2023年广东省湛江市雷州市三校联考中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省湛江市雷州市三校联考中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至年月日，累计确诊人数超过例，抗击疫情成为全人类共同的战役．确诊病例“”用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，点、、都在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，为反比例数的图象上一点，轴于点，的面积为，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，已知是的直径，是上的点，，则的半径等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：；；；一元二次方程没有实数根其中正确的结论个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

8.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

9.  分解因式：______．

10.  如图，直线，被直线所截，已知，，则为______ 度

11.  已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．

12.  如图，菱形的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图象经过点，与交于点，若的面积为，则的值等于______．
 

三、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：；
解方程：．

14.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

15.  本小题分
某校为了改善办公条件，计划从厂家购买、两种型号电脑．已知每台种型号电脑价格比每台种型号电脑价格多万元，且用万元购买种型号电脑的数量与用万购买种型号电脑的数量相同．
求、两种型号电脑每台价格各为多少万元？
学校预计用不多于万元的资金购进这两种电脑共台，其中种型号电脑至少要购进台，请问有哪几种购买方案？

16.  本小题分
为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高单位：，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
填空：样本容量为        ，        ；
把频数分布直方图补充完整；
老师准备从类学生中随机抽取人担任广播体操领队已知类学生中有名男生，名女生，求恰好选中名男生和名女生的概率．
 

17.  本小题分
如图，中，，是边上的中线，分别过点，作，的平行线交于点，且交于点，连接．

求证：四边形是菱形；
若，求的值．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点和点，且，动点在第四象限内的该反比例函数上，且点在点左侧，连接、．
求点的坐标；
若，求点的坐标．

19.  本小题分
如图，已知抛物线与轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．
点的坐标是        ；点的坐标是        ；
求抛物线的解析式；
设点是线段上的一个动点不与点、重合，直线轴，交抛物线于点，问点运动到何处时，线段的长最大？并求出的长的最大值；
如图，点是抛物线的顶点，判断直线是否是经过、、三点的圆的切线，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是：．
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到，即而得到答案．
此题主要考查了圆周角定理，关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角个是哪一个．
 

5.【答案】 

【解析】解：轴于点，
，
而，
．
故选：．
根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质确定的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
的半径等于．
故选C．
由是的直径，是上的点，，可得，即可求得的长，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间．
当时，，
即，所以正确；
抛物线与轴有两个交点，则，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，即，，，所以正确；
抛物线与直线有一个公共点，
由图象可得，抛物线与直线有两个公共点，
一元二次方程有两个实数根，所以错误．
故选：．
利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，则当时，，于是可对进行判断；根据二次函数与轴有两个交点，则可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线，即，则可对进行判断；由于抛物线与直线有一个公共点，则抛物线与直线有一个公共点，于是可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象求方程的根的情况，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解得答案．
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
直接把公因式提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，

，
，
，
故答案为：．
根据邻补角得出的度数，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
由根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得是解题的关键．
易证，再根据的值即可求得菱形的边长，即可求得点的坐标，代入反比例函数即可解题．
【解答】
解：作，，设，

四边形为菱形，
，，
，
，
同理，，
，
，
，
，
，
，
，解得：，
，，
点坐标为，
反比例函数的图象经过点，
代入点得：，
故答案为．  

13.【答案】解：原式

；
，
，
或，
所以，． 

【解析】先根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算，然后合并即可；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
 

14.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算、乘除运算进行化简，然后进的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

15.【答案】解：设求种型号电脑每台价格为万元，则种型号电脑每台价格万元．
根据题意得：，
解得：．
经检验：是原方程的解，
答：、两种型号电脑每台价格分别是万元和万元．

设购买种型号电脑台，则购买种型号电脑台．
根据题意得：．
解得：，
又种型号电脑至少要购进台，
  的整数解为、、．
有种方案．
即：购买种型号电脑台、购买种型号电脑台；
购买种型号电脑台、购买种型号电脑台；
购买种型号电脑台、购买种型号电脑台． 

【解析】设求种型号电脑每台价格为万元，则种型号电脑每台价格万元．根据“用万元购买种型号电脑的数量与用万购买种型号电脑的数量相同”列出方程并解答．
设购买种型号电脑台，则购买种型号电脑台．根据“种型号电脑至少要购进台”、“用不多于万元的资金购进这两种电脑”解答．
考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．注意分式方程要检验．
 

16.【答案】   

【解析】解：样本容量为：，
组的人数为：人，
，
则；
故答案为：，；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下；

共有种等可能的结果，其中恰好选中名男生和名女生的结果有种，
恰好选中名男生和名女生的概率为．
用组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，再计算组所占的百分比得到的值；
利用组的频数为补全频数分布直方图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选中名男生和名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
，
又是边上的中线，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
，是斜边上的中线，
，
四边形是菱形；
解：过点作于点，
由可知，，
设，则，
在中，
，

，
． 

【解析】此题考查了菱形的判定与性质、锐角三角函数定义、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
由，，可证得四边形是平行四边形，又由中，，是边上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，然后由，证得四边形是平行四边形，继而证得四边形是菱形；
首先过点作于点，由可知，，设，则，然后由勾股定理求得，再由三角形的面积，求得的长，由勾股定理即可求得的长，继而求得答案．
 

18.【答案】解：反比例函数过点，
，
反比例函数为，
作轴于，轴于，
，
∽，
，
，，
，
把代入得，，
；
过点作轴，交于点，
把，代入得，
，
解得，
直线为，
设，则，
，
，
，
解得负数舍去，
 

【解析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据题意求得点的横坐标为，代入反比例函数的解析式即可求得点的坐标；
过点作轴，交于点，求得直线的解析式，设，则，根据题意得到，解得，进而即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，三角形的面积，求得函数的解析式是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：由题意知直线交轴、轴于点、两点，
，，
经过点，，
，
解得，
；
如图：

设点，
直线轴，
点，
，
，
所以当时，有最大值是，
此时，的最大值为；
如图：

与轴相交于、两点，
令，得，
解得：，或，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
是经过、、三点的圆的直径，
设圆心，则，连接，过点作轴，垂足为，连接，
顶点坐标为，
可求，，，，，
计算得：，
，
直线是经过、、三点的圆的切线．
先令，，求出点，坐标，
把点，坐标代入抛物线求出，的值即可，
由点在直线上设出点的坐标，表示出线段的长度，运用二次函数最大值的知识求出点的位置，
先判断出是经过、、三点的圆的直径，确定圆心，连接圆心和切点，证明垂直即可．
此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会用点的坐标表示线段长度，知道运用二次函数解决最值问题，熟悉圆的切线的证明是解题的关键．