【高考冲刺】2023年四川省高考数学考前冲刺预测模拟：刷题卷02（理科）（解析版）

刷题卷02（理科）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。

1．设，则的虚部为（    ）

A．i B．2i C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据复数的除法法则化简，结合复数的相关概念判断.

【详解】∵，故的虚部为2.

故选：D.

2．设集合，，则＝.

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：要使函数有意义应满足，解得，通过分析可知，函数的值域为，进而可得，所以＝.

考点：1、集合的运算；2、指数函数与对数函数的性质.

3．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质可得解.

【详解】由，

而不一定能得到，例如，，

所以“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

4．已知，且是第一象限角，则

A． B． C．或 D．2或3

【答案】C

【解析】求出的值，利用同角三角函数的关系以及二倍角公式可得，从而可得结果.

【详解】因为

所以或

当时， ；

当时， .

综上，或，故选.

【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先利用余弦定理求出，再由余弦定理计算可得；

【详解】解：由余弦定理，解得.

故.

故选：B

6．已知曲线在点处的切线为，数列的首项为，点为切线上一点，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义可得切线方程，进而可得数列的递推公式，从而可得通项公式及前项和.

【详解】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，

故所求切线的方程为，

所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，

其前项和为．

故选：B．

7．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（    ）

A． B．平面

C． D．是锐角

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.

【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，

则，，

，，

所以，A正确；

因为，平面，平面，

所以平面，B正确；

，

所以，

所以，C正确；

，

当时，，

此时为钝角，故D错误.

故选：D

8．用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有（    ）个

A．120 B．216 C．222 D．252

【答案】D

【分析】按含2个偶数字和含3个偶数字分成两类，每一类插空法而得解.

【详解】完成组成无重复数字的五位数这件事有两类办法：

取2个偶数字，3个奇数字有种，先排3个奇数字，再把所取的2个偶数字插入有种，不同五位数有个；

取3个偶数字，2个奇数字有种，先排3个偶数字，再把所取的2个奇数字插入有种，不同五位数有个；

由分类计数原理知，没有重复数字的五位数共有个.

故选：D

【点睛】关键点睛：有特殊元素的排列组合问题，按含特殊元素的个数多少分类是解决问题的关键.

9．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和．且，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，，由双曲线的定义可得，，在直角三角形中，在中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．

【详解】解：设，，

由双曲线的定义可得，，

由，可得，

在直角三角形中，，①

，②

在中，可得③

由①②可得，，

代入③可得，

即为，

则，

故选：D．

10．三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且平面．若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（　　）

A． B．

C． D．1

【答案】C

【分析】由三棱柱是直三棱柱，底面是直角三角形得外接球球心在侧面的中心，由球表面积得半径后求得棱柱的高，从而可得棱柱体积．

【详解】平面,三棱柱内接球,为距形的中心,

设球半径为,则,即,三棱柱的高,三棱柱的体积,故选：C．

11．已知函数与的图象有两个公共点，则满足条件的周期最大的函数可能为

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由题得是一个偶函数，当

由得，由得，所以函数的增区间是，减区间是，所以函数的草图如下，且.

函数与的图象有两个公共点,

所以，所以函数的最长周期为1-（-1）=2，所以.

所以，故选A.

点睛：本题的关键在于画出函数的图像，求出函数的最小值后，通过分析得到和函数的最长周期为2，从而求出w的值.数形结合是高中数学很重要的一种思想，在解题过程中要灵活运用.

12．若实数，满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对不等式变形得到，换元后得到，构造，求导研究其单调性，极值最值情况，得到，从而只有时，即时，满足要求，从而解出，依次判断四个选项.

【详解】因为，

所以，即，

所以，

令，

则，即，

所以，

令，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以在处取得极大值，也是最大值，

，

要想使得成立，只有时，即时，满足要求，

所以，

由定义域可知：，

解得：，

，A选项正确；

，BC错误.

，D错误；

故选：A.

二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共50分。

13．已知随机变量服从正态分布，则___________.

【答案】

【分析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可.

【详解】解:因为随机变量服从正态分布,

所以正态曲线关于对称,所以.

故答案为:.

【点睛】本题考查了由正态曲线的对称性求概率,属基础题.

14．曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为___________.

【答案】

【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解.

【详解】由，则，即，

∵的斜率，则，

∴，

故实数a的值为.

故答案为：.

15．设是抛物线上的两个不同的点，O为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则直线恒过定点，定点坐标为______．

【答案】

【分析】设 ,，根据题意可得 ,设直线的方程为，代入抛物线方程化简整理并且结合根与系数的关系即可得出答案．

【详解】设,，

因为直线与的斜率之积为，

所以，

解得，

由题意知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，

代入抛物线方程可得，需满足，

所以，解得，满足，

故直线的方程为，

则直线恒过定点，

故答案为∶．

16．已知不等式恒成立，则的最小值为______.

【答案】

【分析】令，求得，求得函数的单调性与最大值，得到，得到，设设，

设，得到，利用导数求得函数最大值，即可求解.

【详解】令，其中，可得，

当时，，此时函数单调递增，无最大值，不符合题意；

当时，令，即，解得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也是最大值，

且，

因为恒成立，即恒成立，

即，可得恒成立，

设，

设，可得，则，

令，即，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也是最大值，且，

所以，即的最小值为.

