2022-2023学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省厦门市思明区湖滨中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  北京时间年月日晚我国首次火星探测任务“天问一号”探测器在距离地球约处成功实施制动捕获，随后进入环绕火星轨道可用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，，，，则的值为(    )

A.    B.  C.      D.

4.  已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象在(    )

A. 第一，三象限 B. 第二，四象限 C. 第二，三象限 D. 第一，二象限

6.  下列说法中不正确的是(    )

A. 想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查
B. “煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件
C. “打开电视，正在播放新闻联播”是随机事件
D. 一组数据 ，，，， 的方差是

7.  增删算法统宗中记载：今有一房门记为矩形，不知宽与高，长竿横着进门如所示，门的宽度比竿小尺；将竿竖着进门如所示，竿比门长尺；将竿斜着穿过门的对角如所示，恰好进门试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可得方程是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形例如，三角形既有外接圆也有内切圆，所以三角形是双心多边形下列图形中：正方形；长方形；正五边形；六边形其中是双心多边形的有(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在▱中，是的中点，交于点，则与的面积比为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数，经过点当时，的取值范围为或则如下四个值中有可能为的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：______．

12.  式子在实数范围内有意义，的取值范围是        ．

13.  在一个四宫格火锅里有三种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底一种是红汤锅底，服务员将粒丸子随机投入四个宫格中，就餐的小伙伴数了数，结果有粒是清汤味的，估计倒入红汤锅底的宫格数是______ ．
 

14.  如图大坝的横断面，斜坡的坡比：，背水坡的坡比：，若坡面的长度为米，则斜坡的长度为______．

15.  在中，，，，如果以点为圆心，为半径作，那么斜边的中点在 ______填“内”、“上”或者“外”

16.  如图，正方形的顶点在反比例函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过，两点，若，现给出下列结论：，，三点一定在同一直线上；点的横坐标是；点的纵坐标是；点关于直线的对称点一定在函数的图象上．
其中正确的是______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：

18.  本小题分
如图，在菱形中，、分别在边、上，且，
求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
今年是中国共产党成立周年，读党史可以从中汲取继续前进的智慧和力量．月份，某校党委采购了甲和乙两种书籍．已知每本甲种书的价格比乙种书多元，现购买甲种书花了元，购买乙种书花了元，且乙种书的数量为甲种书数量的求每本乙种书的价格．

21.  本小题分
如图，在中，，．
请作出经过、两点的圆，且该圆的圆心落在在线段上尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，已知，将线段绕点逆时针旋转与交于点，试证明：、、三点共线．

22.  本小题分
随着生活水平提高，人们对饮水品质的需求越来越高．某商家现有、、三种型号的甲品牌净水器和，两种型号的乙品牌净水器．
某公司要从甲、乙两种品牌净水器中各选购一种型号的净水器．如果各种选购方案被选中的可能性相等，那么型号净水器被选中的概率是多少？利用树状图或列表法表示；
商家对于购买净水器均有提供配送服务，如图是今年第一季度所购买的家客户配送距离的统计图，求第一个季度该商家平均配送距离；
某商家计划购进，两种型号的净水器共台进行试销试销价格如下表所示，其中型净水器为台，购买资金不超过万元，公司决定从销售型净水器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设某商家售完台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为，求的最大值．

23.  本小题分
知识链接：弹道导弹飞行轨迹可以分为三个阶段．第一阶段：导弹点火后，垂直向上飞行阶段；第二阶段：导弹进入安全预定高度，以曲线路线飞行阶段最高点称为轨道的远地点；第三阶段：发动机熄火后，导弹弹头与弹体分离，以惯性飞向目标阶段．某洲际导弹发射后，计算机隔一段时间单位：分对导弹离地高度单位：千米进行数据采集，对这些数据进行列表统计后得到如下表格：

已知导弹在第分钟为整数开始进入飞行第二阶段，在下落过程中距离地面千米时进入第三阶段．
该导弹在发射多少时间后达到轨道的远地点，此时距离地面的高度是多少千米？
请用学过的函数模型来确定第二阶段的曲线解析式，并求出的值．
求导弹发射多少时间后发动机熄火？结果保留根号

