专题07 数列的综合（二）-备战高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题07 数列的综合（二）专题点拨1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，则①Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列；②eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是一个等差数列；2．设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，当q>1，a1>0或00，b>0，当a，b，－2适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故a·b＝q＝4，b＝eq \f(4,a)，当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a是等差中项时，2a＝eq \f(4,a)－2，解得a＝1，b＝4；当eq \f(4,a)是等差中项时，eq \f(8,a)＝a－2，解得a＝4，b＝1，综上所述，a＋b＝p＝5，所以p＋q＝9，选D.7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是： “一座 7 层塔共挂了 381 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍， 则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题： 一座 5 层塔共挂了 242 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 3 倍， 则塔的底层共有灯　　A ． 162 盏 B ． 114 盏 C ． 112 盏 D ． 81 盏【答案】A【解析】设每层的灯数形成等比数列，公比，，则，解得．．故选：．三、解答题8.（2021•奉贤区校级二模）已知函数，，各项均不相等的数列满足：，令．（1）试举例说明存在不少于3项的数列，使得；（2）若数列的通项公式为，证明：对恒成立；（3）若数列是等差数列，证明：对恒成立．【分析】（1）令，只需使得即可；（2）先证明，再证明，即可得证；（3）分，，进行讨论．【解答】解：（1）是奇函数，且在上单调递增，取，，则（3），可取，使得（3）；（2）证明：由于那么，，易知是一个奇函数，当时，，，在单调递增，又是一个奇函数，在上单调递增，，而，，，，即，，对恒成立；（3）证明：如，；若，则，则，，，同理可得，，累加可得，；若，则，则，，，同理可得，，累加可得，；综上所述，对恒成立．9.（2021•金山区二模）在数列中，已知，．（1）证明：数列为等比数列；（2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值；（3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接利用关系式的变换和构造新数列的应用求出结果；（2）直接利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果；（3）利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结果．【解答】证明：（1）数列中，已知，．所以，整理得，故，所以数列为等比数列；解：（2）由（1）得：，所以，所以，故．令，则，解得，所以的最小正值为10．解：（3）假设存在正整数、、满足题意，则，即，整理得，由于，得到，，所以为奇数，而和均为偶数，故（1）式不能成立，、即不存在正整数、、且，使得，，成等差数列．10.（2021•杨浦区校级三模）设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，均成立．（1）求的所有可能值；（2）若数列使得无穷数列、、、、、是公差为1的等差数列，求数列的通项公式；（3）求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2021．【分析】（1）列出各种可能的情况直接相加；（2）先求出奇数项的通项，为偶数时，根据求出偶数项的通项；（3）由（2），先找出值为2021的项，然后构造，，，，得出，进而得证．【解答】解：（1），，或，又，当时，或，当时，或，的所有可能取值为，3，7；（2）证明：、、、、、是公差为1的等差数列，，为奇数时，，为偶数时，由，得，，；（3）证明：由（2）可知，存在、、、、、是公差为1的等差数列，在该数列中，有，记，令，，，，则，，同理，存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2021，得证．