2022年河南省地市一、二模拟试卷的的真题分类第23题

这是一份2022年河南省地市一、二模拟试卷的的真题分类第23题，共19页。试卷主要包含了问题背景，综合与实践，观察猜想等内容，欢迎下载使用。
2022年河南省地市一、二模拟试卷的的真题分类第23题
1.（2022年驻马店市二模）（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．

（1）如图1，点E在点B的左侧运动．
①当BE＝1，BC＝时，则∠EAB＝　 　°；
②猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为 　 　．
（2） 如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）问中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成
立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．
（3）点E在射线CB上运动，BC＝，设BE＝x，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．










2.（2022年平顶山市一模）点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中
∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H．
（1）发现 如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是　 　；
（2）探究 如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展 在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长．










3.（2022年许昌市一模）问题背景
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6
世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理．
芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD
展开，得到折痕EF；
第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕
MN，B'E与AB交于点P．则点P为AB的三等分点，即AP：PB＝2：1．
问题解决
如图1，若正方形ABCD的边长是2．（1）CM的长为 　 　；
（2）请通过计算AP的长度，说明点P是AB的三等分点．
类比探究
（3）将长方形纸片ABCD（AB＞BC）按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点P也为AB的三等分点，请直接写出的值．









4.（2022年焦作市一模）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作∠PAB，∠PBA的平分线AD，BC，交点为E；（3）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
简述作图理由：
由作图可知，PA＝PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，∠PAB＝∠PBA，因为AD，BC分别是∠PAB，∠PBA的平分线，所以∠DAB＝∠CBA，所以AE＝BE，所以点E在线段AB的垂直平分线上，所以PE是线段AB的垂直平分线．
小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段PA，PB上截取PC＝PD；（3）连接AD，BC，交点为E；（4）作直线PE．直线PE即为线段AB的垂直平分线．
…
任务：（1）小晃得出点P在线段AB的垂直平分线上的依据是 　 　；
（2）小航作图得到的直线PE是线段AB的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知∠P＝30°，PA＝PB，AB＝，点C，D分别为射线PA，PB上的动点，且PC＝PD，连接AD，BC，交点为E，当AD⊥BC时，请直接写出线段AC的长．







5. （2022年开封市一模）阅读理解：如图（1），△ABC中，以B为圆心，以适当长为半径画弧，与BC和BA分别交于点X，Y；再分别以点X，Y为圆心，大于XY的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线BD与AC交于点E，过点E作EF∥BC交AB于F．
观察思考：依据上述操作可得：
①∠ABE与∠CBE的大小关系为 　 　，
②BF与EF的数量关系为 　 　．
拓展延伸：如图（2），在△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACG的平分线交于点D，过D作
DF∥BC分别交AC，AB于点E，F，请判断EF与BF，CE之间的数量关系，并说明理由．
问题解决：如图（3），在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，连接BD，将△ABD沿BD折叠，使点
A落在直线DC上方的A'处，当△A'DC是直角三角形时，请直接写出线段AB的长度．










6. （2022年信阳市一模）提出问题：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．
如图1，三角板ABC和三角板DEF都是等腰直角三角形，∠C＝∠F，点M，N分别为DE，AB的中点．
如图2，将点F、点C重叠合并在一起，记作点C，点D，E分别落在边BC，AC上，连接AD，记AD
的中点为点P，试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．

探究交流：感恩小组发现，PM＝PN，PM⊥PN，并展示了如下的证明方法：
∵点P，N分别是AD，AB的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD
∵点P，M分别是AD，DE的中点，
∴PM∥AE，PM＝AE． （依据1）
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴BD＝AE，
∴PM＝PN．
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC．
∵PM∥AE，
∴∠DPM＝∠DAC．
∵∠BCA＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，（依据2）
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠CAD+∠ADC＝90°
∴PM⊥PN．
反思拓展：（1）①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？
②试判断图2中，MN与AB的位置关系，请直接回答，不必证明；
（2）“责任”小组在探究时，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图3的位置，发现△MPN是等腰直角三角形，请你给出证明；
（3）“坚持”小组的同学进行“固定变量”探究，令AC＝10，CD＝3时，把△CDE绕点C在平面内自由旋转，△MPN的面积是否发生变化，若不变，请直接写出△MPN的面积；若变化，△MPN的面积是否存在最大与最小？若存在，请直接写出△MPN面积的最大值与最小值．







7.（2022年济源市一模）在△ABC与△ADE中，连接DC，点M、N分别为DE和DC的中点，MN与BD所
在直线交于点P．
（1）【观察猜想】如图①，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，MN与BD的数量关系
是 　 　，∠BPM＝　 　°；
（3） 【类比探究】如图②，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请写出MN与BD的数量
关系与∠BPM的度数，并就图②的情形说明理由；
（4） 【解决问题】如图③，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，3AD＝AB＝6，将△ADE
绕点A进行旋转，当点D落在△ABC的边所在直线上时，请直接写出MN的长．





