专题06 数列的综合（一）-备战高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题06 数列的综合（一）专题点拨1．①若{an}是公差为d的等差数列，则d>0时，{an}是递增数列； 时，{an}是递减数列；d＝0时，{an}是常数列．②等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d(n≥1)可推广为数列通项公式an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*且n>m)．③若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，当{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和，等于首末两项之和．④项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)成等差数列．2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，则①Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列；②eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是一个等差数列；真题赏析1．(2016·上海)已知数列{an}和{bn}，其中an＝n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，＝__________．(2016·上海)无穷数列由k个不同的数组成，Sn为的前n项和．若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为__________．（2017·上海）已知Sn和Tn分别为数列与数列的前n项和，且a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an＝ebn(n∈N*)，则当Tn取得最大值时，n的值为________．4．（2018·上海）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．（1）设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；（2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m. 例题剖析【例1】（2021•徐汇区校级三模）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是　 　．【变式训练1】（2021•青浦区三模）若等差数列前项和为，，，则的通项公式为　　．【例2】等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的为　　A ． 25 B ． 27 C ． 25 或 26 D ． 26 或 27【变式训练2】已知是数列的前项和，，，，数列是公差为2的等差数列，则　　．233 ．282 ．466 ．650【例3】在等差数列中，，．（1） 求数列的通项公式；（2） 对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，记数列的前项和，求使得的最小整数；（3） 若，使不等式成立， 求实数的取值范围 ．【变式训练3】已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和Sn＝3n2＋8n，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通项公式；(2)令cn＝eq \f(（an＋1）n＋1,（bn＋2）n). 求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))的前n项和Tn.【例4】设数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(n∈N*，p>0)，数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．(1)若p＝eq \f(1,2)，q＝－eq \f(1,3)，求b3；(2)若p＝2，q＝－1，求数列{bn}的前2m项和公式；(3)若p＝eq \f(1,3)，是否存在q，使得bm＝3m＋2(m∈N*)？如果存在，求q的取值范围；如果不存在，请说明理由． 巩固训练填空题1.（2021•奉贤区二模）已知各项为正的等差数列的前项和为，若，则　 　．2.设等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．3.（2021•奉贤区二模）设为正数列的前项和，，，对任意的，均有，则的取值为　 　．4.已知数列满足，其首项，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围是　 　．二、选择题5.（2021•黄浦区校级三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的　　A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件6.对于数列，，若使得对一切成立的的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”，设函数及数列，，且，若，则当时，下列结论正确的应为　　．数列，，的“准最大项”存在，且为 ．数列，，的“准最大项”存在，且为 ．数列，，的“准最大项”存在，且为 ．数列，，的“准最大项”不存在7.（2021•浦东新区二模）数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是　　①存在实数，使得为等差数列；②存在实数，使得为等比数列；③若存在使得，则实数唯一．A．① B．①② C．①③ D．①②③三、解答题8.等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1＝1，且b2＋S2＝12，{bn}的公比q＝eq \f(S2,b2).(1)求an与bn；(2)求eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,Sn). 9．（2021•长宁区二模）数列满足：，，且对任意，都有，．（1）求，，；（2）设，求证：对任意，都有；（3）求数列的通项公式．10.已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前项和，．（1） 若，求的值；（2） 若是公比为的等比数列， 求证： 数列为等比数列；（3） 若的各项都不为零，是公差为的等差数列， 求证：，，，，成等差数列的充要条件是．11.（2021•浦东新区校级三模）已知，一个项数为的有穷实数列称为“数列”，若其满足下列三个条件：①，；②当时，；③当时，．（1）若存在使得数列1、、2为“数列”，求的值；（2）已知存在有穷等比数列为“数列”，求实数的取值范围；（3）设是各项均为正整数的项数列，，，且当时，以为通项的数列，都是“数列”，求数列最大项的值．