24.  本小题分
已知如图，在中，弦于点，，，是的中点．

求的长．
求的长．
如图，若，连接交于点，试说明的度数是否会发生变化，若不变请求出的度数，并说明理由．

25.  本小题分
已知抛物线：，直线：当时，直线与抛物线只有一个公共点．
求抛物线的解析式；
若直线与抛物线交于不同的两点、点在点左侧，线段与直线：交于一点，且成立，求的值；
在的条件下，设直线与轴交于点，是否存在使得成立时，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则最小的数是，
故选：．
根据有理数的大小比较法则比较大小，得到答案．
本题考查的是无理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则：正数都大于； 负数都小于； 正数大于一切负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示：，，，
，
则．
故选：．
首先画出图形，进而求出的长，再利用锐角三角函数求出即可．
此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理等知识，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两侧分别有一条纵向的虚线．
故选A．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
则点一定在函数图象上，满足函数解析式，
代入解析式得到：，
因而反比例函数的解析式是，图象一定在第二，四象限．
故该反比例函数图象在第二，四象限．
故选：．
反比例函数的图象经过点，先代入求出的值，再判断该反比例函数图象所在象限．
本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．并且本题考查了反比例函数的性质，当是函数在第一、三象限，当是函数在第二、四象限．
 

6.【答案】 

【解析】解：、想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查，本选项说法正确，不符合题意；
B、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，本选项说法正确，不符合题意；
C、“打开电视，正在播放新闻联播”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；
D、数据，，，，的平均数，
方差，本选项说法不正确，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小、方差公式判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

7.【答案】 

【解析】解：长竿横着进门，门的宽度比竿小尺，
宽为尺，
将竿竖着进门，竿比门长尺，
长为尺，
在中，，
，
故选：．
根据题意设宽为尺，长为尺，进而勾股定理进行列方程即可．
本题考查了勾股定理的运用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据正多边形既有外接圆又有内切圆可知：正方形、正五边形、都是双心多边形，
双心多边形有，
故选：．
根据正多边形既有外接圆又有内切圆可得答案．
本题主要考查了正多边形和圆的知识，熟练掌握正多边形既有外接圆又有内切圆是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，为的中点，
，，
∽，
，
，，
，
，，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，的取值范围为或，
，且，为抛物线上的点，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
当时，，
解得，
将代入解析式得，
，
，
，
或，
故选：．
由当时，的取值范围为或可得抛物线对称轴为直线，从而可得与的关系以及的取值范围，将代入解析式，用含代数式表示，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
由于原式子中含有公因式，可用提取公因式法求解．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，
．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一个四宫格火锅里有三种锅底，清汤占格，红汤锅底占格，服务员将粒丸子随机投入四个宫格中，就餐的小伙伴数了数，结果有粒是清汤味的，
即清汤锅底约占，
红汤锅底占，
则估计倒入红汤锅底的宫格数是，
故答案为：．
根据概率的意义估算，即可求解．
本题考查了概率的意义，频率估计概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
 

14.【答案】米 

【解析】解：过点作于，过点作于，
则四边形为矩形，
，
坡的坡比：，
，
米，
斜坡的坡比：，
，
由勾股定理得：米，
故答案为：米．
过点作于，过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出，根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

15.【答案】上 

【解析】解：，，，
，
半径为，
斜边的中点在上，
故答案是：上．
先根据点是斜边的中点得到的长，然后把的长与半径比较确定点的位置．
本题考查的是点与圆的位置关系，用勾股定理可以求出直角三角形斜边的长，根据点是的中点得到的长，然后把的长与半径比较可以确定点的位置．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，，过作轴于点，如图：

函数的图象关于直线对称，
，，三点在同一直线上，且，故正确；
，
，
设，则点坐标为，
，
点坐标为，点坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
解得或舍去，
点的横坐标为，故错误；
点坐标为，
点的纵坐标是，故正确；
设直线交轴于，交轴于，作关于直线的对称点为，连接、，如图：