7. （2022年鹤壁市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AH是BC边上的高，点D是直线AH上一个动点，将线段DC绕点D顺时针旋转α（0°＜α≤180°），得到线段DE，连结EC，EB，直线AH和直线BE相交于点F．
（1）如图①，当α＝90°时，线段AD与BE的比值是 　 　；直线AD与BE所夹锐角是 　 　°；
（2）如图②，当α＝120°时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图②中的情形进行
证明；否测，请说明理由；
（3）如图③，若当α＝60°时，AB＝6，∠ACD＝15°，请直接写出EF的长．













9.（2022年洛阳市一模）综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“矩形”为主题开展数学活动．
已知矩形ABCD（AD＞AB）的一条对称轴分别交边AB、CD于点E、F，如图①，奋进小组进行了如
下的操作：以点B为圆心，BA的长为半径作弧，交边BC于点Q，已知点A'在弧AQ上运动（含A、Q两点），连接BA′，再分别以点A、A'为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线BG交AD于点H．
提出问题：（1）如图②，当点A'运动到EF上时，求∠ABH的度数；
拓展应用：（2）如图③，勤奋小组在图②的基础上进行如下操作：连接HA'并延长交BC于点P，请判断△HBP的形状，并说明理由；
解决问题：（3）创新小组在图③的基础上进行如下操作：延长BA'交边AD于点M，当△MPC是直角三角形时，请直接写出矩形的边BC和AB之间的数量关系．







10.（2022年洛阳市二模）在△ABC和△DEC中，∠ACB＝CDCE﹣90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．

（1）如图（1）当点D，F重合时，则AF，BF，CF之间的数量关系为 　 　；
（2）如图（2），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立；
（3）如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），则线段AF，BF，CF之间满足什么数量关系，请说明理由．










jing@163.com；学号：211.（2022年濮阳市一模）如图，等腰Rt△DCE可以绕等腰Rt△ACB的顶点C旋转，∠DCE＝∠ACB＝90°，AC＝CB，DC＝CE．点F、H、G分别是DE、AB、EB的中点，连接FH、GH．
[问题解决]（1）如图1，∠FHG＝　 　°；
[问题探究]（2）如图2，连接AE，若AE＝BE，求：；
[问题拓展]（3）若AC＝2，旋转等腰Rt△DCE，当DE∥BC，且以B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出FH的长．












12. （2022年平顶山市二模）（1）如图1，已知△ABC是等边三角形．D，E分别为边AB，AC的中点，连接
BE，CD，BE与CD交于点P．试判断：①∠BPD的度数为 　 　；②线段PB，PD，PE之间的数量关系：PB　 　PD+PE．（填写“＞”或“＜”或“＝”）

（2）若点E是边AC所在射线AC上一动点（0＜CE＜AC）．
按下列步骤画图：（Ⅰ）连接BE，作点A关于BE所在直线的对称点D，连接BD；
（Ⅱ）作射线DC，交BE所在直线于点P．
小明所做的图形如图2所示，他猜想：PB＝PD+PC．下面是小明的思考过程：如图2，延长PD到F，使得
DF＝PC，连接BF．发现△BPC≌△BFD，从而得到BP＝BF，又因为∠ABC＝60°所以可得∠PBF＝60°，进而得到△PBF为等边三角形，从而得到线段PB，PC，PD之间关系是PB＝PD+PC．
小华同学画图时，把点E标在了边AC的延长线上，请就图3按要求画出图形，猜想线段PB，PC，PD
之间的数量关系，并说明理由．
（3） 如图4，在△ABC中，若∠ABC＝90°，AB＝BC，点E是射线AC上一动点（0＜CE＜AC），
连接BE，作点A关于直线BE的对称点D，连接DC，射线DC与射线BE交于点P，若PC＝m，PB＝n，诮直接用m，n表示PD的长．






13. （2022年焦作市二模）（1）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，点D，E分别在边CA，
CB上，且CD＝CE＝2，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CF所在直线与线段BD所在直线的位置关系是 　 　，线段CF和线段BD的数量关系为 　 　．

（2） 将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证
明；若不成立，请说明理由．
（3） 将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF
的长为 　 　．


14. （2022年开封市二模）中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，
人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾.2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．
问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC＝3，斜边AB＝5，则中间小正方形的边长CD＝　 　，
连接BD，△ABD的面积为 　 　．
知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA；PB；PC，当∠BPC＝90°；BP＝时，
△PAB的面积为 　 　．
拓展延伸：如图③，已知∠MBN＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于
A，C两点．
（1） 已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，
使EF＝BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．
（2） 在（1）的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB＝10，CF＝2时，
直接写出线段DE的长．







15.（2022年三门峡市一模）综合与实践
问题情境：如图1，M是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，连接CD．取AB中点E，CD中点F，连接EF．
猜想验证：（1）如图2，当点M与点E重合时，试判断EF与CD之间的数量关系，并说明理由；
延伸探究：（2）如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若AB＝2cm，线段EF是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．









