2022年江苏省连云港市东海县中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省连云港市东海县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图应是

A.
B.
C.
D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 一组数据、、、，若添加一个数后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会发生变化的是

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

5. 如图，数轴上点所对应的实数为，则下列实数中所对应的点在数轴上位于和之间的是

A.  B.  C.  D.

6. 一个门框的尺寸如图所示，下列长宽型号单位：的长方形薄木板能从门框中通过的是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，已知一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

8. 我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”，除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形如图，它是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图是等宽的菜洛三角形和圆形滚木的截面图．有下列个结论：
   
   莱洛三角形是轴对称图形；
   图中，点到弧上任意一点的距离都相等；
   图中，莱洛三角形的周长、面积分别与圆的周长、面积对应相等；
   使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动．
   上述结论中，所有正确结论的序号是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 若分式有意义，则的取值范围为          ．
10. 俗话说：“水滴石穿”，水滴不断地落在一块石头的同一个位置，经过几年后，石头上形成了一个深度为毫米的小洞，数据用科学记数法表示为______．
11. 已知，则______．
12. 如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为的标准视力表制作了一个测试距离为的视力表如果标准视力表中“”的高是，那么制作出的视力表中相应“”的高是______．

13. 如图，四边形是的内接四边形，，则______
    
    
     

14. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则该圆锥的侧面积为______ ．
15. 若二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是______．
16. 如图，在矩形和中，，，，将绕着点顺时针旋转，连接，，当最大时，的面积为______．

三、解答题（本大题共11小题，共102分）

17. 计算：．
18. 解不等式组：．
19. 解方程：．
20. 文明其精神，野蛮其体魄．学校体育是教育的重要组成部分．某初中为了了解在校学生体育锻炼情况，王老师随机对部分学生每周累计体育锻炼时间进行了统计，并根据数据绘制了频数分布直方图和扇形统计图不完整，频数分布直方图中每组包括最小值不包括最大值根据两幅统计图信息解答下列问题：
    
    共调查了______名学生；
    补全频数分布直方图和扇形统计图；
    该校共有名学生，请你估计每周累计体育锻炼时间在小时以上的人数．
21. 年冬奥会在中国北京举办，中国成为举办过五次各类奥林匹克运动会的国家．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的三张纪念邮票除正面内容不同外，其余均相同，现将三张邮票背面朝上，洗匀放好．
    
    小亮从中随机抽取一张邮票是“冰墩墩”的概率是______；
    小亮从中随机抽取一张邮票不放回，再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的概率．这三张邮票依次分别用字母，，表示
22. 如图，在矩形中，、相交于点，过点作，且使得，连接，．
    求证：；
    判断四边形的形状，并说明理由．

23. 如图，直线与反比例函数为常数，的图象相交于、两点，其中点的坐标为．
    求的值和反比例函数关系式；
    请直接写出点的坐标是______；
    若点是该反比例函数图象上一点，点是直线在第二象限部分上一点，分别过点、作轴的垂线，垂足为点和若时，请直接写出的取值范围．

24. 某雨润肉店店主从市场行情了解到，在足够长的一段时间里，猪肉的进价均为元，若该店月猪肉销量与销售价格元的关系如下表，且是的一次函数．

求与的函数关系式；
若在销售猪肉所获得利润的基础上，该店每月还需用其支付其它开支共元．试求该店销售猪肉所获得的月净利润元与元之间的函数关系式；
在第问的基础上，根据店主提供的数据，该肉店的猪肉月销售量至少为，则当销售价格为多少元时，最大？并求出该最大值．

25. 如图，一艘渔船位于观测站的北偏东方向的点处，它沿着点的正南方向航行，航行海里后，观察站测得该渔船位于南偏东方向的点处．
    求证：；
    若渔船从点处继续按着原方向航行海里后到达点时突然发生事故，渔船马上向观测站处的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点的航程最短？
    参考数据：，

