2023年重庆市两江新区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年重庆市两江新区中考数学一模试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年重庆市两江新区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）6的相反数是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
2．（4分）下列图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列各式中，是多项式的是（　　）
A．2x3 B．2023 C．a D．2x﹣1
4．（4分）油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A．Q＝0.2t B．Q＝40﹣0.2t C．Q＝0.2t+40 D．Q＝0.2t﹣40
5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．27
6．（4分）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭8个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　）


A．22 B．25 C．28 D．30
7．（4分）估计 的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
8．（4分）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　）

A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750
C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750
9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BD，∠C＝30°，则BD的长为（　　）

A．6 B． C．10 D．
10．（4分）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，对于1，2，3进行“绝对运算”
①对1，3，5，10进行“绝对运算”的结果是29；
②对x，﹣2，5进行“绝对运算”的结果为A；
③对a，b，b，c进行“绝对运算”，化简的结果可能存在8种不同的表达式；
以上说法中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）计算：|﹣2|+3﹣1＝　 　．
12．（4分）如图，AB∥CD，∠A+∠E＝70°　 　度．

13．（4分）一个n边形的内角和是720°，则n＝　 　．
14．（4分）从2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是偶数的概率是 　 　．
15．（4分）如图，在菱形AOBC中，AO＝CO＝2，CO为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 　 　．

16．（4分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，连接MC，将菱形ABCD翻折，折痕交AB于点N，则线段EC的长为　 　．

17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　．
18．（4分）把一个四位数N的各个数位上的数字（均不为零）之和记为G（N），把N的千位数字与百位数字的乘积记为P（N）（N），称||为N的“陪伴值”．
（1）4164的“陪伴值”为 　 　；
（2）若N的千位与个位数字之和能被9整除，且G（N）＝16，则满足条件的N的最小值是 　 　．
三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算：
（1）（y+2）（y﹣2）+（y﹣1）（y+3）；
（2）（1+）．
20．（10分）在学习直角三角形的过程中，小明遇到了一个问题：在直角三角形ABC中，∠B＝90°，探究AC，AB，DB是否成比例线段，小明的思路是：首先过点D作AC的垂线，再通过三角形面积建立等量关系，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
尺规作图：过点D作DE⊥AC于点E（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）．
证明：∵AD平分∠CAB，
∴　 　，
∵DE⊥AC，
∴　 　，
∴∠DEA＝∠B，
在△ADE和△ADB中，
，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴　 　，
又∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴•AB＝，
∴CD•AB＝AC•DE＝　 　，
即，
∴AC，AB，CD

21．（10分）为了增加学生对航天航空知识的了解，学校组织全校学生收看了“天宫课堂”系列科普视频，并进行了一次航天知识竞赛，得分用x表示，共分成4组：A：60≤x＜70，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，给出了下面部分信息：
初一年级航天知识竞赛成绩在C组中的数据为：85，81，88．
初二年级航天知识竞赛成绩：71，76，81，83，86，88，89，93，95，100，100．
航天知识竞赛成绩统计表：
年级
平均数
中位数
最高分
众数
初一
88
a
98
98
初二
88
88
100
b
​（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级的学生掌握航天航空知识的情况更好？并说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若初一、初二两个年级共有1800名学生，请估计初一和初二两个年级此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生一共有多少人？

22．（10分）小区便民超市分别用2000元和4800元购进若干箱纯牛奶和酸奶，已知此次购进的酸奶的数量是纯牛奶数量的1.5倍，且每箱酸奶的价格比每箱纯牛奶的价格贵30元．
（1）求此次购进纯牛奶的数量．
（2）在销售过程中，纯牛奶每箱售价是80元，很快售完，售出一部分后，恰逢五一假期，决定打九折出售剩余的酸奶，已知纯牛奶和酸奶全部售出后共获利2150元
23．（10分）如图，海面上A，B两个小岛同时接到消息，需要支援，经测量；C在B点的北偏西30°方向上，已知A
（1）求A，C两地之间的距离（结果保留根号）；
（2）位于B岛的补给船和救援船接到消息后同时出发前往C地，补给船以每小时30海里的速度从B地出发，沿BC方向前往C地（准备材料的时间为20分钟），再以相同的速度沿AC方向前往C地，请通过计算说明哪艘船会先到达C地．
（参考数据：，，）

