2023年广东省广州外国语学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省广州外国语学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，北京冬奥会圆满闭幕，冬奥会的部分金牌榜如表所示，榜单上各国代表团获得的金牌数的众数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是某个几何体的三视图，则该几何体是(    )

A. 圆锥
B. 长方体
C. 三棱柱
D. 圆柱

4.  方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若，，三点均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动绳索与滑轮之间没有滑动，则重物上升的高度为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，是等边三角形，是边上的一点，连接，把绕着点逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  关于的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  当满足条件______时，式子在实数范围内有意义．

12.  分解因式： ______ ．

13.  已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值是______ ．

14.  如图，有一块长为、宽为的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是______．

15.  已知在矩形中，点在直线上，平分，若，，连接，则的值为______．

16.  如图，在▱中，，，是上方一动点，且，交于点当点运动到时，的值为______ ；随着点的运动，的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组，并把不等式和的解集在数轴上表示出来．

18.  本小题分
如图，点，，，在同一条直线上，，，说明．

19.  本小题分
已知．
化简；
若点是直线与反比例的图象的交点，求的值．

20.  本小题分
课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，：很好；：较好；：一般；：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
王老师一共调查了多少名同学？
类女生有______名，类男生有______名，将上面条形统计图补充完整；
为了共同进步，王老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
 

21.  本小题分
教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温与时间的关系如图所示：
分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；
怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待______？

22.  本小题分
如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点，在直线上，且，垂足为，连接、．
求证：是的切线；
若，的半径为，求的长．

23.  本小题分
图是一商场的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同即，将左边的门绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图，求此时与之间的距离结果保留一位小数参考数据：，，

24.  本小题分
四边形是菱形，，点为边上一点，联结，过点作，与边交于点，且．
如图，当时，求与的比值；
如图，当点是边的中点时，求的值；
如图，联结，当且时，求菱形的边长．
 

25.  本小题分
抛物线与轴交于、两点左右，，与轴的交点是，顶点是．
求抛物线的解析式；
为对称轴上一点，为平面内一点，、、、为矩形的四个顶点，求出符合条件的点坐标；
直线与抛物线交于、两点，连接，，满足，求证；直线恒过定点，并求出定点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据实数的大小比较法则正数大于，大于负数，正数大于一切负数，两个负数比大小，绝对值大的反而小及无理数的估算进行分析求解．
本题考查实数的大小比较，无理数的估算，理解算术平方根的概念对正确进行估算是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：数据出现了次，出现次数最多，
故这组数据的众数为．
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
则分式方程的解为．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则、二次根式的乘法运算即可求出答案．
本题考查合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则、二次根式的乘法运算，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，
，
点在第二象限，
，
，
，两点在第四象限，
，，
函数图象在第四象限内为增函数，，
．
，，的大小关系为．
故选：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
 

7.【答案】 

【解析】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，
摸到白球的频率为，
故口袋中白色球的个数可能是个．
故选：．
先计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数．
大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
则重物上升了，
故选：．
根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．
此题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转，得到，
，，
是等边三角形，
，
而绕点逆时针旋转，得到，
，
的周长．
故选：．
根据旋转的性质得到是等边三角形得到，由旋转的性质得到，所以的周长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有一个根是，
二次函数的图象过点，
，
，，
则，，
二次函数的图象的顶点在第一象限，
，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：，
故的取值范围是，
故选：．
二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于．
把代入方程即可得到一个关于的方程，即可求得的值．
【解答】
解：根据题意将代入得：且
解得：
故答案是：．  

14.【答案】 

【解析】解：
故答案为：．
草坪的面积等于矩形的面积三条路的面积三条路重合部分的面积，由此计算即可．
本题考查了生活中的平移现象，解答本题的关键是求出草坪总面积的表达式．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当点在边上时，如图
四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
当点在边的延长线上时，如图，
由可知，
，
，
故答案为：或．
首先画出符合题意的图形，由于点可以在边上也可以在边的延长线上，所以要分两种情况分别讨论求出的值．
本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，熟记矩形的各种性质是解题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：，
，
，
，
在▱中，，
，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
如图所示，过点作交延长线于点，过点作交于点，

，
，
，
，
，
点、、、四点共圆，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
当取最大值时，的值最大，
当点与点重合时最大，即等于半径时，
在中，，
，
，
半径为，
即的最大值是，
．
故答案为：，．
根据三角函数值求，再根据，推为等边三角形，根据三线合一性质求出最后比值；
过点作交延长线于点，过点作交于点，根据证明点、、、四点共圆，再根据圆周角所对弦是直径得知为的直径，证∽推比例线段从而得知当取最大值时，的值最大，最后利用三角函数求直径从而得到的最大值．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，三角函数，等边三角形判断及性质，掌握这些性质定理的综合应用，辅助线的画法是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，即，
又，，
≌，
，
． 