16.（2022年三门峡市二模）某数学兴趣小组的同学对一个数学问题的探究过程如下，请仔细阅读，并解答相应问题．
【问题提出】
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC且AC＝10cm，D为BC边上一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，F为线段EA上一点，且EF＝CE，过点F作GF⊥AD交直线CA于点G，探究线段CE，DE，GF的数量关系．
【问题猜想】
（1）当D为线段CB上一点时，数学兴趣小组的同学测得DE＝0.8cm，GF＝1.97cm，CE＝2.77cm，由此猜想CE，DE，GF之间的数量关系可能是 　 　；
【问题探究】
（2）当点D是线段BC上任意一点时，（1）中的猜想是否成立？如果成立，请进行证明；如果不成立，请说明理由；
【问题拓展】
（3）上述问题中，若D为射线CB上的一个动点，F为射线EA上的一个动点，G为射线CA上的一个动点，其他条件不变，当AF＝2cm时，直接写出DE的长．


17.（2022年商丘市二模）下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．
如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，求证：PM＝PN．
小明的思考：要证明PM＝PN，只需证明△POM≌△PON即可．
证法：如图1，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，
又∵OP＝OP，OM＝ON，∴△MOP≌△NOP，
∴PM＝PN；
请仔细阅读并完成以下任务：
（1）小明得出△MOP≌△NOP的依据是 　 　（填序号）．
①SSS，②SAS，③AAS，④ASA，⑤HL．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，求证：PC＝PD．
（3）在（2）的条件下，如图③，若AB＝10，，当△PBC有一个内角是45°时，△PAD的面积是 　 　．










18.（2022年信阳市二模）（1）观察猜想：
如图①，在正方形ABCD中，点E、点F分别是边AB、BC的中点，四边形EBFG也是正方形，连接DG．则
CF：DG＝　 　，直线DG与直线CF相交所夹的锐角度数为 　 　；
（2）探索思考：
如图②，在矩形ABCD中，，AB＝2，点E、点F分别是边AB、BC的中点，四边形EBFG是矩形，
连接DG，则CF：DG＝，直线DG与直线CF相交所夹的锐角度数为；
如图③，若将矩形EBFG绕点B旋转一周，在旋转过程中，CF：DG的值以及直线DG与直线CF相交所夹
的锐角度数是否发生变化？请仅就图③的情形给出证明；
（3）拓履延伸：
在（2）条件下当矩形EBFG旋转至EG垂直DF时，请直接写出点C到直线DF的距离．













19. （2022年郑州市二模）（1）如图1，正方形ABCD的中心为点O，正方形OA'B'C'与正方形ABCD的边长相等．正
方形OA′B′C'绕点O旋转，运动过程中两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？如果变化，重叠部分的面积如何变化；如果不变，重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有何关系？请写出结论并证明．
结论：　 　．
证明：
【提出问题】“其他形状相同的两个图形，在类似上述旋转的过程中，上面发现的结论是否依然成立？”现对正三角形进行研究．
（3） 如图2，正三角形ABC的中心为点O，正三角形OA'B'与正三角形ABC的边长相等，边OA'经过点B．正
三角形OA'B'绕点O顺时针旋转α（0≤α≤120°），运动过程中两个正三角形重叠部分的面积是否发生变化？如果变化，重叠部分的面积如何变化；如果不变，重叠部分的面积与正三角形ABC的面积有何关系？请写出研究过程．








20.（2022年安阳市一模）某兴趣小组探索等腰三角形中线段比值问题，部分探索活动如下：

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，D，E分别是BC，AC边上的点，∠AFE＝∠ABC，则的值为 　 　．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，D，E分别是BC，AC边上的点，∠AFE＝∠ABC，请你猜想的值，并给出证明；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，，D，E分别是BC，CA边延长线上的点，∠DFB＝∠ABC，请直接写出的值．





答案
1.解：（1）①∵AB＝BC＝，BE＝1，∠ABC＝90°，
∴AE＝2，
∴∠EAB＝30°，
故答案为：30；
②CA+CF＝CE．
如图1，过点E作ME⊥EC交CA的延长线于M，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠ECM，
∴ME＝EC，
∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEM＝∠CEF，
∴△FEC≌△AEM（SAS），
∴CF＝AM，
∴CA+AM＝CA+CF＝CM，
∵△CME为等腰直角三角形，
∴CM＝CE，
∴CA+CF＝CE；
故答案为：CA+CF＝CE；
（2）不成立．
如图2，过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H．

∴∠AEF＝90°，AE＝EF，
∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEH＝90°，
∴∠FEH＝∠BAE，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，
∴CH＝BE＝FH，
∴△FHC为等腰直角三角形，
∴CH＝BE＝FC．
又∵EC＝BC﹣BE＝FC，
即CA﹣CF＝CE．
（3）①如图1，当点E在点B左侧运动时，y＝；
∵△FEC≌△AEM，
∴S△FEC＝S△AEM，
∴S四边形AEFC＝S△AEC+S△FEC＝S△AEC+S△AEM＝S△CME＝，
∵BE＝x，BC＝，
∴y＝＝；
②如图2，当点E在线段CB上运动时，y＝．
由（2）可知△AEF为等腰直角三角形，FH＝BE＝x，
∴S四边形AECF＝S△AEF+S△ECF＝EC×FH
＝
＝x．
∴y＝．
综合以上可得y与x之间的函数关系式为y＝或y＝．
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