2023年广东省深圳外国语学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省深圳外国语学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  新型冠状病毒，因武汉病毒性肺炎病例而被发现，年月日被世界卫生组织命名“”冠状病毒是一个大型病毒家族，借助电子显微镜，我们可以看到这些病毒直径约为纳米纳米米，纳米用科学记数法表示等于米．(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列四个汉字是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  有一组统计数据：、、、、、、则对数据描述正确的是(    )

A. 中位数是 B. 平均数 C. 众数是 D. 方差是

7.  下列说法中错误的是(    )

A. 有一组邻边相等的矩形是正方形
B. 在反比例函数中，随的增大而减小
C. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D. 有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形

8.  某出租车公司为降低成本，推出了“油改气”措施，如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程单位：千米与所需费用单位：元的关系，已知燃气汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少元，设燃气汽车每千米所需费用为元，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线结合图象分析下列结论：
；
；
；
一元二次方程的两根分别为，；
若，为方程的两个根，则且．
其中正确的结论有个．(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，为的直径，点为半圆上一点且，点、分别为、的中点，弦分别交，于点、若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  将一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的度数为______ ．

13.  如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端，的距离，飞机在距海平面垂直高度为的点处测得端点的俯角为，然后沿着平行于的方向水平飞行了，在点测得端点的俯角为，则岛屿两端，的距离为______结果保留根号．

14.  如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为          ．
 

15.  如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点．连接，则的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
自从新冠肺炎疫情爆发，我国高度重视并采取了强有力的措施进行防控，像钟南山爷爷和李兰娟奶奶等无数白衣天使为保卫大家的安全奋斗在抗疫一线．武汉是疫情最先爆发的地区，“一方有难，八方支援”是中华传统美德，为了帮助武汉人民尽快度过难关，某校七年级全体同学参加了捐款活动．现随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示：
在本次调查中，一共抽查了______名学生；
请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，“捐款元”对应的圆心角度数是______度；
在七年级名学生中，捐款元以上不含元的学生估计有多少人？
 

18.  本小题分
为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买、两种型号的学习用品共件已知型学习用品的单价比型学习用品的单价多元，用元购买型学习用品的件数与用元购买型学习用品的件数相同．
求、两种学习用品的单价各是多少元？
若购买这批学习用品的费用不超过元，则最多购买型学习用品多少件？

19.  本小题分
古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”请研究如下美丽的圆．如图，线段是的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交于点，点是上一动点不与点，重合，连接，，．
求证：是的切线；
小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

20.  本小题分
二次函数的图象交轴于原点及点．
【感知特例】
当时，如图，抛物线：上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：

补全表格；
在图中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．

【形成概念】
我们发现形如中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”例如，当时，图中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
【探究问题】
当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为        ；
若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，直接写出的值        ；
在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式为        ．

21.  本小题分
已知矩形，点为直线上的一个动点点不与点重合，连接，以为一边构造矩形按逆时针方向排列，连接．
如图，当时，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系；
如图，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由；
如图，在的条件下，连接，，分别取线段，的中点，，连接，，，若，，请直接写出的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，即．
故选：．
求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．
本题主要考查互为相反数的概念．只有符号不同的两个数互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该长方体从正面、侧面、上面看，都能看到长方形，故本选项不合题意；
B、该圆柱从正面和侧面，都能看到长方形，故本选项不合题意；
C、圆锥从正面看所得到的图形是等腰三角形，从侧面看所得到的图形是等腰三角形、从上面看所得到的图形是圆，故本选项符合题意；
D、该几何体上面看，能看到长方形，故本选项不合题意；
故选：．
根据各个几何体从正面、侧面、上面看到的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：纳米米米．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，错误，符合题意；
B、，正确，不合题意；
C、，正确，不合题意；
D、，正确，不合题意；
故选：．
直接利用整式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、把这些数从小到大排列为、、、、、、，则中位数是；
B、平均数是：；
C、出现了次，出现的次数最多，则众数是；
D、方差是：；
故选：．
根据平均数，中位数，众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

