2023年江苏省连云港市东海县中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省连云港市东海县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒，其俯视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  将不等式的解集表示在数轴上，正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  某班有人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差后来小亮进行了补测，成绩为分，关于该班人的测试成绩，下列说法正确的是(    )

A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变

6.  如图，在中，是边上的点，，，则与的面积比是(    )

A.
B. ：
C. ：
D. ：

7.  某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是(    )

A. 当时，
B. 与的函数关系式是
C. 当时，
D. 当时，的取值范围是

8.  如图和图，已知点是上一点，用直尺和圆规过点作一条直线，使它与相切于点以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图，连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接并延长，再在上截取，直线即为所求；
乙：如图，作直径，在上取一点异于点，，连接和，过点作，则直线即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(    )
 

A. 甲、乙两人的作法都正确 B. 甲、乙两人的作法都错误
C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲的作法错误，乙的作法正确

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  要使式子有意义，则的取值范围是______．

10.  因式分解：______．

11.  粮食是人类赖以生存的重要物质基础年我国粮食总产量再创新高，达万吨该数据可用科学记数法表示为______ 万吨．

12.  代数式与代数式的值相等，则______．

13.  将一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为______ ．

14.  如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖到地地底部的距离是米，第二球体点处恰好是整个塔高的一个黄金分割点点、、在同一条直线上，且，那么底部到球体之间的距离是        米结果保留根号．

15.  如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形若，，则阴影部分的面积为______ ．

16.  如图，已知为等边三角形，，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接，点为上一点，且连接，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  解不等式组

四、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各名同学组织一次测试，并对本次测试成绩满分为分进行统计学处理：
【收集数据】甲组名同学的成绩统计数据：单位：分


乙组名同学中成绩在分之间数据：满分为分，得分用表示，单位：分

【整理数据】得分用表示
完成下表

【分析数据】请回答下列问题：
填空：

若成绩不低于分为优秀，请以甲组、乙组共人为样本估计全年级人中优秀人数为多少？

21.  本小题分
如图，转盘被等分成三份，并分别标有数字，，；转盘被分成如图所示的三份，分别标有数字，，．

转动一次盘，指针指向的概率是______ ；
转动一次盘，记录下指针指向的数字，再转动一次盘，也记录下指针指向的数字请用列表或画树状图的方法求两个转盘的指针指向的数字都是的概率．

22.  本小题分
如图，，，，依次在同一条直线上，与相交于点，，．
求证：；
求证：．

23.  本小题分
某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出份甲菜品和份乙菜品可获利元，售出份甲菜品和份乙菜品可获利元．
求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？
根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？

24.  本小题分
在某张航海图上单位：海里，标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
求圆形区域的面积；
某时刻海面上出现渔船，在观测点测得位于北偏东，同时在观测点测得位于北偏东，求观测点到船的距离结果精确到海里参考数据：

25.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，．
求一次函数的表达式；
若的面积为，求点的坐标；
在的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点．

求抛物线的解析式；
若点为该抛物线上一动点．
当点在直线下方时，过点作轴，交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值；
若，求点的横坐标．

27.  本小题分
问题提出：“弦图”是中国古代数学成就的一个重要标志小明用边长为的正方形制作了一个“弦图”：如图，在正方形内取一点，使得，作，，垂足分别为、，延长交于点若，求的长；

变式应用：如图，分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为，，则正方形的面积为______ ．

拓展应用：如图，公园中有一块四边形空地，米，米，米，，空地中有一段半径为米的弧形道路即，现准备在上找一点将弧形道路改造为三条直路即、、，并要求，三条直路将空地分割为、和四边形三个区域，用来种植不同的花草．
则的度数为______ ；
求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：中是主视图，故不符合题意．
中不是三视图，故不符合题意．
中是左视图，故不符合题意．
中是俯视图，故符合题意．
故选：．
根据俯视图的识别方法，从上面看图形进行分析判断即可．
本题考查三视图的认识，熟知三视图的判断方法是解答的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项正确；
B、无法计算，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：不等式，
解得：，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
故选：．
移项求出不等式的解集，表示在数轴上，判断即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据平均数，方差的定义计算即可．
【解答】
解：小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分，
该班人的测试成绩的平均分为分，方差变小，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，为公共角，
∽，
，
，
故选：．
根据两角对应相等，两三角形相似，可得∽，再根据面积比等于相似比的平方即可求解．
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握应用“两角对应相等的两个三角形相似”时，往往有一个角是作为公共角出现的是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设与的函数关系式是，
该图象经过点，
，
，
与的函数关系式是，故B不符合题意；
当时，，
，
随增大而减小，
当时，，当时，，当时，的取值范围是，故A、不符合题意，符合题意．
故选：．
设与的函数关系式是，利用待定系数法求出，然后求出当时，，再由，得到随增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：甲正确．
理由：如图中，连接．
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
乙正确．
理由：是直径，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
故选：．
甲乙都是正确的，根据切线的判定定理证明即可．
本题考查作图复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
解得，
经检验是原方程的解，
所以原方程的解为，
故答案为：．
根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．
本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的前提，注意解分式方程要检验．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，
是的外角，
．
故答案为：．
由平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，底部到球体之间的距离是：米，
故答案为：．
根据黄金分割为和题意，可以求得底部到球体之间的距离．
本题考查黄金分割、认识立体图形，解答本题的关键是掌握黄金比是．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
是的中点，
，
，
，
，
，
的面积，
扇形的面积，扇形的面积，
阴影的面积扇形的面积的面积扇形的面积．
故答案为：．
连接，由是的中点，得到，推出，得到，求出扇形的面积、的面积、扇形的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，平移的性质，关键是掌握扇形面积的计算公式．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过作，交于，

