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2023年辽宁省+沈阳市+皇姑区辽宁省实验学校中考数学一检试卷（含答案）
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这是一份2023年辽宁省+沈阳市+皇姑区辽宁省实验学校中考数学一检试卷（含答案），共27页。
2023年辽宁省实验学校中考数学一检试卷
一.选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣21的绝对值为（ ）
A．21 B．﹣21 C． D．﹣
2．（2分）2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景．其中（ ）
A．0.5×106 B．50×104 C．5×104 D．5×105
3．（2分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）已知点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
5．（2分）若单项式2xmy²与﹣3x3yn是同类项，则mn的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
6．（2分）若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ）
A．m＞ B．m＜2
C．m＜﹣2或m≥﹣ D．≤m＜2
7．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AE＝4，CE＝2，则BD的长为（ ）
A．1.5 B． C． D．2
8．（2分）如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2分）如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A﹣D﹣C的路径向点C运动，当Q到达终点时，P停止移动，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2分）如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆O分别交AB，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）
11．（3分）分解因式：4x2﹣8x+4＝ ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
14．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转42°得到△EBF，连接CF，则∠ACB的度数是 度．
15．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，CD长为半径作弧交OB的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8 ．
三.解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：（）﹣1﹣+6sin60°+|﹣2|．
18．（8分）小聪和小明周末相约到泰兴银杏公园晨练，这个公园有A，B，C三个入口，假设选择每个入口的可能性相同．
（1）小聪进入泰兴银杏公园时，从A入口处进入的概率为 ；
（2）用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
19．（8分）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20．（8分）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 名学生，m的值是 ．
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
21．（8分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
五、解答题（本题10分）
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，半径OD⊥AB，⊙O的弦CD与AB相交于点F．
（1）求证：EF＝EC；
（2）若OE＝10，且B为EF的中点，求⊙O的半径长．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为8，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，△CDE停止移动．
（1）求直线OB的函数表达式；
（2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为 ；
（3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC时，请直接写出此时点E的坐标为 ．
七、解答题（本题12分）
24．（12分）【问题提出】
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝DC，点E在△ABC内部，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
【问题探究】
（1）如图（2），当点D，F重合时，
①AF与BE的数量关系是 ．
②＝ ．
（2）如图（1），当点D，F不重合时，求
（3）【问题拓展】
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，求出线段AF，BF（用一个含有k的等式表示）．
八、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P
2023年辽宁省实验学校中考数学一检试卷
（参考答案）
一.选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣21的绝对值为（ ）
A．21 B．﹣21 C． D．﹣
【解答】解：﹣21的绝对值为21，
故选：A．
2．（2分）2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景．其中（ ）
A．0.5×106 B．50×104 C．5×104 D．5×105
【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5×105．
故选：D．
3．（2分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形．
故选：B．
4．（2分）已知点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【解答】解：∵点P（3，2）在反比例函数y＝，
∴k＝2×2＝6，
A、∵﹣6×（﹣2）＝6，故本选项正确；
B、∵4×（﹣2）＝﹣6，故本选项错误；
C、∵﹣5×3＝﹣6，故本选项错误；
D、∵2×（﹣3）＝﹣6，故本选项错误．
故选：A．
5．（2分）若单项式2xmy²与﹣3x3yn是同类项，则mn的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【解答】解：∵单项式2xmy²与﹣3x6yn是同类项，
∴m＝3，n＝2，
∴mn＝22＝9，
故选：A．
6．（2分）若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ）
A．m＞ B．m＜2
C．m＜﹣2或m≥﹣ D．≤m＜2
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+3m﹣1经过第一、二，
∴Δ＝（8）2﹣6（3m﹣1）＞2且3m﹣1≥7，
解得≤m＜5．
故选：D．
7．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AE＝4，CE＝2，则BD的长为（ ）
A．1.5 B． C． D．2
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AE＝4，AD＝3，
