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2021年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷
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这是一份2021年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个数中比﹣3小的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4
2．（3分）聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1纳米＝10﹣9米，则水分子的直径约为（ ）
A．4×10﹣10米 B．0.4×10﹣10米
C．4×10﹣9米 D．4×10﹣8米
3．（3分）如图，AC∥BD，AD与BC相交于点O，若∠AOB＝85°，∠B＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
4．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“神”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．发 B．扬 C．三 D．牛
5．（3分）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里放有四个完全一样的球，标号分别为1、2、3、4；乙袋子里装有三个完全一样的球，标号分别为1、2、3，分别从甲、乙两个袋子里各拿出一个球，两个球标号相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝6a2b4 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2b
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（a+1）2＝a2+1
7．（3分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．633.6（1+x）2＝400（1+10%）
B．633.6（1+2x）2＝400×（1+10%）
C．400×（1+10%）（1+2x）2＝633.6
D．400×（1+10%）（1+x）2＝633.6
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（5，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则m的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．（3分）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧分别交于M，N两点，作直线MN，分别交AC，BC于点D，E，若∠ABC＝105°，BD⊥AC，且BC＝2，则△ABD的周长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个比大比小的整数 ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 米才能停下来．
14．（3分）如图，将半径为1的半圆O，绕着其直径的一端点A顺时针旋转30°，直径的另一端点B的对应点为B'，O的对应点为O'，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在边BC上，连接DE，将△CDE沿DE折叠，若点C的对称点C'到AD的距离为1，则CE的长为 ．
三、解答题（8个小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
17．（9分）2020年是全面建设小康社会实现之年，是脱贫攻坚战收官之年．某县政府派出调查小组对农村地区经济情况进行摸底，以便出台更精准的扶贫政策．调查小组开展了一次调查研究，请将下面的过程补全．
[收集数据]调查小组计划选取A、B两村各20户上一年度家庭收入作为样本，下面的取样方法中，合理的是 ______（填字母）；
A．随机抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入组成样本
B．抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入较好的组成样本
C．抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入较差的组成样本
[整理数据]抽样方法确定后，调查小组获得的数据（单位：万元）如下：
A村：1.8，1.5，2.2，2.4，2.4，2.2，2.6，2.0，1.8，2.1，1.6，2.0，2.4，2.4，2.1，3.0，3.2，2.8，2.7，2.8
B村：1.6，1.7，2.2，2.2，2.1，2.2，2.2，3.0，2.8，2.2，1.5，1.8，2.0，2.2，2.6，2.8，3.1，3.0，2.8，2.0
[描述数据]按如下分段整理，描述这两组样本数据：
上一年度家庭收入（单位：万元）
1.5≤x＜2
2≤x＜2.5
2.5≤x＜3
3≤x＜3.5
A村
4
a
4
b
B村
4
9
4
3
[分析数据]两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数
中位数
众数
A村
2.3
c
2.4
B村
2.3
2.2
2.2
[得出结论]请根据以上数据，回答下列问题：
（1）在[收集数据]阶段，取样方法合理的是 （填字母）；
（2）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）若A村有300户人家，请估计A村上一年度家庭收入不少于2.5万元的户数；
（4）结合这两组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为A村和B村中哪个经济比较好？请至少从两个方面说明理由．
18．（9分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需经B地行，已知B地位于A地北偏东67°方向，距A地390km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达公路，求公路AC的长（结果保留整数），（参考数据：sin67°≈cos67°≈：tan67°≈：）
19．（9分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在A地时距地面的高度b为 米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？
20．（10分）如图，BC为⊙O的直径，A为半圆上一动点，过点A作⊙O的切线l，过点C作CD⊥l，垂足为D，CD与⊙O交于点E，连接OA，BE，AE，BE交OA于点F．
（1）求证：△ADE≌△EFA；
（2）若BC＝4，连接AB，
①当AB＝ 时，四边形OCEA为菱形；
②当AB＝ 时，四边形AFED为正方形．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣的图象并探究该函数的性质．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣
a
﹣2
﹣4
b
﹣4
﹣2
﹣
﹣
…
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数y＝﹣的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数y＝﹣x﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣x﹣的解集．
23．（11分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为AB边上一动点，∠CDE＝α，CD＝ED，连接BE，EC．
（1）问题发现：
如图①，若α＝60°，则∠EBA＝ ，AD与EB的数量关系是 ；
（2）类比探究：
如图②，当α＝120°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：
如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝2，请直接写出线段EF的长度．
