2023年江苏省南京市玄武区中考一模数学试题（含答案）

这是一份2023年江苏省南京市玄武区中考一模数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了本试卷共6页，全卷满分120分，如图，点A，B在反比例函数，分解因式的结果是______，方程的解是______等内容，欢迎下载使用。

2022~2023学年度第二学期九年级学情调研卷
数学（玄武一模）
注意事项：
1．本试卷共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效 ．
4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．南京文旅火爆“出圈”．据统计，2023年第一季度南京共接待游客约44300000人次，将44300000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列整数中，与最接近的是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过点A作交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝α，则∠PBC的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a＋b，a－b，下列结论中一定正确的是（ ）

A．a 6．如图，点A，B在反比例函数（x＞0）图像上，点A的横坐标为1，连接OA，OB，AB，若OA＝OB，△OAB的面积为4，则k的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．2023的相反数是______，－2023的倒数是______．
8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
9．分解因式的结果是______．
10．方程的解是______．
11．设，是方程的两个根，且，则m＝______．
12．沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径为2cm，母线长为6cm，则该扇形的圆心角的度数为______°．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴上，M，N分别是边OA，OC的中点，若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是______．

14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝______°．

15．已知函数（m为常数），当－2≤x≤2时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当m＝______时，a取得最大值．
16．如图，在□ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，若BC＝4，∠BAE＝30°，则对角线BD的取值范围为______．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）（1）计算: （2）解不等式组：
18．（8分）先化简，再求值:，其中．
19．（7分）小丽从A、B、C、D四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩．
（1）随机选择一个景点，恰好是A景点的概率是______；
（2）随机选择两个景点，求A，B景点至少有一个的概率．
20．（8分）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）完成表格；

平均数／分
中位数／分
方差／分
甲
8.8
①______
0.56
乙
8.8
9
②______
丙
③______
8
0.96
（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；
（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______0.56．（填“<”或“＞”或“＝”）
21．（7分）如图，点D在AB上，点E在AC上，CD，BE交于点P，PD＝PE，∠B＝∠C．求证AB＝AC．

22．（8分）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E是BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若EF平分∠AEC，求证AB⊥AC．

23．（8分）已知函数（m为常数）．
（1）若该函数图像与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围；
（2）求证：不论m取何值，该函数图像与x轴总有两个公共点．
24．（7分）利用无人机可以测量建筑物的高度．如图，一架无人机在M处悬停，测得建筑物AB顶端A的仰角为42°，底端B的俯角为12.7°.然后，在同一平面内，该无人机以5m/s的速度沿着与水平线夹角为37°方向斜向上匀速飞行，飞行4s至N处悬停，测得顶端A的仰角为32°，求建筑物AB的高度．（参考数据：tan42°≈0.9，tan12.7°≈0.225，tan32°≈0.625，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

25．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作交CD的延长线于点E，AE＝AB，AD＝ED，连接BD．

（1）求证AD＝BD；
（2）若CD＝1，DE＝3，求⊙O的半径．
26．（8分）如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为600m的队伍AB，排尾A处的传令兵从甲地和队伍AB沿同一直道同时出发．队伍AB以m/min的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以m/min的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离（单位：m）与出发时间x（单位：min）之间的函数关系部分图像如图③所示．

（1）______m/min，______m/min；
（2）求线段MN所表示的与x之间的函数表达式；
（3）在图③中，画出排头B离甲地的距离（单位：m）与出发时间x之间的函数图像．
27．（10分）P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在两个三角形相似，那么称P是△ABC的内相似点．
【概念理解】
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，P是△ABC的内相似点．直接写出∠BPC的度数．

【深入思考】
（2）如图②，P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，∠BPC＝2∠BAC，从下面①②③中选择一个作为条件，使P是△ABC的内相似点，并给出证明．
①∠BAP＝∠ACP；②∠APB＝∠APC；③．

【拓展延伸】
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＞∠C．求作一点P，使P是△ABC的内相似点．要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．

2022~2023学年度第二学期九年级学情调研卷
数学参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
D
B
A
C
B
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．－2023， 8．x≠2 9．a（x－1）（x＋1） 10． 11．2
12．120 13． 14．105 15．2 16．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题9分）
（1）解:原式
（2）解:由①得:x＞2，
由②得:x≤4
∴该不等式组的解集为2 18．（本题8分）
解：原式

当时，原式．
19．（本题7分）（1）；
（2）根据题意列出所有可能出现的结果有:（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“随机选择两个景点，A，B景点至少有一个”（记为事件A）的结果有5种，即（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D）．所以．
20．（本题8分）
解:（1）9，0.96，8.8；
（2）选甲更合适．因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲；
（3）<
21．（本题7分）
证明:在△PBD和△PCE中，