∴＝，
解得：BD＝2.5，
故选：A．
8．（2分）如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜02﹣8x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞06﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞06﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣，和x轴的正半轴相交；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞03﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
9．（2分）如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A﹣D﹣C的路径向点C运动，当Q到达终点时，P停止移动，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当0≤t≤1时，S＝，
∴该图象y随x的增大而减小，
当1＜t≤4时，S＝5+3t﹣2，
∴该图象开口向下，
当3＜t≤3，S＝2+6t﹣6，
∴该图象开口向下，
故选：C．
10．（2分）如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆O分别交AB，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，
如图，连接OE，过O点作OH⊥EF，
则EH＝FH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，
∴AD＝BD＝AB＝4，
∴OE＝2，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝2×，
由垂径定理可知EF＝3EH＝2．
故选：B．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）
11．（3分）分解因式：4x2﹣8x+4＝ 4（x﹣1）2 ．
【解答】解：4x2﹣5x+4＝4（x2﹣2x+1）＝6（x﹣1）2．
故答案为：3（x﹣1）2．
12．（3分）不等式组的解集是 x＜﹣1 ．
【解答】解：，
由①得：x＜﹣1，
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
13．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 k≥﹣3且k≠﹣2 ．
【解答】解：根据题意得k+2≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4（k+8）×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣5且k≠﹣2，
所以实数k的取值范围是k≥﹣3且k≠﹣7．
故答案为：k≥﹣3且k≠﹣2．
14．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转42°得到△EBF，连接CF，则∠ACB的度数是 49 度．
【解答】解：由旋转的性质，∠ACB＝∠EFB，BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝＝69°，
∴∠BFE＝∠BFC﹣∠EFC＝69°﹣20°＝49°，
∴∠ACB＝49°．
故答案为：49．
15．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，CD长为半径作弧交OB的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 + ．
【解答】解：连接OD、BD，
∵过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，
∴OD＝BD，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴∠BOD＝60°，
∴CD＝OD＝，
∴S阴影＝S扇形CDE+S△COD﹣S扇形BOD＝+﹣＝+．
故答案为：+．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8 4 ．
【解答】解：如图，连接AE，EN，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，
∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，
设DN＝x，
∵BE＝DF＝5，CN＝8，
∴CD＝CN+DN＝x+7，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣6＝x+3，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE6＝EN2，
即83+（x+3）2＝（x+4）2，
解得：x＝12，
∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+7＝20，
∴AN＝＝＝5，
解法二：可以用相似去做，△ADN与△FCE相似，
＝，即＝，
∴x＝20．
在△ADN中，利用勾股定理可求得AN＝4．
故答案为：4．
三.解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：（）﹣1﹣+6sin60°+|﹣2|．
【解答】解：原式＝3﹣2+6×
＝3﹣7+3
＝5．
18．（8分）小聪和小明周末相约到泰兴银杏公园晨练，这个公园有A，B，C三个入口，假设选择每个入口的可能性相同．
（1）小聪进入泰兴银杏公园时，从A入口处进入的概率为 ；
（2）用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
【解答】解：（1）∵一共有A、B、C三个入口，
∴小聪进入泰兴银杏公园时，从A入口处进入的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B．A）
（C．A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表格可得一共有9种等可能性的结果数，其中她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的结果数有6种，
∴她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
19．（8分）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
又∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AE∥BF，即AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20．（8分）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 50 名学生，m的值是 18 ．
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 108 度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
【解答】解：（1）在这次调查中一共抽取了：10÷20%＝50（名）学生，
m%＝9÷50×100%＝18%，
故答案为：50，18；
（2）选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3＝15（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°×，
故答案为：108；
（4）1000×＝300（名），
答：估计该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．
