数学（江苏扬州卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析）

这是一份数学（江苏扬州卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析），共28页。试卷主要包含了实数，，0，中最小的数是，下列运算中，正确的是，如图，直线，，，则的度数是，分解因式等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷【江苏扬州卷】
数学·全解全析
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
A
D
C
B
A
A
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．实数，，0，中最小的数是(   )
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据负数小于正数，负数小于0即可得出答案．
【详解】∵，
∴最小的数是．
故选：C
【点睛】本题考查了实数的比较大小，掌握负数小于正数，负数小于0是解题的关键．
2．下列运算中，正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；    
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握运算运算法则是解题的关键．
3．如图，直线，，，则的度数是（    ）

A．85° B．80° C．90° D．100°
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求出，再利用三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知两直线平行，同位角相等，三角形内角和为是解题的关键．
4．已知方程的两个根分别为、，则的值为（    ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别为、，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
5．如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的俯视图是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图是从上向下看的到的图形判断即可．
【详解】解：该立体图形的俯视图是矩形中有一个圆，如图所示，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图，解题关键是明确俯视图的定义，准确进行判断．
6．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
【详解】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
7．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、的长度为半径作弧，交于，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据菱形的性质和勾股定理求出，再求出，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
【详解】解：连接，如图所示：

四边形是菱形，，
，
，
是等边三角形，
点是的中点，
，，
，
同理可得，，
，
，
由勾股定理得，


，
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用解题的关键．
8．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（    ）

A．B．C． D．
【答案】A
【分析】首先利用二次函数图象得出a，b，c的取值范围，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案．
【详解】解：由二次函数开口向上可得：，
对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则，
与y轴的交点在原点下方，则，
∴，，，
故反比例函数的图象分布在第二、四象限，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
观察四个选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a，b，c的取值范围是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负是解题的关键．
10．分解因式：______．
【答案】
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：


故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
11．粮食是人类赖以生存的重要物质基础.2022年我国粮食总产量再创新高，达68653万吨．该数据可用科学记数法表示为 _______________万吨．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：该数据68653万吨用科学记数法表示为万吨．
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
12．为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查．并统计产品的合格情况，下图表示的是A产品的部分质检数据：

估计该厂生产的A产品合格的概率是______．（结果精确到）
【答案】
【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率解答即可．
【详解】解：在大量重复试验的情况下，频率的稳定值作为概率的估计值，即次数越多，频率越接近于概率，则这种幼树移植成活的概率约为
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比及运用样本数据去估计总体数据的基本解题思想．
13．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在的延长线上，以A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F，且弧经过点C，则弧的长为__________．

【答案】
【分析】连接，根据勾股定理求出，求出，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：如图，连接，

则，
弧长．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是，半径为，那么这条弧的长度是．
14．小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是______，中位数是________．

【答案】 1 1
【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．
【详解】根据统计图可知用水量为1的天数为3天，最多，故这周用水量的众数是1；
将这周用水量按从小到大排列为：0.5，1，1，1，1.5，1.5，2，
∴这周用水量的中位数是1．
故答案为：1，1．
【点睛】本题考查众数和中位数的定义．解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数值为众数；按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数为中位数，当数据为偶数个时，为最中间两个数的平均值．
15．如图，在平面直角坐标系中，，且轴于点A，反比例函数的图象经过点C，交于点D，若，则点D的坐标为_____________．

【答案】
【分析】过点作于点，于，则．由，，，可得，设，则，求出t的值即可．
【详解】过点作于点，于，则

，，



，，

设，则，
点、D在图象上

解得：
点，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，关键是熟练运用反比例函数的性质解决问题．
16．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的算式是，根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是_______．