为等边三角形，
，
将边绕点顺时针旋转，得到线段，
，
，
，
，，
，
，
取的中点，连接，则，
点在以为圆心，为直径的圆上运动，
为定值，
当、、三点共线时，的长最小，
过点作于，
则，
，
．
故答案为：．
如图，过作，交于，根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，取的中点，连接，则，推出点在以为圆心，为直径的圆上运动，当、、三点共线时，的长最小，过点作于，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
 

18.【答案】解：原式． 

【解析】根据实数的计算法则，零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式通分并利用平方差公式分解因式，然后化简得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：由题意可知，乙班在的数据有个，在的有个，
故答案为：，；
甲班人中得分出现次数最多的是分，共出现次，因此甲班学生成绩的众数，
将乙班名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数，
故答案为：，；
人，
答：甲班、乙班共人为样本估计全年级人中优秀人数约为人．
根据数据统计的方法以及各组数据之和等于样本容量可得答案；
根据中位数、众数的定义可求出、的值；
求出样本中甲乙两个班“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再乘总人数即可．
本题考查中位数、众数，频数分布表以及扇形统计图，掌握中位数、众数以及“频率”是正确解答的前提．
 

21.【答案】 

【解析】解：转动一次盘，指针指向的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两个转盘的指针指向的数字都是的结果有种，
两个转盘的指针指向的数字都是的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中两个转盘的指针指向的数字都是的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
；
证明：≌，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
由全等三角形的性质得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】解：设每份菜品的利润为元，每份菜品的利润为元，
根据题意得，
解得，
答：每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元；
设购进甲菜品份，总利润为元，
根据题意得，
解得，
，
，
随着的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为元，
份，
答：购进甲菜品份，乙菜品份，所获利润最大，最大利润为元． 

【解析】设每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元，根据售出份甲菜品和份乙菜品可获利元，售出份甲菜品和份乙菜品可获利元，列二元一次方程组，求解即可；
设购进甲菜品份，总利润为元，根据甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，求出的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．
 

24.【答案】解：连接、，
因为，，，
所以，，，
所以为圆形区域的直径．
所以．
所以圆形区域的半径为海里．
所以圆形区域的面积为平方海里．

过点作于点，则，
由题意可得，
所以，
因为，
所以，
在中，因为，
所以．
所以在中，海里，
答：观测点到船的距离为海里． 

【解析】连接连接、，根据坐标与图形性质得到，，，即为圆形区域的直径．由勾股定理求得即可求解；
过点作于点，则，由题意得到，分别在和中，利用锐角三角函数求解、即可．
本题主要考查解直角三角形的实际应用，涉及锐角三角函数、勾股定理、坐标与图形，理解题意，构造直角三角形解决问题是解答的关键．
 

25.【答案】解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数的表达式为：，
则点，
由题意得：，解得：，
故一次函数的表达式为：；

设直线交轴于点，则点，

设点，
则，
解得：，
即点的坐标为：；

存在，理由：
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，
是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，
点向右平移个单位向下平移个单位得到点，
则或，
即或，
则的坐标为：或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由，即可求解；
是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，则点向右平移个单位向下平移个单位得到点，进而求解．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解．
 

26.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则；

由抛物线的表达式知，点，
由、的表达式知，直线的表达式为：，
设点，点，

则，
即的最大值为，
由直线的表达式知，其和轴负半轴的夹角为，即，
则，
则，
则的最大值为；

作点关于轴的对称点，则，
，
，
则，，
过点作于点，

则，
即，则，
则，则，
故直线的表达式为：，
联立得：，
解得：，
即点的横坐标为． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由直线的表达式知，其和轴负半轴的夹角为，即，则，进而求解；
作点关于轴的对称点，则，用就直角三角形的方法求出，得到，进而求解．
本题是一道二次函数的综合运用的试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式．直角三角形的性质，三角函数定义的应用，函数的最值，二次函数顶点式的运用，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形或相似三角形或等角．
 

27.【答案】   

【解析】解：，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，
，
，
负值舍去，
故BE的长为；
解：如图，延长交于，延长交于，

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
同理，，
≌，≌，
，，
，
四边形是正方形，
正方形的面积，
的面积为，
正方形的面积；
故答案为：；
如图，连接，
米，，
米，
米，米，
，
，
是所在圆的直径，是等腰直角三角形，
点，，，四点共圆，，
，
；
故答案为：；
是等腰直角三角形，
平方米；
把绕着点逆时针旋转，得到，

，，，
，
，
延长交于，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
平方米，
四边形的面积平方米，
四边形的面积平方米．
根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；
如图，延长交于，延长交于，根据全公司进行的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，同理，，根据全等三角形的性质得到，求得正方形的面积，于是得到结论；
如图，连接，根据勾股定理得到米，根据勾股定理的逆定理得到，推出是所在圆的直径，是等腰直角三角形，得到点，，，四点共圆，，圆内接四边形的性质得到；
根据三角形 打麻将公式得到平方米；根据旋转的想得到，，，延长交于，推出是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键．