21．（8分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，
依题意：﹣20＝，
解之得：x＝15．
经检验，x＝15是所列方程的根，
所以（5+20%）x＝18．
答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，
依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，
解之得：a≤．
因为a是正整数，
所以a最大值＝33．
答：最多可购“科普类”图书33本．
五、解答题（本题10分）
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，半径OD⊥AB，⊙O的弦CD与AB相交于点F．
（1）求证：EF＝EC；
（2）若OE＝10，且B为EF的中点，求⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCF+∠ECF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCF＝∠ODF，
∵OD⊥AB，
∴∠DOF＝90°，
∴∠ODF+∠OFD＝90°，
∴∠ECF＝∠OFD，
∵∠OFD＝∠EFC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC；
（2）解：设⊙O的半径为r，
则OB＝OC＝r，
∵OE＝10，B为EF的中点，
∴BE＝BF＝10﹣r，
EC＝EF＝20﹣2r，
在Rt△OCE中，OC2+CE2＝OE2，
∴r2+（20﹣4r）2＝102，
解得r＝4或r＝10（舍去），
∴⊙O的半径长为6．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为8，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，△CDE停止移动．
（1）求直线OB的函数表达式；
（2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为 （﹣6，0） ；
（3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC时，请直接写出此时点E的坐标为 （﹣24，﹣4）或（﹣30，6） ．
【解答】解：（1）∵直线OB过原点，
∴设直线OB解析式为y＝kx，
点B（﹣30，30）代入解析式，
得30＝﹣30k，
解得k＝﹣1，
∴OB的解析式为y＝﹣x；
（2）∵△CDE是边长为8的等边三角形，
∴CF＝，
∵CD＝3，DF＝，
∴CF＝12，
∵12+3×7＝18，△CDE向左移动了6个单位还在x轴上，
∴点C的坐标为（﹣6，6），
故答案为：（﹣6，0）；
（3）①假设△CDE在x轴上移动，
此时△ACE的高一直为EF＝8，
∵S△ACE＝AC•EF＝36，
∴AC＝18，
∴OF＝OC+CF＝OA﹣AC+CF＝30﹣18+12＝24，
∴E点坐标为（﹣24，﹣4），
②假设△CDE在AB边上移动，
过点C作CH⊥AB于H，
∵△CDE是边长为8的等边三角形，
∴EH＝DE＝4＝12，
又∵S△ACE＝AE•CH＝36，
∴AE×12＝36，
解得AE＝6＞4，
∴点E在第二象限，
∴E（﹣30，6），
综上，点E的坐标为（﹣24）或（﹣30，6），
故答案为（﹣24，﹣3，6）．
七、解答题（本题12分）
24．（12分）【问题提出】
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝DC，点E在△ABC内部，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
【问题探究】
（1）如图（2），当点D，F重合时，
①AF与BE的数量关系是 AF＝BE ．
②＝ ．
（2）如图（1），当点D，F不重合时，求
（3）【问题拓展】
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，求出线段AF，BF（用一个含有k的等式表示）．
【解答】解：【问题提出】BF﹣AF＝CF
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD，
如图（1），过C作CG⊥CF交BF于G，
则∠ACF+∠ACG＝90°，
∵∠BCG+∠ACG＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵BC＝AC，∠CBG＝∠CAF，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴CG＝CF，BG＝AF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴GF＝CF，
∵BF﹣BG＝GF，
∴BF﹣AF＝CF；
【问题探究】（1）①∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD，
∵点D，F重合，
∴BE＝AD＝AF，
故答案为：AF＝BE；
②∵∠DCE＝90°，EC＝DC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∵点D，F重合，
∴DE＝CF，
由①可知，BE＝AF，
∵BF﹣BE＝DE，
∴BE﹣AF＝CF，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）由【问题提出】可知，BF﹣AF＝，
∴＝＝；
（3）BF﹣kAF＝•CF
由（2）可知，∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝kAC，EC＝kDC，
∴＝＝k，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD，
如图（3），过C作CG⊥CF交BF于G，
由（2）可知，∠ACF＝∠BCG，
∴△BCG∽△ACF，
∴＝＝＝k，
∴CG＝kCF，BG＝kAF，
在Rt△GF中，由勾股定理得：GF＝＝＝，
∵BF﹣BG＝GF，
∴BF﹣kAF＝•CF．
八、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P
【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），
∴B（2，﹣1），
∴A（4，8），
将点O、点A2+bx+c，
得到，解得，
∴y＝x2﹣x；
（2）①设F（4，m），y），
∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，
∴（y+7）2＝y2+6y+4，
∵y＝x2﹣x，
∴（y+2）4＝y2+4y+4＝y2+x2﹣2x+4＝y2+（x﹣8）2，
∴G到直线y＝﹣2的距离与点（3，0）和G点的距离相等，
∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；
∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣3的距离相等，
∴（x﹣2）2+＝，
整理得，m（m﹣x2+3x）＝0，
∵距离总相等，
∴m＝0，
∴F（2，0）；
②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（xM，yM），N（xN，yN），
联立，整理得x2﹣（4+2k）x+8k＝0，
∴xM+xN＝7+4k，xM•xN＝8k，
∴yM+yN＝6k2，yM•yN＝﹣4k3，
∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，
∴+＝+＝＝＝2，
∴+＝3是定值；
（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'、y轴分别于点P、Q，
∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，
∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，
∵点C（3，m）是该抛物线上的一点