∠B＝∠C，∠DPB＝∠EPC，PD＝PE．
∴△PBD≌△PCE（AAS）．∴PB＝PC．
∴PB＋PE＝PC＋PD，
即BE＝CD．在△ABE和△ACD中，
∠B＝∠C，∠A＝∠A，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC．
另解:连接BC，在△PBD和△PCE中，
∠DBP＝∠ECP，∠DPB＝∠EPC，PD＝PE．∴△PBD≌△PCE（AAS）
∴PB＝PC．∴∠PBC＝∠PCB．∴∠PBC＋∠DBP＝∠PCB＋∠ECP．
即∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．
22．（本题8分）
（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO，．∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∠FAO＝∠ECO，AO＝CO，∠AOF＝∠COE．
∴△AOF≌△COE．∴EO＝FO．
∵AO＝CO，EO＝FO．∴四边形AECF是平行四边形
（另解:△AOF≌△COE，得AF＝CE，又，四边形AECF是平行四边形．或者由AB∥EF，AF∥EC得四边形ABEF是平行四边形）
（2）证明:∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF．
∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．
∴□AECF是菱形．∴AC⊥EF．
∴∠COE＝90°．
∵E是BC的中点，O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，
∴，∴∠COE＝∠CAB，
∴∠CAB＝90°，∴AB⊥AC．
（另解:可证得EA＝AF＝EC＝EB，再利用等边对等角以及三角形内角和180°，得到∠CAB＝90°，从而AB⊥AC．）
23．（本题8分）
（1）令x＝0，则y＝m－1．
∵函数的图像与y轴的交点在x轴上方，
∴m－1＞0，∴m＞1；
（2）令y＝0，则．
∵a＝1，b＝2m，c＝m－1，
∴．
∵，∴．
∴该方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点．
24．（本题7分）
解:如图，过点N作NC⊥MC，垂足为C，过点M作MD⊥AB，垂足为D，过点N作NE⊥AB，垂足为E，
可知∠MCN＝∠AEN＝∠ADM＝90°，可得四边形EDCN是矩形，从而DE＝NC，EN＝DC．

在Rt△CMN中，∠NMC＝37°，MN＝5×4＝20，
∵，，
∴CN＝20sin37°＝12，CM＝20cos37°＝16．
设DM＝x，则EN＝x＋16，
在Rt△ADM中，∠AMD＝42°，
∵，∴AD＝MDtan42°＝0.9x．
在Rt△AEN中，∠ANE＝32°，
∵，∴AE＝ENtan32°＝0.625（x＋16）．
又AD＝AE＋ED，∴0.9x＝0.625（x＋16）＋12，
∴x＝80．
∴AD＝0.9x＝72．
在Rt△MDB中，∠BMD＝12.7°，DM＝80，
∴，∴BD＝MDtan12.7°＝80×0.225＝18．
∵AB＝AD＋BD，∴AB＝72＋18＝90．
因此，建筑物高度AB的高是90m．
25．（本题8分）
解:（1）∵，∴∠E＋∠C＝180°．

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠C＋∠BAD＝180°．∴∠BAD＝∠E．
∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠E＝∠BAD．
在△BAD和△EAD中
∴△BAD≌△EAD（SAS）．
∴BD＝DE，∴AD＝BD．
（2）连接AC，OA，OB，连接DO并延长交AB于点H．

∵△BAD≌△EAD，∴∠ABD＝∠E＝∠DAE．
∵∠ABD＝∠ACD，∴∠DAE＝∠ACD．
在△ADE和△CAE中，∠E＝∠E，∠DAE＝∠ACD，
∴△ADE∽△CAE．
∴，∴，
∴，∴．
∵OA＝OB，DA＝DB，
∴D、O在线段AB的垂直平分线上．
∴DO⊥AB且．
在Rt△AHD中，∠AHD＝90°，
∵AD＝DE＝3，
∴．
设半径为r，则．
在Rt△OHA中，∠OHA＝90°，
∵，
∴．解得．
∴⊙O的半径为．
26．（本题8分）
解:（1）75；125
（2）根据题意M（12，1500），设线段MN表示的与x之间的函数表达式为，
将M（12，1500）代入得b＝3000．
∴线段MN表示的y与x之间的函数表达式为．
（另解：根据题意，求出点N（15，1125），利用待定系数法求解．）
（3）与x之间的函数图像如图所示．

27．（本题10分）
（1）120°，130°，140°．
（2）选择①∠BAP＝∠ACP
证明：如图②，作AP的延长线AD．

∵∠BPD＝∠BAP＋∠ABP，∠CPD＝∠CAP＋∠ACP，
∴∠BPD＋∠CPD＝∠BAP＋∠ABP＋∠CAP＋∠ACP．
∴∠BPC＝∠BAC＋∠ABP＋∠ACP．
又∠BPC＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠ABP＋∠ACP．
又∠BAC＝∠BAP＋∠CAP，∠BAP＝∠ACP，
∴∠ABP＝∠CAP．
又∠BAP＝∠ACP，
∴△ABP∽△CAP，即P是△ABC的内相似点．
选择②∠APB＝∠APC
证明：如图②，作AP的延长线AD．

∵∠APB＝∠APC，
∴180°－∠APB＝180°－∠APC，即∠BPD＝∠CPD．
∵∠BPD＋∠CPD＝∠BPC，
∴∠BPC＝2∠BPD．
又∠BPC＝2∠BAC，
∴∠BPD＝∠BAC．
∵∠BPD＝∠BAP＋∠ABP，∠BAC＝∠BAP＋∠PAC，
∴∠ABP＝∠PAC．
又∠APB＝∠APC，
∴△ABP∽△CAP，即P是△ABC的内相似点.
（3）方法不唯一．如图③，作法如下：

①作BC的垂直平分线，与AC交于点D；
②作CD的垂直平分线，与交于点O；
③以O为圆心，OD为半径作⊙O，与交于点E；
④连接AE，与⊙O交于点P，点P即为所求．