五年高考（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解——专题14 数列综合

专题14 数列综合

【2020年】

1.（2020·新课标Ⅰ）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

2.（2020·新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

3.（2020·北京卷）已知是无穷数列．给出两个性质：

①对于中任意两项，在中都存在一项，使；

②对于中任意项，在中都存在两项．使得．

(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.

4.（2020·江苏卷）已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ–k”数列．

（1）若等差数列是“λ–1”数列，求λ的值；

（2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式；

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

5.（2020·山东卷）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

6.（2020·天津卷）已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

7.（2020·浙江卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

【2019年】

1．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.

（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（II）求{an}和{bn}的通项公式.

2．【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1<i2<…<im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若p<q，求证：<；

（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．

3．【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足其中．

（i）求数列的通项公式；

（ii）求．

4．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．

5．【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．

（I）求数列的通项公式；
（II）记 证明：

【2018年】

1. （2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列

{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．

2. （2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.

（I）求和的通项公式；

（II）设数列的前n项和为，

（i）求；

（ii）证明.3. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．

（1）设，若对均成立，求d的取值范围；

（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．4. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．

（1）求的值；

（2）求的表达式(用n表示)．

5. （2018年全国Ⅱ卷理数） 记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．12. （2018年全国Ⅲ卷理数）等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．【2017年】

1.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.

2.【2017北京，理20】设和是两个等差数列，记，

其中表示这个数中最大的数．

（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；

（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

3.【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和.

4.【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足

 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.

（1）证明：等差数列是“数列”;

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.

【2016年】

1.【2016高考上海理数】已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（    ）

（A）     （B）

（C）     （D）

2.【2016高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.

（1）若具有性质，且，，求；

（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；

（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.