∴C（3，﹣），
∵B（2，﹣7），
∴B'（﹣2，﹣1），），
∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，
∴Q（0，﹣），P（．
2023年辽宁省实验学校中考数学一检试卷
一.选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣21的绝对值为（ ）
A．21 B．﹣21 C． D．﹣
2．（2分）2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景．其中（ ）
A．0.5×106 B．50×104 C．5×104 D．5×105
3．（2分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）已知点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
5．（2分）若单项式2xmy²与﹣3x3yn是同类项，则mn的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
6．（2分）若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ）
A．m＞ B．m＜2
C．m＜﹣2或m≥﹣ D．≤m＜2
7．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AE＝4，CE＝2，则BD的长为（ ）
A．1.5 B． C． D．2
8．（2分）如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2分）如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A﹣D﹣C的路径向点C运动，当Q到达终点时，P停止移动，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2分）如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆O分别交AB，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）
11．（3分）分解因式：4x2﹣8x+4＝ ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
14．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转42°得到△EBF，连接CF，则∠ACB的度数是 度．
15．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，CD长为半径作弧交OB的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8 ．
三.解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：（）﹣1﹣+6sin60°+|﹣2|．
18．（8分）小聪和小明周末相约到泰兴银杏公园晨练，这个公园有A，B，C三个入口，假设选择每个入口的可能性相同．
（1）小聪进入泰兴银杏公园时，从A入口处进入的概率为 ；
（2）用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
19．（8分）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20．（8分）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 名学生，m的值是 ．
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
21．（8分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
五、解答题（本题10分）
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，半径OD⊥AB，⊙O的弦CD与AB相交于点F．
（1）求证：EF＝EC；
（2）若OE＝10，且B为EF的中点，求⊙O的半径长．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为8，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，△CDE停止移动．
（1）求直线OB的函数表达式；
（2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为 ；
（3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC时，请直接写出此时点E的坐标为 ．
七、解答题（本题12分）
24．（12分）【问题提出】
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝DC，点E在△ABC内部，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
【问题探究】
（1）如图（2），当点D，F重合时，
①AF与BE的数量关系是 ．
②＝ ．
（2）如图（1），当点D，F不重合时，求
（3）【问题拓展】
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，求出线段AF，BF（用一个含有k的等式表示）．
八、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P
2023年辽宁省实验学校中考数学一检试卷
（参考答案）
一.选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣21的绝对值为（ ）
A．21 B．﹣21 C． D．﹣
【解答】解：﹣21的绝对值为21，
故选：A．
2．（2分）2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景．其中（ ）
A．0.5×106 B．50×104 C．5×104 D．5×105
【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5×105．
故选：D．
3．（2分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形．
故选：B．
4．（2分）已知点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【解答】解：∵点P（3，2）在反比例函数y＝，
∴k＝2×2＝6，
A、∵﹣6×（﹣2）＝6，故本选项正确；
B、∵4×（﹣2）＝﹣6，故本选项错误；
C、∵﹣5×3＝﹣6，故本选项错误；
D、∵2×（﹣3）＝﹣6，故本选项错误．
故选：A．
5．（2分）若单项式2xmy²与﹣3x3yn是同类项，则mn的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【解答】解：∵单项式2xmy²与﹣3x6yn是同类项，
∴m＝3，n＝2，
∴mn＝22＝9，
故选：A．
6．（2分）若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ）
A．m＞ B．m＜2
C．m＜﹣2或m≥﹣ D．≤m＜2
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+3m﹣1经过第一、二，
∴Δ＝（8）2﹣6（3m﹣1）＞2且3m﹣1≥7，
解得≤m＜5．
故选：D．
7．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AE＝4，CE＝2，则BD的长为（ ）
A．1.5 B． C． D．2
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AE＝4，AD＝3，
∴＝，
解得：BD＝2.5，
故选：A．