24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，点D是BC的中点，沿着折线C→D→A（含端点C和A）运动，到达A点停止运动，设点M的运动时间为t秒
（1）求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质 　 　．
（3）根据图象直接写出当y≥2时t的取值范围：　 　．
​
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC下方抛物线上的一动点，过点P作PE∥x轴交直线BC于点E，F为BC上一点，求EF的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线CB方向平移，得到新抛物线y′，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
​
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，过点B作BH⊥AC，分别交AC，M，求证：DB＝DM；
（2）如图2，过点D作DF∥AB交AC于点F，点G为AD左侧一点，连接BG，∠AGB＝∠AFD，DF，AB之间存在的数量关系；
（3）如图3，∠ABC＝60°，，点P为△ABC内部一点（PA+PB+PC）2的最小值．
​

2023年重庆市两江新区中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）6的相反数是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
【解答】解：根据相反数的含义，可得
6的相反数是：﹣6．
故选：B．
2．（4分）下列图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合；
故选：A．
3．（4分）下列各式中，是多项式的是（　　）
A．2x3 B．2023 C．a D．2x﹣1
【解答】解：A．根据多项式的定义3是单项式，不是多项式．
B．根据多项式的定义，不是多项式．
C．根据多项式的定义，不是多项式．
D．根据多项式的定义，那么D符合题意．
故选：D．
4．（4分）油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A．Q＝0.2t B．Q＝40﹣0.2t C．Q＝0.2t+40 D．Q＝0.2t﹣40
【解答】解：由题意得：流出油量是0.2t，
则剩余油量：Q＝40﹣3.2t，
故选：B．
5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．27
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面积为3，
∴△DEF的面积为27，
故选：D．
6．（4分）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭8个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　）


A．22 B．25 C．28 D．30
【解答】解：搭一个小正方形需要4根小棒，
搭两个小正方形需要7根小棒，
……，
搭n个小正方形需要（4n+1）根小棒，
则搭8个这样的小正方形需要的小棒数量为：8×8+1＝25，
故选：B．
7．（4分）估计 的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【解答】解：
＝
＝2+．
∵2＜3＜4，
∴．
∴2＜＜2．
∴5＜2+＜5．
∴在3到4之间．
故选：A．
8．（4分）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　）

A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750
C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750
【解答】解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米，
∴被分成六块的活动场所可合成长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣x）米的长方形．
根据题意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．
故选：B．
9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BD，∠C＝30°，则BD的长为（　　）

A．6 B． C．10 D．
【解答】解：连接AD，如图，
∵OC交⊙O于点D，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，
∵∠B＝AOC＝30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AD＝AB＝，
∴BD＝AD＝6．
故选：B．

10．（4分）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，对于1，2，3进行“绝对运算”
①对1，3，5，10进行“绝对运算”的结果是29；
②对x，﹣2，5进行“绝对运算”的结果为A；
③对a，b，b，c进行“绝对运算”，化简的结果可能存在8种不同的表达式；
以上说法中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①对1，3，6，10进行“差绝对值运算”得：|1﹣3|+|3﹣5|+|1﹣10|+|2﹣5|+|3﹣10|+|5﹣10|＝2+4+7+2+7+8＝29，
故①正确；
②对x，﹣2，
∵|x+2|+|x﹣7|表示的是数轴上点x到﹣2和5的距离之和，
∴|x+5|+|x﹣5|的最小值为2+4＝7，
∴x，﹣2，故②不正确；
对a，b，b，c进行“差绝对值运算”得：|a﹣b|+|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣b|+|b﹣c|+|b﹣c|＝4|a﹣b|+|a﹣c|+2|b﹣c|，
当a﹣b≥0，a﹣c≥7，2|a﹣b|+|a﹣c|+2|b﹣c|＝8a﹣2c；
当a﹣b≥0，a﹣c≥2，2|a﹣b|+|a﹣c|+2|b﹣c|＝4a﹣4b+c；
当a﹣b≥0，a﹣c≤5，2|a﹣b|+|a﹣c|+2|b﹣c|＝a﹣6b+3c；
当a﹣b≤0，a﹣c≤2，2|a﹣b|+|a﹣c|+2|b﹣c|＝﹣4a+3c；
当a﹣b≤0，a﹣c≥8，2|a﹣b|+|a﹣c|+2|b﹣c|＝﹣a+6b﹣3c；
当a﹣b≤0，a﹣c≤5，2|a﹣b|+|a﹣c|+2|b﹣c|＝﹣4a+4b﹣c；
a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，
故③不正确，
综上，故只有7个正确的．
故选：B．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）计算：|﹣2|+3﹣1＝　2　．
【解答】解：|﹣2|+3﹣6
＝2+
＝2，
故答案为：2．
12．（4分）如图，AB∥CD，∠A+∠E＝70°　70　度．