【答案】/
【分析】根据正负数的意义求解即可．
【详解】解：由题意可知：
图2中红色有3根，故为，黑色有6根，故为，
∴图2表示的算式为：．
故答案为：
【点睛】本题考查正负数的意义，解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字．
17．已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________．
【答案】2，，1
【分析】将代入，得，由函数的图象上存在唯一“平衡点”，可得有两个相等的实数根，，求解即可．
【详解】解：将代入，得：
，即，
函数的图象上存在唯一“平衡点”，
有两个相等的实数根，
，
解得：或，
当时，是一次函数，有唯一“平衡点”，
故答案为：2，，1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的特征，新定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一次函数的性质，理解“平衡点”的定义是解题的关键．
18．在边长为的正方形中，点是射线上的动点（不与重合），连接 ，将沿向右翻折得，连接和，若为等腰三角形，则的长为___________．

【答案】或或
【分析】分三种情形画出图形分别求解即可．
【详解】如图所示，

①点F在以A为圆心为半径的圆上，满足条件的点F在线段的垂直平分线上．
作于H，在中，
由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
②当时，在上取一点G，使得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
若以点D为圆心，长为半径作圆与以点A为圆心，长为半径的圆在正方形内的交点为F，过F作，∴，

∴，，
设，
∴，，
由一线三直角易证：，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，

∴
∴可得此时，
综上所述，的长为或或．
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点F的位置，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共10小题，共96分）
19．（1）计算：．
（2）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中所有的点、线都在同一平面内），求证：．

【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角度三角函数值化简，再计算即可；
（2）证明即可．
【详解】（1）解：原式

．
（2）∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了实数的混合运算．根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角度三角函数值化简是解题的关键．
20．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解
【答案】，当时，原式
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：




，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的整数解为：1，2，3，
，，，
，，，
当时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的三个顶点都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线示．

(1)在图中，先在边上找一点，使，再画点关于点对称的点；
(2)在图中，是边上一点，先画的角平分线，再画点关于直线对称的点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形相似比为，可得点的位置，再利用平行线分线段成比例定理即可得到点的位置；
（2）根据等腰三角形的三线合一，作出中线，即为角平分线，再利用等腰三角形的轴对称性即可得出点的位置．
【详解】（1）解：如图，点、即为所求；

理由如下，

取格点，则，
∴，
∴，
取格点，使得，作，
延长交于点，则点即为所求；
（2）如图，、点即为所求．

理由如下，

取格点，使得，取格点，则,
，
∴,
∴是的角平分线,
连接交于点，连接并延长交于点，
∵垂直平分，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴，
即点是点关于直线对称的点．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22．如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架与交于点O，测得，．

(1)若，求的长；
(2)将桌子放平后，要使距离地面的高为，求两条桌腿需叉开角度．
【答案】(1)的长为；
(2)
【分析】（1）先证明，再由相似三角形的性质求出的长即可；
（2）作于E，根据题意，得在中，，由此可以推出，接着可以求出，再根据三角形的内角和即可求出的度数．
【详解】（1）解：由题意得：，




即的长为；
（2）解：作于E．

∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到是解题的关键．
23．随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷．某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据所给的信息解答下列问题；
(1)这次活动共调查了______人；在扇形统计图中表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为______；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】(1)200，
(2)见解析
(3)两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
【分析】（1）用微信支付的人数除以所占的百分比得到调查的总人数，然后用乘以喜欢用微信的人数的百分比得到“微信”支付的扇形圆心角的度数；
（2）先计算出用公交卡和现金支付的人数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一种支付方式的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：（人），
所以这次活动共调查了200人；
在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数；
故答案为：200，；
（2）解：用公交卡支付的人数为（人），
用现金支付的人数为（人），
条形统计图补充为：
；
（3）解：小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果，
所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
24．如图，为的直径，C，D为上两点，连接，，，，线段与相交于点E，过点D作，交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的半径．
【答案】(1)见详解
(2)3
【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意易得，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）解：连接并延长，交于点G，连接，如图所示：

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即
∴，
即的半径为3．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、切线的性质与判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、切线的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，C两点．

