2023年河南省洛阳市涧西区东方二中中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省洛阳市涧西区东方二中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，绝对值最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为纳米纳米米“纳米”用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3.  如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  下列调查中，适宜采用抽样调查的是(    )

A. 调查九年级一班全体名学生的视力情况
B. 调查奥运会马拉松比赛运动员兴奋剂的使用情况
C. 调查某批中性笔的使用寿命
D. 调查神舟十五号载人飞船各零部件的质量

7.  在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为(    )

A. 个 B. 或个 C. 个 D. 或个

8.  如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，若，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标注物，测得、，那么这条河的宽度是(    )

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

10.  如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则点到轴的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  写出一个在第二象限内，随增大而增大的函数解析式______ ．

12.  代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．

13.  盒子里装张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字，，、，从中随机抽出一个后放回，再随机抽出一个，则两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为______ ．

14.  矩形中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点，且为边的中点，以为直径的圆交弧于点，则阴影部分面积        ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，▱的面积为，且边在轴上如果将直线沿轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在轴上平移的距离为，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为，且与的对应关系如图所示，那么的值是______ ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解方程：．

17.  本小题分
第届冬奥会于年月日在北京胜利闭幕某校七、八年级各有名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理得分用表示：
：，：，：，：，：，：，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如：
已知八年级测试成绩组的全部数据如下：，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
       ，        ；
八年级组测试成绩的中位数是        ；
若测试成绩不低于分，则认定该学生对冬奥会关注程度高请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？

18.  本小题分
一个四位数，若它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，那么称这个四位数为“对称数”．
最小的四位“对称数”是        ，最大的四位“对称数”是        ；
若一个“对称数”的个位数字为，十位数字为，请用含，的代数式表示该“对称数”；
判断任意一个四位“对称数”能否被整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点为和．
求反比例函数的关系式；
若一次函数与轴交于点，且；
求出与的值；
直接写出不等式的解集为        ；
若点是直线上一点，点的横坐标为，连接，，的面积记为，当时，请直接写出值        ．

20.  本小题分
高山云雾出好茶清明前后，三明市大田县屏山乡的万亩茶园郁郁葱葱，迎来开采季已知名熟练采茶工人与名新手采茶工人一天可采摘斤茶叶；名熟练采茶工人与名新手采茶工人一天可采摘斤茶叶．
求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘多少斤茶叶？
某茶厂计划一天采摘茶叶斤，该茶厂有名熟练采茶工人和名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为元，付给新手采茶工人每人每天的工资为元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使所付工资最少？

21.  本小题分
已知抛物线．
抛物线的顶点坐标为______ ；
当时，的最大值为，求出的值；
在的条件下，若，是抛物线上两点，其中，记抛物线在、之间的部分为图象包含、两点，当、两点在抛物线的对称轴的两侧时，图象上最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围．

22.  本小题分
如图，，为的两条半径，直线与相切于点．
请用无刻度的直尺和圆规过点作线段的垂线要求：不写作法，保留作图痕迹；
连接，若中所作垂线分别与，直线交于点和点．
求证：；
若的半径为，，求的长．

23.  本小题分
特殊发现
如图，正方形与正方形的顶点重合，、分别在、边上，连接，则有：
______ ；直线与直线所夹的锐角等于______ 度；
理解运用
将图中的正方形绕点逆时针旋转，连接、，
如图，中的结论是否仍然成立？请说明理由；
如图，若、、三点在同一直线上，且过边的中点，，直接写出的长______ ；
拓展延伸
如图，点是正方形的边上一动点不与、重合，连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：任何数的绝对值是非负数，
的绝对值最小，
故选：．
根据绝对值的意义即可求解．
本题考查了实数的性质，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：纳米米米．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面看，可得如下图形：

故选：．
根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形．
 

4.【答案】 

【解析】解： ，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
根据积的乘方，有理数的乘方，完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了积的乘方，有理数的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方，有理数的乘方，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于，