【解析】先证明，再根据证明≌得到，由此即可证明．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的挂件，全等三角形的判定定理有、、、、等等．
 

19.【答案】解：


；
点是直线与反比例的图象的交点，
，，
，，
． 

【解析】根据分式混合运算的法则把原式化简即可；
由待定系数法可得出，，代入即可求解．
本题考查的是分式的化简求值，一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求解是解决此题关键．
 

20.【答案】．
所以王老师一共调查了名学生．
； 
补充条形统计图如下：

由题意画树状图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，
所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有种．
所以所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学． 

【解析】

解：见答案
类学生人数：名
类女生人数：名，
类学生占的百分比：，
类学生人数：名，
类男生人数：名，
故C类女生有名，类男生有名；
补充条形统计图见答案；
见答案
【分析】
根据类有人，所占的比例是，据此即可求得总人数；
利用中求得的总人数乘以对应的比例即可求得类的人数，然后求得类中女生人数，同理先求得所占百分比，进而求得类男生的人数；
利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  

21.【答案】 

【解析】解：观察图象，可知：当时，水温，
当时，设关于的函数关系式为：，
，
解得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，，
与的函数关系式为：，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
将代入，得，
将代入，得，
，，
怡萱同学想喝高于的水，她最多需要等待，
故答案为：．
根据题意和函数图象可以求得的值；根据函数图象和题意可以求得关于的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
根据中的函数解析式可以解答本题．
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
 

22.【答案】证明：如图所示，连接，

，
，
平分，
，
，
，

，
是半径，
是的切线；
，，
，
，
，
∽，
，
，
即，
解得，，
，，
∽，
，
解得．
． 

【解析】连接，通过等边对等角和角平分线的定义得到，利用平行线的性质与判定即可得证；
通过证明∽求出线段和的长度，再通过证明∽，利用相似三角形的性质即可得出，进而在中，勾股定理即可求解．
本题考查圆与相似综合，切线的判定，已知正切求边长，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：作于点，作于点，延长到点，使得，如图所示．
，米，
米．
在中，米，，
米，米．
在中，米，，
米，米．
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，．
在中，米，米，
米，
与之间的距离约为米． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长度是解题的关键．
作于点，作于点，延长到点，使得，则，在、中可求出、、、的长度，进而可得出的长度，再在中利用勾股定理即可求出的长，此题得解．
 

24.【答案】解：四边形是菱形，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
≌，
，
，
设，，则，，
，
解得，，
；
过点作于点，过点用于点，如图，

则，
四边形是菱形，
，，
，
设，则，
是的中点，
，，
，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
即，即，
整理得，，
，
；
过点作于点，过点用于点，如图，

则，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
设菱形的边长为，则，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，，，
，
化简得，，
，
，
，
，
解得，，或舍，
菱形的边长为． 

【解析】证明四边形是正方形，再证明≌，设，，运用相似三角形的相似比求得与的关系，进而根据相似三角形的性质求得面积比；
过点作于点，过点用于点，证明∽，设，用与的正、余弦值表示、、、，进而根据相似三角形的性质列出比例式，整理比例式便可得出结果；
过点作于点，过点用于点，由，得，再证明∽，得出，设菱形的边长为，由，得到用的代数式表示，再结合∽的比例线段求得的值便可．
本题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，关键是构造相似三角形．难度较大．
 

25.【答案】解：令，
则方程的两根，
，
，
解得：或，
，
，
；
，
对称轴为直线，，
令，即，
解得：，，
令，解得，
，，，
，
则，
点在对称轴上，
设，与轴交于点，
当为矩形的边时，当，则，
，
，
当时，设与交于点，
，
，
，
又，
，
，
，
当时，则点在的中点为圆心，为直径的圆上，

，，
，
，
即，
解得：或，
或，
综上所述，或或或；
，
将抛物线向上移动个单位，再向右移动个单位得到，即将抛物线顶点平移至原点，
设直线与抛物线交于，两点，
，
化简，得，
，，
如图所示，过点作轴于，轴于．

则：，
，，
，
∽，
，
，
，
，
．
，必过点：；
将定点向下移动个单位，再向左移动个单位得到，
即直线恒过定点，定点坐标． 

【解析】根据抛物线与坐标轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关键得出，进而根据，建立方程，解方程即可求解；
依题意得出，，，，设，与轴交于点，分为边和对角线两种情况，结合图形即可求解；
根据，将抛物线向上移动个单位，再向右移动个单位得到，即将抛物线顶点平移至原点，设直线与抛物线交于，两点，，得出，，过点作轴于，轴于证明∽，得出，即，得出，则，必过点：，然后将将定点向下移动个单位，再向左移动个单位得到，即可求解．
本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质．矩形的性质，勾股定理，解题的关键是通过平移的思想将问题简化．