由知点坐标为，而点坐标为，
直线为，
令得，令得，
点坐标为，点坐标为，
，
关于直线的对称点为，
，，
，
四边形是正方形，
，
点坐标为，
而，
不在的图象上，故错误，
正确的有．
故答案为．
连接，，过作轴于点，根据函数的图象关于直线对称，得，，三点在同一直线上，且，可判定正确；设，由，知，，而点在反比例函数的图象上，可解得，点的横坐标为，点的纵坐标是，故错误，正确；设直线交轴于，交轴于，作关于直线的对称点为，连接、，由，而，得直线为，从而，可证明四边形是正方形，得，可判定错误．
本题考查反比例函数及应用，正方形性质和判定及对称轴的性质应用．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】证明：菱形，
，，
，
，
，
≌，
． 

【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，解答．
 

19.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】解：设每本乙种书的价格是元，则每本甲种书的价格是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：每本乙种书的价格是元． 

【解析】设每本乙种书的价格是元，则每本甲种书的价格是元，由题意：购买甲种书花了元，购买乙种书花了元，且乙种书的数量为甲种书数量的列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所求；

证明：连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，共线过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可；
连接，证明，可得结论．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：画树状图得：

有种选择方案：、、、、、；各种选购方案被选中的可能性相同，且型号净水器被选中的有种情况，即、，
型号净水器被选中；

第一个季度该商家平均配送距离是：米，
答：第一个季度该商家平均配送距离为米．

根据题意得：，
解得：，

，
由于，得到，
随的增大而增大，
当时，取得最大值为． 

【解析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
根据加权平均数的定义列式计算即可；
根据“购买资金不超过万元”列出关于的不等式，解之求出的取值范围，再根据利润的相等关系列出关于的函数解析式，利用一次函数的性质求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率及一次函数的应用．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：根据题中表可得在第分钟时，离地高度最大，为千米，即此时为轨道的远地点．
所以该导弹在发射分钟后到达轨道的远地点，此时距离地面的高度是千米；
设第二阶段的曲线函数解析式为：，
代入点，，，可得：
，
解得：，
所以第二阶段的曲线函数解析式为，
将，，，，，分别代入函数式中求值，
当值为时，得到的值与表中给的值不符，且之后的值都符合．
所以是在第分钟进入第二阶段，
的值为；
由题意得发动机熄火，即的值为，
把代入函数式中，即
，
解得：，舍去较小值，
即，
导弹在发射分钟后发动机熄火． 

【解析】根据表中数据，在第分钟时，离地高度最大，从而得出结论；
先设出二次函数解析式，根据表中数据对应的值，用待定系数法求出函数解析式，再把，，，，，，，，代入解析式验证，从而得出结论；
把代入函数解析式，求出的值即可．
本题考查二次函数的应用，关键是根据题意写出函数关系式．
 

24.【答案】解：，
，
，，，
，
；
，，
是等腰三角形，
是的中点，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
的度数为，不会发生变化，理由如下：
设与的交点为，过点作交于点，
由知，，，
，
，，
≌，
，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
． 

【解析】由相交弦定理可得，再代入已知条件求值即可；
由可知是等腰三角形，再由是的中点，可得，则是圆的直径，再由同弧所对的圆周角相等，可知，则，即可求；
设与的交点为，过点作交于点，证明≌，设，则，，在中，由勾股定理求出，再由垂直平分，可得，则，又由，可得，则．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，相交弦定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：当时，直线：，
联立：，
，
，，
抛物线的解析式为：；
分别作、、垂直轴，垂足分别为、、，
，
，，
∽，
，
，，
∽，
，

，
，
，
即：，
联立，
，
联立，
，
、是方程的两实根，
，，，
解得：；
不存在实数，使理由如下，
假设存在，
当时，，即为的中点，
，
由知，，
，
整理得：
解之得：或舍
由题干知，当时，直线与抛物线只有一个公共点，
当时，、两点重合，
不存在实数，使． 

【解析】两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解，即，代入计算即可求解；
作出辅助线，得到∽，，、是方程的两实根，利用根与系数的关系即可求解；
利用反证法，由得到，建立方程即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解本题的关键是灵活运用根与系数的关系．