，，
，
，
又，
，
故选：．
延长交于，依据，，可得，再根据三角形内角和及平角性质，即可得到．
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：、调查九年级一班全体名学生的视力情况，适宜采用全面调查，不符合题意；
B、调查奥运会马拉松比赛运动员兴奋剂的使用情况，适宜采用全面调查，不符合题意；
C、调查某批中性笔的使用寿命，适宜采用抽样调查，符合题意；
D、调查神舟十五号载人飞船各零部件的质量，适宜采用全面调查，不符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线不经过第二象限，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
当时，方程为，实数根的个数为个．
故选：．
先根据一次函数的性质得到，再计算根的判别式的意义得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
为的中位线，
，
为直径，
，
在中，
，
，
解得，
的面积．
故选：．
先根据垂径定理得到，则，再根据圆周角定理得到，接着利用勾股定理得到，从而可求出，然后利用三角形面积公式计算．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：作，交于点，

，、，
，
，，
，，
，
解得，
故选：．
根据锐角三角函数，可以得到，，然后根据，即可得到．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，过点作轴于点，过点作于点．

点坐标为，点坐标为，
，，，
，
，
，
，
，
点到轴的距离为，
故选：．
如图，连接，，过点作轴于点，过点作于点解直角三角形求出，再利用面积法求出可得结论．
本题考查作图复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，满足题意的函数解析式可以为，
故答案为：答案不唯一．
写出一个比例系数小于的反比例函数解析式．
本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大．
 

12.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，，
．
故答案为：．
由代数式有意义的条件可得：且，求解即可得到答案．
本题考查了代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
列表图如下：

共有种等可能情况，其中两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的有种，
两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为．
故答案为：．
首先把和化为最简二次根式，然后再用列表法，结合同类二次根式的定义，得出共有种等可能情况，其中两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的有种，再根据概率公式计算即可．
本题考查了用列表法求概率、概率公式、同类二次根式，解本题的关键在找出所有等可能情况和所求情况数．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，

由题意可得：，，
是等边三角形，
，其中，，
，，
，
，
．
故答案为：．
连接、根据即可求值．
本题主要考查扇形面积的计算，把求不规则图形的面积通常转化为求规则图形的面积是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在图中，过点，，作直线与已知直线平行，交轴于点，，
在图中，取，，，，


图中点对应图中的点，得出，
图中点对应图中的点，得出，，则，
图中点对应图中的点，得出，
图中点对应图中的点，得出，
，
由图知，
，，
▱的面积为，，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
找出图与图中的对应点：图中点对应图中的点，得出，图中点对应图中的点，得出，，则，图中点对应图中的点，得出，图中点对应图中的点，由解得值；在可解得．
本题考查动直线在几何图形和函数图象上的运用；重点是观察动直线经过点、、、或、、、时，在图中所对应的点、、、，难点是确定，对应的线段，，．
 

16.【答案】解：原式

；

去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
经检验，是原方程的解，
原方程的解为． 

【解析】先计算负整数指数幂，零指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可；
先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可．
本题主要考查了实数的混合计算，解分式方程，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键，注意分式方程最后一定要检验．
 

17.【答案】    分 

【解析】解：由题意得，，
，
故答案为：，；
把八年级组测试成绩从小到大排列为：，，，，，，，处在最中间的数据为，
八年级组测试成绩的中位数是分，
故答案为：分；
人，
该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人．
用八年级组测试的人数除以其人数占比即可求出，进而求出的值即可；
根据中位数的定义求解即可；
用两个年级各自的总人数乘以其样本中测试成绩不低于分的人数占比，然后相加即可得到答案．
本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：最小的四位“对称数”是，最大的四位“对称数”是；
故答案为：，；
根据题意得：
；
任意一个四位“对称数”能被整除，理由为：

，
为整数，
这个四位“对称数”能被整除．
根据题中“对称数”的定义确定出最小和最大的四位“对称数”即可；
根据“对称数”定义表示出这个四位数即可；
根据表示出这个结果判断即可．
此题考查了整式的加减，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．
 