26. 如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
    则点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______；
    设点，其中都在抛物线上，若，请证明：；
    已知点是线段上的动点，点是线段上方抛物线上的动点，若，且与相似，试求此时点的坐标．

27. 【问题情境】
    如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，作射线．
    则的长为______；
    【变式思考】
    在“问题情境”的基础上，如图，点是射线上的动点，过点分别作所在直线于点，作所在直线于点．
    求与面积之和的最小值；
    连接，求的最小值是多少？
    【拓展探究】
    在“问题情境”的基础上，如图，内有点，且，、上分别有一点、，连接、、，直接写出周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是．
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数的定义，正确掌握倒数的定义是解题关键．倒数的定义：乘积是的两数互为倒数．
 

2.【答案】

【解析】解：一次性纸杯的口径大于底面直径，从上面看到的是两个同心圆．
故选：．
根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方以及合并同类项，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：原数据的，，，，的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
新数据，，，，的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
故选：．
依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、标准差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，
故选：．
将点向右平移个单位长度即可．
本题考查了实数与数轴，在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大．
 

6.【答案】

【解析】解：连接，则与、构成直角三角形，

根据勾股定理得．
只有薄木板能从门框内通过，
故选：．
解答此题先要弄清题意，只要求出门框对角线的长再与已知薄木板的宽相比较即可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，只要根据已知条件构造出直角三角形即可解答．
 

7.【答案】

【解析】解：一次函数的图象经过点，
一次函数的图象经过点，
由图象可知，关于的不等式的解集为．
故选：．
由一次函数的图象经过点可知，一次函数的图象向左平移一个单位经过点，然后根据图象即可得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握用数形结合的方法解题．
 

8.【答案】

【解析】解：由莱洛三角形的画法可知，莱洛三角形是轴对称图形，因此正确；
弧是以点为圆心，为半径的弧，因此点到弧上任意一点的距离都相等，所以正确；
莱洛三角形的面与圆的面积不相等，因此不正确；
由于“莱洛三角形”边沿上的点到中心的距离不相等，因此使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动，因此正确；
综上所述，正确的有，
故选：．
根据莱洛三角形、圆的性质逐项进行判断即可．
本题考查垂径定理、弧长、扇形面积的计算以及轴对称，掌握弧长、扇形面积的计算方法以及“莱洛三角形”“圆”的性质是正确判断的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由题意，得
．
解得，
故答案为：．
根据分母不为零，分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

11.【答案】

【解析】解：如图，由于，可设，则，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．
本题考查同角三角函数的关系以及勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
 

12.【答案】

【解析】解：，
∽，

，
即，
解得：．
故答案为：．
如图，易得∽，利用它们对应边成比例，即可得到题目的结论．
此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边成比例的性质解题是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
．
四边形是圆内接四边形，
．
故答案为：．
先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
 

15.【答案】

【解析】解：，
对称轴为直线，
二次函数的图象不经过第三象限，
，，
解得．
故答案为：．
由于二次函数的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在轴的上方或在轴的下方经过一、二、四象限，由此可以确定抛物线开口方向，抛物线与轴的交点的位置，即可得出关于的不等式，解不等式即可求解．
此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于的不等式解决问题．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，以为圆心，长为半径构造．
作为．
最大时，与相切，即，
，
，
∽，
，，，
，
，
，
，
的面积为：，
故答案为：．
以为圆心，长为半径构造作为最大时，与相切，根据∽，求出，即求出的面积为：．
本题考查了旋转的性质，推出∽是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：方程的两边都乘以，得
．
解得，
经检验：是原分式方程的解．

【解析】观察方程可得最简公分母是：，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
本题考查的是解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
 

20.【答案】

【解析】解：人，
故答案为：；
人，
，
，补全两个统计图如下：

人，
答：每周累计体育锻炼时间在小时以上的人数为人．
从两个统计图中可知“小时”的人数是人，占调查人数的，根据频率进行计算即可；
求出“小时”的人数，即可补全频数分布直方图；
求出样本中“小时以上”所占的百分比，即可估计总体中“小时以上”的学生所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的关键．
 

