作图与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与根据题意作图.

22、证明见解析.

【解析】

【分析】利用AAS先证明∆ABH≌∆DCG，根据全等三角形的性质可得AH=DG，再根据AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH即可证得AG＝HD.

【详解】∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，

∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，

在∆ABH和∆DCG中，

，

∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG，

∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

23、证明见解析

【解析】

试题分析：先利用等角的余角相等得到根据有两组角对应相等，即可证明两三角形相似.

试题解析：∵四边形为矩形，

于点F，

点睛：两组角对应相等，两三角形相似.

24、（1）20%；（2）12.1．

【解析】

试题分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7100（1+x）2本，即可列方程求解；

（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值至少是多少．

试题解析：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得

7100（1+x）2=10800，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）．

答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；

（2）10800（1+0.2）=12960（本）

10800÷1310=8（本）

12960÷1440=9（本）

（9﹣8）÷8×100%=12.1%．

故a的值至少是12.1．

考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；最值问题；增长率问题．