8．（2分）如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜02﹣8x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞06﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞06﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣，和x轴的正半轴相交；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞03﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
9．（2分）如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A﹣D﹣C的路径向点C运动，当Q到达终点时，P停止移动，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当0≤t≤1时，S＝，
∴该图象y随x的增大而减小，
当1＜t≤4时，S＝5+3t﹣2，
∴该图象开口向下，
当3＜t≤3，S＝2+6t﹣6，
∴该图象开口向下，
故选：C．
10．（2分）如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆O分别交AB，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，
如图，连接OE，过O点作OH⊥EF，
则EH＝FH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，
∴AD＝BD＝AB＝4，
∴OE＝2，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝2×，
由垂径定理可知EF＝3EH＝2．
故选：B．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）
11．（3分）分解因式：4x2﹣8x+4＝ 4（x﹣1）2 ．
【解答】解：4x2﹣5x+4＝4（x2﹣2x+1）＝6（x﹣1）2．
故答案为：3（x﹣1）2．
12．（3分）不等式组的解集是 x＜﹣1 ．
【解答】解：，
由①得：x＜﹣1，
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
13．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 k≥﹣3且k≠﹣2 ．
【解答】解：根据题意得k+2≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4（k+8）×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣5且k≠﹣2，
所以实数k的取值范围是k≥﹣3且k≠﹣7．
故答案为：k≥﹣3且k≠﹣2．
14．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转42°得到△EBF，连接CF，则∠ACB的度数是 49 度．
【解答】解：由旋转的性质，∠ACB＝∠EFB，BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝＝69°，
∴∠BFE＝∠BFC﹣∠EFC＝69°﹣20°＝49°，
∴∠ACB＝49°．
故答案为：49．
15．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，CD长为半径作弧交OB的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 + ．
【解答】解：连接OD、BD，
∵过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，
∴OD＝BD，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴∠BOD＝60°，
∴CD＝OD＝，
∴S阴影＝S扇形CDE+S△COD﹣S扇形BOD＝+﹣＝+．
故答案为：+．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8 4 ．
【解答】解：如图，连接AE，EN，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，
∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，
设DN＝x，
∵BE＝DF＝5，CN＝8，
∴CD＝CN+DN＝x+7，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣6＝x+3，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE6＝EN2，
即83+（x+3）2＝（x+4）2，
解得：x＝12，
∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+7＝20，
∴AN＝＝＝5，
解法二：可以用相似去做，△ADN与△FCE相似，
＝，即＝，
∴x＝20．
在△ADN中，利用勾股定理可求得AN＝4．
故答案为：4．
三.解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：（）﹣1﹣+6sin60°+|﹣2|．
【解答】解：原式＝3﹣2+6×
＝3﹣7+3
＝5．
18．（8分）小聪和小明周末相约到泰兴银杏公园晨练，这个公园有A，B，C三个入口，假设选择每个入口的可能性相同．
（1）小聪进入泰兴银杏公园时，从A入口处进入的概率为 ；
（2）用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
【解答】解：（1）∵一共有A、B、C三个入口，
∴小聪进入泰兴银杏公园时，从A入口处进入的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B．A）
（C．A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表格可得一共有9种等可能性的结果数，其中她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的结果数有6种，
∴她们两人选择不同入口进入泰兴银杏公园的概率．
19．（8分）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
又∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AE∥BF，即AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20．（8分）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 50 名学生，m的值是 18 ．
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 108 度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
【解答】解：（1）在这次调查中一共抽取了：10÷20%＝50（名）学生，
m%＝9÷50×100%＝18%，
故答案为：50，18；
（2）选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3＝15（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°×，
故答案为：108；
（4）1000×＝300（名），
答：估计该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．
21．（8分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，
依题意：﹣20＝，
解之得：x＝15．
经检验，x＝15是所列方程的根，
所以（5+20%）x＝18．