21.【答案】

【解析】解：小亮从中随机抽取一张邮票是“冰墩墩”的概率是，
故答案为：；
画树状图如图：

共有种等可能情况，其中抽到恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的可能性有种，
所以抽到的恰好是“冰墩墩”和“雪容融”．
直接根据概率公式求解即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，．
，，
，．
四边形是平行四边形．
；
解：四边形是菱形．
理由如下：
，．
，．
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．

【解析】根据矩形的性质和平行四边形的判定解答即可；
根据菱形的判定解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和平行四边形的判定解答．
 

23.【答案】

【解析】解：一直线与反比例函数为常数，的图象相交于，
，
，
由点的坐标为得所以，
反比例函数解析式为：；
解解得或，
；
故答案为：；
由图象可知，若时，的取值范围是．
根据直线与反比例函数为常数，的图象相交于，可得，进而可求反比例函数的表达式；
解析式联立成方程组，解方程组即可求得；
观察图象即可得出结论．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】解：设与的函数关系式为．
则解得
所以与的函数关系式为；
由题设可得，
即；
因为，
所以．
因为；
所以当时，随着的增大而增大．
所以当时，有最大值，且最大值为，
答：当销售价格为元时，最大，最大值是元．

【解析】利用待定系数法解答；
由题意得，，再整理即可；
配方成顶点式，再根据的取值范围可得答案．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：由题意得，，
，
，
；
解：过点作于，

在中，，，，
海里，海里，
海里，
海里，
海里，
，即，
，
答：救援队从处出发沿着南偏东方向航行到达事故地点的航程最短．

【解析】分别求出和的度数可得结论；
过点作于，根据的正弦和余弦得到和的长度，再计算出的长度，根据特殊角的正切值可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】证明：当时，，
点，
当时，，
解得：或，
点，．
证明：由题意得：
，
，
，
又，
．
解：设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
如图，过点作轴于点，过点作于点，则，
，
，
，
，
∽，
，
设点的坐标为，则，，
当∽时，，
，，
：：：，
，，
，，
点的坐标为，
点在直线上，
，
解得：舍去或，
点坐标为；
当∽时，，
，，
：：：，
，，
，，
点的坐标为，
，
解得：舍去或，
点坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
先令，求得点的坐标，再令，求得点、的坐标；
分别将，代入函数解析式求得，的值，得到的值，再结合化简，得到的正负，即可得到结果；
先求得直线的解析式，过点作轴于点，过点作于点，证明∽，设点的坐标，、、，然后分情况讨论，∽，∽，得到点的坐标，再将点的坐标代入直线的解析式，求得点的坐标．
本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知二次函数和一次函数图象上点的坐标特征．
 

27.【答案】

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：；
过点作于点．
垂直平分，
．
．
．
，，

，
≌．
设，则，，，
与面积之和为
．
最小值为；
连接，取的中点，连接，，过点作于点．
，，点为中点，
．

点、、、四点在以为圆心，为直径的同一个圆上，
又，
．
为等边三角形．
．
，
．
的最小值为．
的最小值为；
以为底边作等腰三角形，使，连接，作点关于、的对称点、，连接，
由轴对称的性质得，周长为，，，

是等边三角形，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点、、共线时，最小，
延长交于，
，，
，
，，，
，
由勾股定理得，，
的最小值为，
周长的最小值为．
利用垂直平分线的性质可证，再根据，可得答案；
过点作于点首先证明≌设，则，，，表示出与面积之和，利用二次函数的性质可得答案；
连接，取的中点，连接，，过点作于点可知为等边三角形．且只要求出的最小值即可；
以为底边作等腰三角形，使，连接，作点关于、的对称点、，连接，由轴对称的性质得，周长为，，，利用勾股定理求出和的长，从而解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查了含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质等知识，将周长转化为的长是解题的关键．