故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17．在平面四边形中，，，，.

（1）求；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；

（2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出．

【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系

在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以．

［方法2］：余弦定理

在中，，即，解得：，所以，

．

［方法3］：【最优解】利用平面几何知识

如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则．

所以．

［方法4］：坐标法

以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．

设，则．因为，所以．

从而，又是锐角，所以，．

（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理

在，由（1）得，，

，所以．

［方法2］：【最优解】利用平面几何知识

作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得．

【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；

方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；

方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．

方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．

（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．

方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．

18．2021年是“十四五”开局之年，是实施乡村振兴的重要一年.某县为振兴乡村经济，大力发展乡村生态旅游，激发乡村发展活力.该县为了解乡村生态旅游发展情况，现对全县乡村生态旅游进行调研，统计了近9个月来每月到该县乡村生态旅游的外地游客人数（单位：万人），并绘制成下图所示散点图，其中月份代码1~9分别对应2020年7月至2021年3月.

（1）用模型①，②分别拟合与的关系，根据散点图判断，哪个模型的拟合效果最好?（不必说理由）

（2）根据（1）中选择的模型，求关于的回归方程（系数精确到0.01）；

（3）据以往数据统计，每位外地游客可为该县带来100元左右的旅游收入，根据（2）中的回归模型，预测2021年10月，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为多少万元?

参考数据：下表中，.

参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】（1）模型②的拟合效果最好；（2）；（3）3400万元.

【分析】（1）观察点的趋势，得应用含二次根式的函数较好；

（2）根据提供的数据计算出回归方程的系数可得回归方程；

（3）代入（2）中回归方程可得估计值．

【详解】（1）模型②的拟合效果最好.

（2）令，知与可用线性方拟合，则

，，

所以，关于的线性回归方程为，

故关于x的回归方程为.

（3）2021年10月，即时，（万人），

此时，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为3400万元.

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．

(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；

(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【分析】（1）连接，证明BD⊥平面APC，再由平面ABCD，得出平面APC⊥平面ABCD．

（2）作辅助线，利用线面垂直的判定证明PH⊥平面ABCD，以O为坐标原点，建立坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）连接DB交AC于点O，连接PO．

因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O为BD的中点．

因为PB＝PD，所以PO⊥BD．

又因为AC，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．

又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．

（2）取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．

因为，所以△ABD是等边三角形，所以DM⊥AB．

又因为PD⊥AB，，平面PDM，

所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．

由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．

由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，，．

由AP⊥PC，在△APC中，

，所以．

以O为坐标原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，．

设平面PAB的法向量为，

所以，

令得．

设平面PBC的法向量为，

所以，

令得．

设平面PAB与平面PBC的夹角为．

所以，

所以，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．

20．已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，若直线，的斜率均存在，并分别记为，.

(1)求证：为常数；

(2)求面积的最大值.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】（1）设直线的倾斜角分别为，根据，可得，即，求出，从而可得出结论；

（2）利用待定系数法求出椭圆方程，设，，联立方程求出，再根据，化简计算结合基本不等式即可得解.

【详解】（1）设直线的倾斜角分别为，

因为，所以，

即，故，

因为，，所以，所以，

所以，

则，

所以为常数；

（2）椭圆经过，两点，

代入得，解得，

所以椭圆方程为，

设，，由（1）得，

则的方程为，的方程为，

联立，消得，则，

同理可得，

则

令，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以面积的最大值为.

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．

21．已知数列满足，，记．

（1）求和；

（2）证明：．

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】（1）令求出的值，令，由得出，两式相减可得出，再对的值进行验证即可得出数列的通项公式，进而利用等比数列求和公式可得出；

（2）利用导数证明出不等式，可得出，利用不等式的性质可得出，再由进而可证明出结论成立.

【详解】（1）数列满足，.

当时，；

当时，由得，

两式相减得，，

满足，所以，对任意的，.

，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，

因此，；

（2）先证明．

令，则，由.

当时，；当时，.

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，函数取得最大值，即，

当时，.

令，则，化为，

则，，，，

上述不等式全部相加得，则，

，所以，.

【点睛】本题考查利用数列的递推公式求数列的通项公式，同时也考查了等比数列求和以及数列不等式的证明，涉及导数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)求曲线M，N的极坐标方程；

(2)若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．

【答案】(1)；；(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程；

（2）将代入曲线和的方程，求得和 ，结合题意求得，即可求解.

【详解】（1）解：由，可得，即，

又由，可得，

所以曲线M的极坐标方程为．

由，可得，即，

即曲线N的极坐标方程为.

（2）解：将代入，可得，

将代入，可得，

则，

因为，所以，

又因为，所以．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数

(1)当时，求的最小值；

(2)若对，不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)2；

(2)或.

【分析】（1）首先化简得，利用绝对值不等式即可求出的最小值；

（2）利用三元基本不等式求出，再根据绝对值不等式得，则有，解出即可.

【详解】（1）化简得，

当时,,

当时等号成立,所以的最小值为2;

（2）由基本不等式得,

当且仅当,即时,等号成立.

又因为,

当且仅当时,等号成立.

所以,

或

或.