【高考冲刺】2023年四川省高考数学考前冲刺预测模拟：刷题卷02（理科）（解析版）

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刷题卷02（理科）（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。1．设，则的虚部为（    ）A．i B．2i C．1 D．2【答案】D【分析】根据复数的除法法则化简，结合复数的相关概念判断.【详解】∵，故的虚部为2.故选：D.2．设集合，，则＝.A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：要使函数有意义应满足，解得，通过分析可知，函数的值域为，进而可得，所以＝.考点：1、集合的运算；2、指数函数与对数函数的性质.3．已知，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质可得解.【详解】由，而不一定能得到，例如，，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A4．已知，且是第一象限角，则A． B． C．或 D．2或3【答案】C【解析】求出的值，利用同角三角函数的关系以及二倍角公式可得，从而可得结果.【详解】因为所以或当时， ；当时， .综上，或，故选.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用余弦定理求出，再由余弦定理计算可得；【详解】解：由余弦定理，解得.故.故选：B6．已知曲线在点处的切线为，数列的首项为，点为切线上一点，则数列的前项和为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义可得切线方程，进而可得数列的递推公式，从而可得通项公式及前项和.【详解】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，故所求切线的方程为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，其前项和为．故选：B．7．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（    ）A． B．平面C． D．是锐角【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，，，，所以，A正确；因为，平面，平面，所以平面，B正确；，所以，所以，C正确；，当时，，此时为钝角，故D错误.故选：D8．用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有（    ）个A．120 B．216 C．222 D．252【答案】D【分析】按含2个偶数字和含3个偶数字分成两类，每一类插空法而得解.【详解】完成组成无重复数字的五位数这件事有两类办法：取2个偶数字，3个奇数字有种，先排3个奇数字，再把所取的2个偶数字插入有种，不同五位数有个；取3个偶数字，2个奇数字有种，先排3个偶数字，再把所取的2个奇数字插入有种，不同五位数有个；由分类计数原理知，没有重复数字的五位数共有个.故选：D【点睛】关键点睛：有特殊元素的排列组合问题，按含特殊元素的个数多少分类是解决问题的关键.9．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和．且，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，由双曲线的定义可得，，在直角三角形中，在中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．【详解】解：设，，由双曲线的定义可得，，由，可得，在直角三角形中，，①，②在中，可得③由①②可得，，代入③可得，即为，则，故选：D．10．三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且平面．若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（　　）A． B．C． D．1【答案】C【分析】由三棱柱是直三棱柱，底面是直角三角形得外接球球心在侧面的中心，由球表面积得半径后求得棱柱的高，从而可得棱柱体积．【详解】平面,三棱柱内接球,为距形的中心, 设球半径为,则,即,三棱柱的高,三棱柱的体积,故选：C．11．已知函数与的图象有两个公共点，则满足条件的周期最大的函数可能为A． B．C． D．【答案】A【详解】由题得是一个偶函数，当由得，由得，所以函数的增区间是，减区间是，所以函数的草图如下，且.函数与的图象有两个公共点,所以，所以函数的最长周期为1-（-1）=2，所以.所以，故选A.点睛：本题的关键在于画出函数的图像，求出函数的最小值后，通过分析得到和函数的最长周期为2，从而求出w的值.数形结合是高中数学很重要的一种思想，在解题过程中要灵活运用.12．若实数，满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对不等式变形得到，换元后得到，构造，求导研究其单调性，极值最值情况，得到，从而只有时，即时，满足要求，从而解出，依次判断四个选项.【详解】因为，所以，即，所以，令，则，即，所以，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，，要想使得成立，只有时，即时，满足要求，所以，由定义域可知：，解得：，，A选项正确；，BC错误.，D错误；故选：A.二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共50分。13．已知随机变量服从正态分布，则___________.【答案】【分析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可.【详解】解:因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于对称,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了由正态曲线的对称性求概率,属基础题.14．曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为___________.【答案】【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解.【详解】由，则，即，∵的斜率，则，∴，故实数a的值为.故答案为：.15．设是抛物线上的两个不同的点，O为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则直线恒过定点，定点坐标为______．【答案】【分析】设 ,，根据题意可得 ,设直线的方程为，代入抛物线方程化简整理并且结合根与系数的关系即可得出答案．【详解】设,，因为直线与的斜率之积为， 所以，解得，由题意知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，代入抛物线方程可得，需满足，所以，解得，满足，故直线的方程为，则直线恒过定点，故答案为∶．16．已知不等式恒成立，则的最小值为______.【答案】【分析】令，求得，求得函数的单调性与最大值，得到，得到，设设，设，得到，利用导数求得函数最大值，即可求解.【详解】令，其中，可得，当时，，此时函数单调递增，无最大值，不符合题意；当时，令，即，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，且，因为恒成立，即恒成立，即，可得恒成立，设，设，可得，则，令，即，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，且，所以，即的最小值为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17．