【解答】解：∵∠BFE是△AEF的外角，
∴∠BFE＝∠E+∠A＝70°，
又∵AB∥CD，
∴∠C＝∠BFE＝70°，
故答案为：70．
13．（4分）一个n边形的内角和是720°，则n＝　6　．
【解答】解：依题意有：
（n﹣2）•180°＝720°，
解得n＝6．
故答案为：4．
14．（4分）从2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是偶数的概率是 　　．
【解答】解：画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是偶数的有4种，
则组成的两位数是偶数的概率为＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，在菱形AOBC中，AO＝CO＝2，CO为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 　π﹣2　．

【解答】解：连接OC，作CH⊥AO于H，
∵AO＝CO＝2，
∵四边形AOBC是菱形，
∴AC＝AO，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
同理：∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴扇形AOB的面积＝＝π，
∵CH＝OA＝，
∴菱形AOBC的面积＝AO•CH＝2×＝2，
∴阴影的面积＝扇形OAB的面积﹣菱形AOBC的面积＝π﹣2．
故答案为：π﹣6．

16．（4分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，连接MC，将菱形ABCD翻折，折痕交AB于点N，则线段EC的长为　2﹣2　．

【解答】解：如图所示：过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴2MD＝AD＝CD＝8，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FD＝MD＝8，
∴FM＝DM×cos30°＝，
∴MC＝＝2，
∴EC＝MC﹣ME＝3﹣2．
故答案为：6﹣2．

17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和是 　7　．
【解答】解：由，得x≥3．
由5x﹣4＜a，得x＜．
∵关于x的一元一次不等式组有解，
∴3＜．
∴a＞2．
，
去分母，得ay﹣3﹣2（y﹣8）＝5﹣y．
去括号，得ay﹣3﹣4y+2＝5﹣y．
移项，得ay﹣8y+y＝5﹣2+3．
合并同类项，得（a﹣1）y＝6．
∵关于y的分式方程的解为整数，
∴是整数且．
∴a﹣1＝±1或±2或±3或﹣6．
∴a＝4或2或3或﹣6或4或﹣2或﹣2．
又∵a＞2，
∴a＝3或5．
∴所有满足条件的整数a的值之和是3+4＝7．
故答案为：7．
18．（4分）把一个四位数N的各个数位上的数字（均不为零）之和记为G（N），把N的千位数字与百位数字的乘积记为P（N）（N），称||为N的“陪伴值”．
（1）4164的“陪伴值”为 　﹣　；
（2）若N的千位与个位数字之和能被9整除，且G（N）＝16，则满足条件的N的最小值是 　7252　．
【解答】解：（1）4164的“陪伴 值”＝＝﹣．
故答案为：﹣．
（2）设N的四位数分别为a，b，c，d，（a，b，c，
由题意得：，
∴，
当a＝4时，b＝，
当a＝7时，b＝8，d＝2，
当a＝6时，b＝，
当a＝5时，b＝，
当a＝4时，b＝，
当a＝3时，b＝，
当a＝2时，b＝，
当a＝6时，b＝，
∴满足条件的N的最小值是7252．
故答案为：7252．
三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算：
（1）（y+2）（y﹣2）+（y﹣1）（y+3）；
（2）（1+）．
【解答】解：（1）原式＝y2﹣25+y2+3y﹣y﹣5
＝y2﹣4+y7+3y﹣y﹣3
＝2y2+2y﹣7；
（2）原式＝
＝
＝．
20．（10分）在学习直角三角形的过程中，小明遇到了一个问题：在直角三角形ABC中，∠B＝90°，探究AC，AB，DB是否成比例线段，小明的思路是：首先过点D作AC的垂线，再通过三角形面积建立等量关系，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
尺规作图：过点D作DE⊥AC于点E（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）．
证明：∵AD平分∠CAB，
∴　①∠EAD＝∠BAD　，
∵DE⊥AC，
∴　②∠DEA＝90°　，
∴∠DEA＝∠B，
在△ADE和△ADB中，
，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴　④DE＝DB　，
又∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴•AB＝，
∴CD•AB＝AC•DE＝　⑤2S△ADC　，
即，
∴AC，AB，CD

【解答】证明：如图，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD＝∠BAD，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∴∠DEA＝∠B，
在△ADE和△ADB中，
，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴DE＝DB，
又∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴•AB＝，
∴CD•AB＝AC•DE＝2S△ADC，
即，
∴AC，AB，DB为成比例线段．
故答案为：∠EAD＝∠BAD，∠DEA＝90°，4S△ADC．