19.【答案】或  或 

【解析】解：反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的关系式为；
作轴于，轴于，则，
，
，，
，
，
点的纵坐标为，
把代入得，，
，
一次函数的图象过点和，
，
解得，；
不等式的解集为或；
故答案为：或；
，
当在的下方时，是的中点，
，
此时，
当在的上方时，是点关于的对称点，
此时，
故值为或，
故答案为：或．
利用待定系数法即可求解；
根据题意求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得与的值；
根据图象即可求解；
求得，则时，当在的下方时，是的中点，当在的上方时，是点关于的对称点，据此即可求得的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，求得点的坐标是解题的关键．
 

20.【答案】解：设名熟练采茶工人一天能采摘茶叶斤，名新手采茶工人一天能采摘茶叶斤，
由题意可得：，
解得，
答：名熟练采茶工人一天能采摘茶叶斤，名新手采茶工人一天能采摘茶叶斤；
设一天安排名新手采茶工人采摘茶叶，则安排名熟练采茶工人采摘茶叶，该茶厂需要支付工资元，
由题意可得，，
随的增大而减小，
该茶厂有名熟练采茶工人和名新手采茶工人，
当时，取得最小值，此时，，
答：茶厂一天安排熟练采茶工人名，新手采茶工人名能使所付工资最少． 

【解析】根据名熟练采茶工人与名新手采茶工人一天可采摘斤茶叶；名熟练采茶工人与名新手采茶工人一天可采摘斤茶叶，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据题意和中的结果，可以得到总工资与新手采茶工人人数的函数关系式，再根据一次函数的性质和该茶厂有名熟练采茶工人和名新手采茶工人，可以求得最低工资．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线，
若，则当时，的最大值为，不符合题意，
，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，取最大值，即抛物线过点．
，
解得：．
由得，
对称轴为直线，顶点为，
最小值是，
、两点在对称轴两侧，即，最高点与最低点的纵坐标之差为，
抛物线最高点的纵坐标为．
当时得，解得，．
当时，则满足题意，解得，
当时，则满足题意；解得．
综上所述．
将函数解析式化为顶点式求解即可；
分情况讨论：若，则当时，的最大值为，不符合题意；当时，由二次函数的性质可求出的值；
求出抛物线最高点的纵坐标为，求出，由或可求出答案．
本题主要考查二次函数的综合应用、二次函数的性质、配方法等知识点，掌握二次函数与方程的关系以及分类讨论思想是关键的解题．
 

22.【答案】解：如图，为所作；
证明：
直线与相切于点，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
而，
；
在中，
，，
，
，
；
，
设，则，，
在中，，
解得，
． 

【解析】利用基本作图，先作直径，然后过点作的垂线即可；
先根据切线的性质得到，再利用得到，接着利用等角的余角相等证明，然后利用得到；
先在中利用余弦的定义求出，则利用勾股定理计算出，再由的结论得到，设，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，最后计算即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
 

23.【答案】     

【解析】解：连接，，如图，

四边形和四边形为正方形，
，
，，三点在一条直线上．
，，
和为等腰直角三角形，
，，
，
；
，，三点在一条直线上，，
直线与直线所夹的锐角等于．
故答案为：；；

中的结论仍然成立，理由：
连接，，如图，

四边形和四边形为正方形，
，，
和为等腰直角三角形，
，，，
，，
∽，
；
延长，交于点，交于点，

∽，
．
，
．
，
即直线与直线所夹的锐角等于，
中的结论仍然成立；
连接，，如图，

四边形为正方形，
．
由知：，
．
边的中点为，
．
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：；

的值是定值，定值为，理由：
过点作于点，连接，，，与交于点，如图，

四边形为正方形，
，
由折叠的性质可得：，，，．
，
，
．
，
．
，
，
．
为等腰直角三角形，
，，，
．
由的结论可得：，，
，
．
，
∽，
，
，
，
．
，
的值是定值，定值为．
连接，，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
利用等腰直角三角形的性质解答即可；
连接，，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
连接，，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；
过点作于点，连接，，，与交于点，利用折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．