7.【答案】 

【解析】解：、一组邻边相等的矩形是正方形，此说法正确，不符合题目的要求；
B、在反比例函数中，在第一象限内，随的增大而减小，此说法错误，符合题目的要求；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，此说法正确，不符合题目的要求；
D、有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形，此说法正确，不符合题目的要求；
故选：．
根据正方形的判定，反比例函数的性质，菱形的判定，直角三角形的判定逐项分析即可．
本题考查了直角三角形，菱形，正方形的判定以及反比例函数的性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设燃气汽车每千米所需费用为元，则燃油汽车每千米所需费用为元，
根据题意得：．
故选：．
设燃气汽车每千米所需费用为元，则燃油汽车每千米所需费用为元，根据路程总费用每千米所需费用结合路程相等，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及函数的图象，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，因此，对称轴为，因此、异号，所以，抛物线与轴交点在正半轴，因此，所以，于是不正确；
当时，，因此正确；
抛物线与轴交点，对称轴为因此另一个交点坐标为，所以，又，有，所以，而，因此，不正确；
抛物线与轴交点，，即方程的两根为，；因此的两根，，故正确；
抛物线与轴交点，，且，因此当时，相应的的值大于，或者小于，即，，故正确；
综上所述，正确的结论有：，
故选：．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的、、的值决定抛物线的位置是正确判断的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接、交、于点、，
点、分别为、的中点，
垂直平分，垂直平分，
又为的直径，，
，
，
、都是等腰直角三角形，
在中，由，
设，则，由勾股定理可得，
又，，，
，，
，，
在、中，，，
，
在中，，
，
解得，
，
故选：．
由于点、分别为、的中点，根据垂径定理可得垂直平分，垂直平分，再由直径所对的圆周角是直角得出、、都是等腰直角三角形，根据，设未知数，表示，，最后根据直角三角形的边角关系列方程求解即可．
本题考查圆周角定理及推论，直角三角形的边角关系以及解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，设未知数，表示三角形的边长是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，
，
，
故答案为：．
由得，再根据三角形的外角性质可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于点，过点作于点，
，
，
四边形为矩形．
，．
由题意可知：米，米．
在中，，米．
米．
在中，，米．
米．
米．
 答：岛屿两端、的距离为米．
故答案为：
首先过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，根据矩形的性质，可得，由题意可知：米，米，然后分别在与中，利用三角函数即可求得与的长，继而求得岛屿两端、的距离．
此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义的运用，相似三角形的性质与判定，同高的三角形面积的关系，关键是构造相似三角形．
过点作轴于，则∽，由线段的比例关系求得和的面积，再根据反比例函数的系数的几何意义得结果．
【解答】
解：过点作轴于，则，
∽，

，
的面积为，
，

，
的面积，
根据反比例函数的几何意义得，，
，
，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：以为原点，平行于的直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过作，交延长线于，如图：

设正方形的边长为，则，，
为中点，
，
设直线解析式为，把，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
在中，令得，
，
，
将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
≌，
，，
，，
，，
，
是中点，
，
，
．
故答案为：．
以为原点，平行于的直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过作，交延长线于，设正方形的边长为，待定系数法可得直线解析式为，即可得，，证明≌，可得，，即得，，从而，故．
本题考查正方形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质，一次函数，中点坐标公式等知识，解题的关键是建立直角坐标系，设正方形的边长为，表示出相关点的坐标，从而求出相关线段的长度．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：在本次调查中，一共抽查了名，
故答案为：；
捐款元的有：名，
补全的条形统计图如右图所示，
在扇形统计图中，“捐款元”对应的圆心角度数是，
故答案为：；
人，
即捐款元以上不含元的学生估计有人．
根据组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
根据中的结果和条形统计图中的数据，可以就死按出捐款元的人数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据捐款元的人数，即可计算出“捐款元”对应的圆心角的度数；
根据统计图中的数据，可以计算出捐款元以上不含元的学生估计有多少人．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：设型学习用品单价元，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，
．
答：型学习用品单价为元，型学习用品单价为元；
设可以购买型学习用品件，则型学习用品件，由题意，得：
，
解得：．
答：最多购买型学习用品件． 

