浙江省杭州市六县九校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

浙江省杭州市六县九校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A.  B.

C.  D.

2、已知直线与直线平行，则实数(   )

A.-2 B.3 C.5 D.-2或3

3、第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有(   )

A.840种 B.140种 C.420种 D.210种

4、的二项展开式中第4项的系数为(   )

A.-80 B.-40 C.40 D.80

5、函数的图像可能是(   )

A. B.

C. D.

6、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(   )

A.3盏 B.7盏 C.9盏 D.11盏

7、已知双曲线的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

8、在正方体中，E是侧面内动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知函数，下列关于的说法正确的是(   )

A.定义域是  B.值域是R

C.图象恒过定点  D.当时，在定义域上是增函数

10、古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设，则下列正确的结论是(   )

A.

B.以射线OF为终边的角的集合可以表示为

C.点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为

D.正八边形ABCDEFGH的面积为

11、已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有(   )

A.直线AB的方程为

B.四点O、A、P、B共圆

C.若P在直线上，则四边形OAPB的面积有最小值2

D.若，则的最大值为

12、对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有(   )

A.函数的图象关于y轴对称

B.

C.函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等

D.对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且

三、填空题

13、已知复数z满足，那么___________.

14、抛物线的准线截圆所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为_________．

15、已知函数在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数a的最大值为_______.

16、数列的前项n和为，满足，且，则______．

四、解答题

17、良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益.某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标.

（1）估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的中位数与平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法抽取8名，再从这8名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在的概率.

18、已知

（1）求函数的对称中心和单调增区间；

（2）将函数的图象上的各点______得到函数的图象，当时，方程有解，求实数a的取值范围．

在以下①、②中选择一个，补在（2）的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．

①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位．

19、已知等差数列的公差为正数，，其前n项和为，数列为等比数列，，且，．

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

20、如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,M,N为线段PC,AD,上一点不在端点.

(1)当M为中点时，，求证：面PBA

(2)当N为AD中点时，是否存在M，使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.

21、已知椭圆的离心率为，圆与轴相切，O为坐标原点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的右焦点为F，过点F的直线l交椭圆于A,B两点，是否存在直线l使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

22、已知函数，，.

（1）求的最大值；

（2）若对，总存在使得成立，求a的取值范围；

（3）证明不等式.

参考答案

1、答案：B

解析：因为，所以，则，

因为，所以，则，

所以，

故选：B

2、答案：A

解析：当时，显然不符合题意，所以，

由得，由得，

所以，解得

故选：A

3、答案：C

解析：由题可知：甲两天，乙三天，丙和丁各一天

所以不同的安排方法有种

故选：C

4、答案：B

解析：的二项展开式中第4项为，

所以所求系数为-40.

故选：B

5、答案：A

解析：令

，则函数为奇函数，故CD错误

当时，，则

当时，，则

则，即

由可知，函数的第一个正零点为

，，故B错误；

故选：A

6、答案：A

解析：设塔的顶层共有盏灯，

则数列公比为2的等比数列，

，

解得，

即塔的顶层共有灯3盏.

故选：A．

7、答案： C

解析：设渐近线是，记，则，所以，

设，在中，，

所以，即，

由于，因此上述方程的两解,就是，

又，不妨记，

又，，

则，所以，

所以，则，解得或

又，所以．

故选：C

8、答案：B

解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体中棱长为1，

设，，，

，，

，，

，，，

设平面的法向量，

则，取，

得，

平面，

，解得，

，，

设直线与直线AB所成角为，

，

，，，

．

直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是．

故选B．

9、答案：ABC

解析：对于A选项，，解得，所以定义域是，故正确；

对于B选项，由对数函数的性质得值域是R，故正确；

对于C选项，函数恒过定点，故正确；

对于D选项，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，故根据复合函数单调性得当时，在定义域上是减函数，故错误；