(1)求反比例函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是线段上一点，过点P向x轴做垂线段，垂足为Q，连接，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大面积及点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，点C的坐标为
(2)面积存在最大值，最大值为2，点P坐标为
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式，再联立求出点C的坐标即可；
（2）由点P是线段上一点，可设点P坐标为，且，得到，根据二次函数的性质得到时，面积最大，且最大值为2，再求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：反比例函数经过点，
，
反比例函数解析式为，
一次函数的图像过点，
，
∴一次函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，
点C的坐标为；
（2）存在最大值，理由如下：
点P是线段上一点，
设点P坐标为，且，
，，
，
且
时，面积最大，且最大值为2，
当时，，
此时点P坐标为．

【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题、待定系数法、二次函数的最值问题等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
26．为打造校园劳动实践基地，某学校计划在3月份购进甲、乙两种植株进行培育．已知甲植株的单价是乙植株单价的，用900元购买的甲植株数量比用600元购买的乙植株数量多10株．
(1)求甲、乙植株的单价分别是多少元．
(2)该学校决定购买甲、乙两种植株共150株，其中乙植株的数量不超过甲植株数量的，如何购进两种植株才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)甲植株的单价为18元，乙植株的单价为15元
(2)购买甲种植株90株，乙种植株60株费用最低，最低费用是2520元
【分析】（1）设乙植株的单价为元，则甲植株的单价为元，由题意：用900元购买的甲植株数量比用600元购买的乙植株数量多10株，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种植株a株则购进乙种植株株，根据乙种植株的数量不超过甲种  植株的，列出一元一次不等式，求出，再设总费用为W元，则元，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）设乙植株的单价为元，则甲植株的单价为元，由题意得：

解得，，
经检验，是方程的解，并且符合题意，
∴，
∴甲植株的单价为18元，乙植株的单价为15元；
（2）设购买甲种植株a株则购进乙种植株株，总费用为W元，由题意得，
，
解得：；
又：，
，
的值随的增大而增大，
当时，最小，最小值为：，
∴购买甲种植株90株，乙种植株60株费用最低，最低费用是2520元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的该键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确到出一元一次不等式．
27．定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于，．

(1)抛物线的“反碟长”________．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点，抛物线的解析式是________．抛物线的“反碟长”是________．
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）
A．15    B．16    C．24    D．25
③当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点，构成一个等边三角形时（点在点左右），求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；4；②AC；③
【分析】（1）根据定义，令，解方程即可求解；
（2）①根据抛物线的平移，即可求解；令，解方程即可求解；
②由题意可设抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，令，得出抛物线的“反碟长”为，根据抛物线的“反碟长”是一个偶数，是整数，结合选项即可求解；
③由②可知，，过点作于点，则，，根据是等边三角形，得出，即，解方程即可求解．
【详解】（1）解： 令，则或，
∴．
（2）①由题意抛物线的顶点坐标为
∴由平移的性质可得抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为：
②解：由题意可设抛物线的顶点坐标为，
则抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为
∵抛物线的“反碟长”是一个偶数
∴是整数
结合选项可知：当或24时符合题意，故A，C正确．
③解：∵点在直线上
∴可设
由②可知，
∴
过点作于点，

则，
∵是等边三角形
∴
∴
解得：或（不合题意，舍去）
∴点的坐标为
【点睛】本题考查了新定义，二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O．

(1)如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确有_______．（填序号）
①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．
(2)应用提升:如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
【答案】(1)①②③
(2)关系为，证明见解析
(3)①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．证明①的过程见解析
【详解】（1）如图，在图1中，过点O作于点H,于点G

∵于点H, 于点G
∴
∵四边形和都是正方形
∴
∴
∵,
∴
在和中

∴
∴
故①正确
∵
∴
∴
故②正确
∵四边形是正方形
∴
∴
故③正确
（2）关系为，证明如下：
如图，在图2中，过点O作于点H,于点G
∵于点H, 于点G
∴
∵四边形和都是矩形
∴
∵,
∴
在和中

∴
∴
（3）（1）中结论，①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．现证明①如下：
如图，在图3中，过点O作于点H,于点G

∵于点H, 于点G
∴
∵四边形和都是菱形
∴
∴
∵,
∴
在和中

∴
∴