答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，
依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，
解之得：a≤．
因为a是正整数，
所以a最大值＝33．
答：最多可购“科普类”图书33本．
五、解答题（本题10分）
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，半径OD⊥AB，⊙O的弦CD与AB相交于点F．
（1）求证：EF＝EC；
（2）若OE＝10，且B为EF的中点，求⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCF+∠ECF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCF＝∠ODF，
∵OD⊥AB，
∴∠DOF＝90°，
∴∠ODF+∠OFD＝90°，
∴∠ECF＝∠OFD，
∵∠OFD＝∠EFC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC；
（2）解：设⊙O的半径为r，
则OB＝OC＝r，
∵OE＝10，B为EF的中点，
∴BE＝BF＝10﹣r，
EC＝EF＝20﹣2r，
在Rt△OCE中，OC2+CE2＝OE2，
∴r2+（20﹣4r）2＝102，
解得r＝4或r＝10（舍去），
∴⊙O的半径长为6．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为8，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，△CDE停止移动．
（1）求直线OB的函数表达式；
（2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为 （﹣6，0） ；
（3）在△CDE的平移过程中，连接AE，AC时，请直接写出此时点E的坐标为 （﹣24，﹣4）或（﹣30，6） ．
【解答】解：（1）∵直线OB过原点，
∴设直线OB解析式为y＝kx，
点B（﹣30，30）代入解析式，
得30＝﹣30k，
解得k＝﹣1，
∴OB的解析式为y＝﹣x；
（2）∵△CDE是边长为8的等边三角形，
∴CF＝，
∵CD＝3，DF＝，
∴CF＝12，
∵12+3×7＝18，△CDE向左移动了6个单位还在x轴上，
∴点C的坐标为（﹣6，6），
故答案为：（﹣6，0）；
（3）①假设△CDE在x轴上移动，
此时△ACE的高一直为EF＝8，
∵S△ACE＝AC•EF＝36，
∴AC＝18，
∴OF＝OC+CF＝OA﹣AC+CF＝30﹣18+12＝24，
∴E点坐标为（﹣24，﹣4），
②假设△CDE在AB边上移动，
过点C作CH⊥AB于H，
∵△CDE是边长为8的等边三角形，
∴EH＝DE＝4＝12，
又∵S△ACE＝AE•CH＝36，
∴AE×12＝36，
解得AE＝6＞4，
∴点E在第二象限，
∴E（﹣30，6），
综上，点E的坐标为（﹣24）或（﹣30，6），
故答案为（﹣24，﹣3，6）．
七、解答题（本题12分）
24．（12分）【问题提出】
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝DC，点E在△ABC内部，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
【问题探究】
（1）如图（2），当点D，F重合时，
①AF与BE的数量关系是 AF＝BE ．
②＝ ．
（2）如图（1），当点D，F不重合时，求
（3）【问题拓展】
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，求出线段AF，BF（用一个含有k的等式表示）．
【解答】解：【问题提出】BF﹣AF＝CF
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD，
如图（1），过C作CG⊥CF交BF于G，
则∠ACF+∠ACG＝90°，
∵∠BCG+∠ACG＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵BC＝AC，∠CBG＝∠CAF，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴CG＝CF，BG＝AF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴GF＝CF，
∵BF﹣BG＝GF，
∴BF﹣AF＝CF；
【问题探究】（1）①∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD，
∵点D，F重合，
∴BE＝AD＝AF，
故答案为：AF＝BE；
②∵∠DCE＝90°，EC＝DC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∵点D，F重合，
∴DE＝CF，
由①可知，BE＝AF，
∵BF﹣BE＝DE，
∴BE﹣AF＝CF，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）由【问题提出】可知，BF﹣AF＝，
∴＝＝；
（3）BF﹣kAF＝•CF
由（2）可知，∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝kAC，EC＝kDC，
∴＝＝k，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD，
如图（3），过C作CG⊥CF交BF于G，
由（2）可知，∠ACF＝∠BCG，
∴△BCG∽△ACF，
∴＝＝＝k，
∴CG＝kCF，BG＝kAF，
在Rt△GF中，由勾股定理得：GF＝＝＝，
∵BF﹣BG＝GF，
∴BF﹣kAF＝•CF．
八、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P
【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），
∴B（2，﹣1），
∴A（4，8），
将点O、点A2+bx+c，
得到，解得，
∴y＝x2﹣x；
（2）①设F（4，m），y），
∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，
∴（y+7）2＝y2+6y+4，
∵y＝x2﹣x，
∴（y+2）4＝y2+4y+4＝y2+x2﹣2x+4＝y2+（x﹣8）2，
∴G到直线y＝﹣2的距离与点（3，0）和G点的距离相等，
∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；
∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣3的距离相等，
∴（x﹣2）2+＝，
整理得，m（m﹣x2+3x）＝0，
∵距离总相等，
∴m＝0，
∴F（2，0）；
②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（xM，yM），N（xN，yN），
联立，整理得x2﹣（4+2k）x+8k＝0，
∴xM+xN＝7+4k，xM•xN＝8k，
∴yM+yN＝6k2，yM•yN＝﹣4k3，
∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，
∴+＝+＝＝＝2，
∴+＝3是定值；
（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'、y轴分别于点P、Q，
∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，
∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，
∵点C（3，m）是该抛物线上的一点
∴C（3，﹣），
∵B（2，﹣7），
∴B'（﹣2，﹣1），），
∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，
∴Q（0，﹣），P（．
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