在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；（2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出．【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以．［方法2］：余弦定理在中，，即，解得：，所以，．［方法3］：【最优解】利用平面几何知识如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则．所以．［方法4］：坐标法以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．设，则．因为，所以．从而，又是锐角，所以，．（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在，由（1）得，，，所以．［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得．【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．18．2021年是“十四五”开局之年，是实施乡村振兴的重要一年.某县为振兴乡村经济，大力发展乡村生态旅游，激发乡村发展活力.该县为了解乡村生态旅游发展情况，现对全县乡村生态旅游进行调研，统计了近9个月来每月到该县乡村生态旅游的外地游客人数（单位：万人），并绘制成下图所示散点图，其中月份代码1~9分别对应2020年7月至2021年3月.（1）用模型①，②分别拟合与的关系，根据散点图判断，哪个模型的拟合效果最好?（不必说理由）（2）根据（1）中选择的模型，求关于的回归方程（系数精确到0.01）；（3）据以往数据统计，每位外地游客可为该县带来100元左右的旅游收入，根据（2）中的回归模型，预测2021年10月，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为多少万元?参考数据：下表中，.232.15603.5884.521.31参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）模型②的拟合效果最好；（2）；（3）3400万元.【分析】（1）观察点的趋势，得应用含二次根式的函数较好；（2）根据提供的数据计算出回归方程的系数可得回归方程；（3）代入（2）中回归方程可得估计值．【详解】（1）模型②的拟合效果最好.（2）令，知与可用线性方拟合，则，，所以，关于的线性回归方程为，故关于x的回归方程为.（3）2021年10月，即时，（万人），此时，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为3400万元.19．如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）连接，证明BD⊥平面APC，再由平面ABCD，得出平面APC⊥平面ABCD．（2）作辅助线，利用线面垂直的判定证明PH⊥平面ABCD，以O为坐标原点，建立坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）连接DB交AC于点O，连接PO．因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O为BD的中点．因为PB＝PD，所以PO⊥BD．又因为AC，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．（2）取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．因为，所以△ABD是等边三角形，所以DM⊥AB．又因为PD⊥AB，，平面PDM，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，，．由AP⊥PC，在△APC中，，所以．以O为坐标原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设平面PAB的法向量为，所以，令得．设平面PBC的法向量为，所以，令得．设平面PAB与平面PBC的夹角为．所以，所以，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．20．已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，若直线，的斜率均存在，并分别记为，.(1)求证：为常数；(2)求面积的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）设直线的倾斜角分别为，根据，可得，即，求出，从而可得出结论；（2）利用待定系数法求出椭圆方程，设，，联立方程求出，再根据，化简计算结合基本不等式即可得解.【详解】（1）设直线的倾斜角分别为，因为，所以，即，故，因为，，所以，所以，所以，则，所以为常数；（2）椭圆经过，两点，代入得，解得，所以椭圆方程为，设，，由（1）得，则的方程为，的方程为，联立，消得，则，同理可得，则令，则，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21．已知数列满足，，记．（1）求和；（2）证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）令求出的值，令，由得出，两式相减可得出，再对的值进行验证即可得出数列的通项公式，进而利用等比数列求和公式可得出；（2）利用导数证明出不等式，可得出，利用不等式的性质可得出，再由进而可证明出结论成立.【详解】（1）数列满足，.当时，；当时，由得，两式相减得，，满足，所以，对任意的，.，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，因此，；（2）先证明．令，则，由.当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，函数取得最大值，即，当时，.令，则，化为，则，，，，上述不等式全部相加得，则，，所以，.【点睛】本题考查利用数列的递推公式求数列的通项公式，同时也考查了等比数列求和以及数列不等式的证明，涉及导数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线M，N的极坐标方程；(2)若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程；（2）将代入曲线和的方程，求得和 ，结合题意求得，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，即，又由，可得，所以曲线M的极坐标方程为．由，可得，即，即曲线N的极坐标方程为.（2）解：将代入，可得，将代入，可得，则，因为，所以，又因为，所以．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若对，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)2；(2)或.【分析】（1）首先化简得，利用绝对值不等式即可求出的最小值；（2）利用三元基本不等式求出，再根据绝对值不等式得，则有，解出即可.【详解】（1）化简得，当时,,当时等号成立,所以的最小值为2;（2）由基本不等式得,当且仅当,即时,等号成立.又因为,当且仅当时,等号成立.所以,或或.