【解析】本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，属于中档题．
设型学习用品单价元，利用“用元购买型学习用品的件数与用元购买型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可；
设可以购买型学习用品件，则型学习用品件，根据这批学习用品的钱不超过元建立不等式求出其解即可．
 

19.【答案】解：连接、，

点是线段的中点，交于点，
垂直平分，
．
在中，，
，
是等边三角形，
，
，且为的外角，
．
，
．
，
是的切线；
答：这个确定的值是．
连接，如图：

由已知可得：．
，
又，
∽，
． 

【解析】连接、，由已知可知垂直平分，则，再由圆的半径相等，可得，即是等边三角形，则，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得，从而可得，按照切线的判定定理可得结论；
连接，先由已知条件得，再利用两组边成比例，夹角相等来证明∽，按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案．
本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

20.【答案】         

【解析】解：点是对称中心，
点关于点的对称点就是点本身，
．
故答案为：；；
在坐标系内描出各点，用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为如下图：


当时，抛物线的解析式为：，
，
抛物线开口向上，当时，函数值随着的增大而减小，
，抛物线的对称轴为直线，顶点为，
抛物线的“孔像抛物线”的对称轴为直线，顶点为，
抛物线的“孔像抛物线”的解析式为：．
，
抛物线的开口向下，当时，函数值随着的增大而减小，
当时，抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，
故答案为：．
，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，，
抛物线的“孔像抛物线”的对称轴为直线，顶点为，
抛物线的“孔像抛物线”的解析式为：，
由题意得：．
直线是纵坐标为且与轴平行的直线，
二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，
直线必经过这两条抛物线中的一条的顶点，
当直线经过时，
，
或舍去．
当直线经过时，
，
或舍去．
综上，的值为：．
，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，，
抛物线的“孔像抛物线”的对称轴为直线，顶点为，
抛物线的“孔像抛物线”的解析式为：，
设这条抛物线的解析式为，
令，
整理得：．
这条抛物线与抛物线的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，
．
展开得：．
．
当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，
的取值与无关，
，解得：，
．
这条抛物线的解析式可能是，
故答案为：．
利用中心对称的特点即可求出点的对称点；在平面直角坐标系中描出各点，用平滑的曲线依次连接各点即可；
利用配方法求出抛物线的顶点与对称轴，利用点的坐标和对称性求出“孔像抛物线”的顶点与对称轴，进而“孔像抛物线”解析式，利用二次函数的性质即可得出结论；
由题意得：利用二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，可得直线必经过这两条抛物线中的一条的顶点，利用分类讨论的思想方法，令分别经过和的顶点，从而得到关于的方程，解方程即可求得结论；
利用的结论，设这条抛物线的解析式为，令，利用这条抛物线与抛物线的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，得到由题意可知：的取值与无关，由此得到方程组，解方程组即可得出结论．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，关于中心对称的点的特征，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与轴的交点，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意得：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
≌，
，，
，
，
；
，，理由如下：
由得：，
，
∽，
，，
，
，
；
如图，

作于，
，
设，，
在中，
，
，，
在中，
，
，
，
，
，
，
由得：，，
，
，
在和中，点是的中点，点是的中点，
，
，
≌，
是的中位线，
，
∽，
，
． 

【解析】证明≌，进一步得出结论；
证明∽，进一步得出结论；
解斜三角形，求得，根据可得，从而得出三角形的面积，可证得≌，与的面积比等于：，进而求得结果．
本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法．