21．（10分）为了增加学生对航天航空知识的了解，学校组织全校学生收看了“天宫课堂”系列科普视频，并进行了一次航天知识竞赛，得分用x表示，共分成4组：A：60≤x＜70，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，给出了下面部分信息：
初一年级航天知识竞赛成绩在C组中的数据为：85，81，88．
初二年级航天知识竞赛成绩：71，76，81，83，86，88，89，93，95，100，100．
航天知识竞赛成绩统计表：
年级
平均数
中位数
最高分
众数
初一
88
a
98
98
初二
88
88
100
b
​（1）a＝　85　，b＝　100　；
（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级的学生掌握航天航空知识的情况更好？并说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若初一、初二两个年级共有1800名学生，请估计初一和初二两个年级此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生一共有多少人？

【解答】解：（1）由直方图可知，初一的测试成绩15个数据按从小到大的顺序排列，
∵初一的测试成绩在C组中的数据为：81，85，
∴中位数a＝85，
∵初二的测试成绩100出现的最多，
∴众数b＝100；
故答案为：85，100；
（2）根据以上数据，我认为初二年级学生掌握航天航空知识的知识掌握更好．
理由：初一、初二两个年级的平均成绩一样、最高分，说明初二年级掌握更好；
（3）1800×＝720（名），
答：估计初一和初二两个年级此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生一共有720人．
22．（10分）小区便民超市分别用2000元和4800元购进若干箱纯牛奶和酸奶，已知此次购进的酸奶的数量是纯牛奶数量的1.5倍，且每箱酸奶的价格比每箱纯牛奶的价格贵30元．
（1）求此次购进纯牛奶的数量．
（2）在销售过程中，纯牛奶每箱售价是80元，很快售完，售出一部分后，恰逢五一假期，决定打九折出售剩余的酸奶，已知纯牛奶和酸奶全部售出后共获利2150元
【解答】解：（1）设此次购进纯牛奶x箱，则购进酸奶1.5x箱，
根据题意得：﹣＝30，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解．
答：此次购进纯牛奶40箱；
（2）每箱纯牛奶的进价是2000÷40＝50（元），
每箱酸奶的进价是4800÷（1.8×40）＝80（元）．
设有y箱酸奶打九折出售，则有（1.5×40﹣y）箱酸奶按原售价出售，
根据题意得：80×40+80×（3+25%）（1.5×40﹣y）+80×（2+25%）×0.9y﹣2000﹣4800＝2150，
解得：y＝25．
答：有25箱酸奶打九折出售．
23．（10分）如图，海面上A，B两个小岛同时接到消息，需要支援，经测量；C在B点的北偏西30°方向上，已知A
（1）求A，C两地之间的距离（结果保留根号）；
（2）位于B岛的补给船和救援船接到消息后同时出发前往C地，补给船以每小时30海里的速度从B地出发，沿BC方向前往C地（准备材料的时间为20分钟），再以相同的速度沿AC方向前往C地，请通过计算说明哪艘船会先到达C地．
（参考数据：，，）

【解答】解：（1）过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，
在Rt△ABH中，∠BAH＝45°，
∴∠ABH＝45°，
∴∠BAH＝∠ABH，
∴AH＝BH，
∵AH2+BH2＝4AH2＝AB2＝308，
∴AH＝BH＝15，
在Rt△BCH中，∠BCH＝30°，tanC＝，
∴CH＝＝15，
∴AC＝CH﹣AH＝15（﹣）（海里）．
答：A，C两地之间的距离为15（﹣；
（2）在Rt△BCH中，∠BCH＝30°，
∴BC＝2BH＝30，
补给船以每小时30海里的速度从B地出发，沿BC方向前往C地所需的时间为30≈8.41（小时），
救援船以每小时45海里的速度从B地出发沿BA方向前往A地准备救援材料（准备材料的时间为20分钟），再以相同的速度沿AC方向前往C地所需的时间为（30+15）÷45+，
答：救援船会先到达C地．

24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，点D是BC的中点，沿着折线C→D→A（含端点C和A）运动，到达A点停止运动，设点M的运动时间为t秒
（1）求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质 　当0≤t≤5时，y随t的增大而增大，当5＜t≤10时，y随t的增大而减小　．
（3）根据图象直接写出当y≥2时t的取值范围：　≤t≤　．
​
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，
∴BC＝＝＝10，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD＝5，
∴AD＝DB＝DC＝7，
∴∠C＝∠DAC，
∴sin∠DAC＝sinC＝＝，
当8≤t≤5时，y＝CM•sinC＝t．
当5＜t≤10时，y＝（10﹣t）•t+8．
综上所述，y＝；