故选：ABC

10、答案：ABC

解析：由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为，

，

因为，，

所以，所以A正确；

因为，所以以射线OF为终边的角的集合可以表示为，所以B正确；

对于C，因为，半径为1，所以弦AB所对的劣弧弧长为，所以C正确；

对于D，因为，所以正八边形ABCDEFGH的面积为，所以D错误，

故选：ABC

11、答案：ABD

解析：设，时，切线方程为，时，切线方程为，

时，，因此，切线方程为，

又，，或的切线方程也满足此方程．

同理设，切线方程是，

而P在两切线上，所以，，因此直线AB的方程是，A正确；

由，因此可得，所以四点O、A、P、B共圆，B正确；

由四边形OAPB的性质知其面积等于，要使得切线长最小，则最小，即为O到直线的距离，，因此面积最小值为，C错误；

由，用得，所以，

所以，由基本不等式知，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值是．D正确、

故选：ABD．

12、答案： ABD

解析：对于A：因为函数的定义域为，

所以为偶函数，图象关于轴对称，故选项A正确；

对于B：由A知为偶函数，当时，，

若即只需证，

令，，

因为，所以，

所以在上单调递增，所以，

即，所以恒成立，故选项B正确；

对于C：令，可得，所以函数的图象与轴的交点坐标为且，交点与间的距离为，而其余任意相邻两点之间的距离为.故选项C错误；

对于D：，

即，即，

当时，，，

区间长度为，所以对于任意常数，存在常数，，使在上单调递减且，故选项D正确；

故选：ABD.

13、答案：i

解析：因,

故答案为: i.

14、答案：

解析：抛物线的准线为，

把圆化成标准方程为，得圆心，半径，

圆心到准线的距离为，所以，即，

所以焦点坐标为．

15、答案：2

解析：因为当时，有不等式成立，

所以，

令所以函数在上单调递增，

由题得

所以函数是奇函数，所以函数在R上单调递增.

因为对，不等式恒成立，

所以，,

因为,所以当时，显然成立.

当时，，

所以，所以函数在单调递减，在单调递增.

所以，

所以,

所以正整数a的最大值为2.

故答案为2

16、答案：

解析：由题意，数列满足，

可得，

所以，

故答案为：

17、答案： （1），；

（2）.

解析：（1）设中位数为m，则，

；

（2）根据题意可得，抽取的8名同学中，

时间在的有6名，记为，，，，，，

时间在的有名，记为，，

从8名同学中随机取2人的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，

记事件A为两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在，

则A包含的基本事件个数有个，

所以.

18、答案： （1）对称中心是，；单调增区间为，   

（2）

解析：（1）因为

令，，则，，

故函数的对称中心是，；

令，，则，，

所以单调增区间为，

（2）选①，则可得，

当时，，则，所以，

若方程有解，则.

选②，则可得，

当时，，则，所以，

若方程有解，则.

19、答案：（1）；   

（2）

解析：（1）由题，设等差数列的公差为，等比数列公比为q，

所以，

因为，，所以，解得：，

所以，.

（2）由（1）得：，

所以，

则，

两式作差得：

，

所以.

20、答案：（1）证明见解析

（2）存在，

解析：(1)方法一：证明：因为平面ABCD，AB，平面ABCD.

所以,.

又，所以AP，AB，AD两两垂直.

分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

则，,,,,.

显然平面PAB的法向量为，则

又MN不在平面PAB内，所以平面PAB.

方法二：取BP的中点E，连接ME，EA

由M为PC的中点，可知,

在平面四边形ABCD中，

即，所以，即

由已知得

所以，四边形AEMN是平行四边形，所以

因为平面PAB，平面PAB

所以平面PAB

(2)假设存在点M使得MN与平面PBC所成角的正弦值为

则，,所以

N为AD中点，则，即

设平面PBC的法向量为,,

，

不妨设，则

设线面角为，则

解得或1（舍去）

时，直线MN与平面PBC所成角的正弦值为．

21、答案：（1）   

（2）存在，或或或

解析：（1）因为圆与x轴相切，所以所以，

又，所以，

所以椭圆；

（2）由（1）可知椭圆的右焦点为，

①当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；

②当直线l的斜率不为0时，

设直线，,

联立，恒成立，

所以，

则

所以

令，

解得或，即得或

所以符合条件的直线方程分别为或或或.

22、答案：（1）0；

（2）；

（3）证明见解析.

解析：（1）由，，得，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以当时，取得最大值，即.

（2）对，总存在使得成立，等价于，

由（1）可知，问题转化为

即在有解，

即在有解，

∴.

（3）由（1）知：，令，则，

即，也即，

，

.

得证.