（2）函数图象如图所示：

性质：当6≤t≤5时，y随t的增大而增大，y随t的增大而减小．
故答案为：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大，y随t的增大而减小；

（3）观察图象可知，当y＝2时或，
∴当≤t≤时．
故答案为：≤t≤．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC下方抛物线上的一动点，过点P作PE∥x轴交直线BC于点E，F为BC上一点，求EF的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线CB方向平移，得到新抛物线y′，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
​
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），4）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）如图：


在y＝x2﹣x﹣4中，
∴C（0，﹣5），
∵A（﹣3，0），6）
∴AB＝7，AC＝5，直线BC函数表达式为y＝x﹣4，
设P（m，m2﹣m﹣4）m2﹣m，m3﹣m﹣8），
∴PE＝m﹣（m7﹣m）＝﹣m2+m，
∵PE∥x轴，
∴∠FEP＝∠ABC，
∵∠FPE＝∠CAB，
∴△PEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴EF＝﹣m7+m＝﹣2+；
∵﹣＜0，
∴当m＝5时，EF取最大值，
此时P（2，﹣），
∴EF的最大值为，此时点P的坐标是（2，﹣）；
（3）∵直线BC函数表达式为y＝x﹣4，
∴将抛物线y＝x2﹣x﹣4＝）4﹣沿射线CB方向平移，相当于向右平移t个单位，
∴新抛物线函数表达式为y＝（x﹣2﹣+t，
∵新抛物线和原抛物线交于点B（4，0），
∴2＝（7﹣5﹣+t，
解得t＝0（舍去）或t＝4，
∴新抛物线函数表达式为y＝（x﹣）2﹣，
∴新抛物线对称轴是直线x＝，
设M（，n），
在y＝（x﹣）2﹣中，令x＝0得y＝，
∴Q（3，），
∵P（2，﹣），
∴MQ2＝+（n﹣）2，MP2＝+（n+）2，PQ6＝104，
①若MP为腰，则MQ＝MP，
∴+（n﹣）2＝+（n+）4，
解得n＝，
∴M（，）；
②若PQ为腰，则MQ＝PQ，
∴+（n﹣）2＝104，
解得n＝或n＝，
∴M（，）或（，），
综上所述，点M的坐标为（，，）或（，）．
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，过点B作BH⊥AC，分别交AC，M，求证：DB＝DM；
（2）如图2，过点D作DF∥AB交AC于点F，点G为AD左侧一点，连接BG，∠AGB＝∠AFD，DF，AB之间存在的数量关系；
（3）如图3，∠ABC＝60°，，点P为△ABC内部一点（PA+PB+PC）2的最小值．
​
【解答】（1）证明：∵BH⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BHC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DBH＝∠DMB＝45°，
∴DB＝DM；

（2）解：结论：AB＝DF+BG．

理由：在AD上取点J，使得DJ＝DB，FJ，延长CJ交AB于点K．
∵AD⊥CD，∠ACD＝45°，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴DA＝DC，
∵∠ADB＝∠CDJ＝90°，DB＝DJ，
∴△ADB≌△CDJ（SAS），
∴AB＝CJ，∠BAD＝∠DCJ，
∵∠AJK＝∠CJD，
∴∠AKJ＝∠CDJ＝90°，
∴∠BAC+∠FCJ＝90°，
∵AG⊥AC，
∴∠BAG+∠BAC＝90°，
∴∠BAG＝∠FCJ，
∵AG＝CF，AB＝CJ，
∴△ABG≌△CJF（SAS），
∴BG＝FJ，∠AGB＝∠CFJ，
∵∠AGB＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠CFJ，
∴∠AFJ＝∠CFD＝∠AFH，
∵AH∥CD，
∴∠FAH＝∠ACD＝45°＝∠JAF，
∵AF＝AF，
∴△AFJ≌△AFH（ASA），
∴FJ＝FH，
∵AB∥DH，AH∥BD，
∴四边形ABDH是平行四边形，
∴AB＝DH＝DF+FH＝DF+BG；

（3）解：如图3中，将△BCP绕点B逆时针旋转90°得到△BTG，AT．

∵BP＝BG，∠PBG＝90°，
∴PG＝PB，
∴PA+PB+PC＝PA+PG+TG≥AT，
∵∠K＝∠ADB＝∠DBK＝90°，
∴四边形ADBK是矩形，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝2，
∴BD＝7，
∵BT＝BC＝BD+DC＝2+2，
∴AK＝BD＝2，TK＝2+5，
∴AT2＝AK7+TK2＝26+（2+4）2＝56+16，
∴（PA+PB+PC）2≥56+16，
∴（PA+PB+PC）2的最小值为56+16．