2021年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个数中比﹣3小的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣3＜2，
﹣3＜0，
﹣3＜﹣2，
﹣3＞﹣4，
∴四个数中比﹣3小的数是﹣4．
故选：D．
2．（3分）聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1纳米＝10﹣9米，则水分子的直径约为（ ）
A．4×10﹣10米 B．0.4×10﹣10米
C．4×10﹣9米 D．4×10﹣8米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.4纳米＝0.4×10﹣9米＝4×10﹣10米．
故选：A．
3．（3分）如图，AC∥BD，AD与BC相交于点O，若∠AOB＝85°，∠B＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【分析】先利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可求出∠C的度数为，再利用三角形△AOC外角和定理求得∠A的度数．
【解答】解：∵AC∥BD，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠AOB＝∠C+∠A，∠AOB＝85°，
∴∠A＝85°﹣40°＝45°，
故选：C．
4．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“神”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．发 B．扬 C．三 D．牛
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“发”与“三”是对面，
“扬”与“精”是对面，
“牛”与“神”是对面，
故选：D．
5．（3分）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里放有四个完全一样的球，标号分别为1、2、3、4；乙袋子里装有三个完全一样的球，标号分别为1、2、3，分别从甲、乙两个袋子里各拿出一个球，两个球标号相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，其中两个球标号相同的结果有3个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中两个球标号相同的结果有3个，
∴两个球标号相同的概率为＝，
故选：B．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝6a2b4 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2b
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（a+1）2＝a2+1
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝9a2b4，故A错误．
B、原式＝﹣2a2，故B错误．
C、原式＝a6﹣a6＝0，故C正确．
D、原式＝a2+2a+1，故D错误．
故选：C．
7．（3分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．633.6（1+x）2＝400（1+10%）
B．633.6（1+2x）2＝400×（1+10%）
C．400×（1+10%）（1+2x）2＝633.6
D．400×（1+10%）（1+x）2＝633.6
【分析】设平均增长率为x，由题意得出400×（1+10%）是3月份的营业额，633.6万元即5月份的营业额，根据三月份的营业额×（1+x）2＝五月份的营业额列出方程即可．
【解答】解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，
根据题意得，400×（1+10%）（1+x）2＝633.6．
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（5，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
【分析】求出点A的坐标，再利用勾股定理列式求出OA，然后判断出∠C＝30°，CD∥x轴，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，利用勾股定理列式求出CE，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．
【解答】解：∵AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），
∴y＝2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴AB＝2，OB＝2，
由勾股定理得，OA＝＝＝4，
∴∠A＝30°，∠AOB＝60°，
∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，
∴∠C＝30°，CD∥x轴，
设AB与CD相交于点E，则BE＝BC＝AB＝×2＝，
CE＝＝3，
∴点C的横坐标为3+2＝5，
∴点C的坐标为（5，）．
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则m的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得C的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得C的坐标，代入y＝2x+m即可求得m的值．
【解答】解：∵直线y＝2x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．
∴解2x＝求得x＝±1，
∴A的横坐标为1，
∵OA＝2BC，
∴C的横坐标为，
把x＝代入y＝得，y＝4，
∴C（，4），
∵将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，得到直线y＝2x+m，
∴把C的坐标代入得4＝1+m，求得m＝3，
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧分别交于M，N两点，作直线MN，分别交AC，BC于点D，E，若∠ABC＝105°，BD⊥AC，且BC＝2，则△ABD的周长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质可求∠DBC＝45°，BD＝BC＝，再根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理可求AB，AD，再根据周长的等腰三角形的定义即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段BC，
∴DB＝DC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝45°，
∵BC＝2，
∴BD＝BC＝，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BD＝2，
在Rt△ADB中，AD＝＝，
∴△ABD的周长为2++＝3+．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个比大比小的整数 3 ．
【分析】先确定和的整数部分，再选择符合条件的整数即可．
【解答】解：∵2＜＜3，3＜＜4，
∴比大比小的整数是3．
故答案为：3．
12．（3分）不等式组的解集是 x≥6 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集是x≥6，
故答案为：x≥6．
13．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
【解答】解：∵s＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
14．（3分）如图，将半径为1的半圆O，绕着其直径的一端点A顺时针旋转30°，直径的另一端点B的对应点为B'，O的对应点为O'，则图中阴影部分的面积是 ﹣ ．
【分析】连接O′D、B′D，根据旋转变换的性质求出∠B′AB，根据等腰三角形的性质求出∠AO′D，根据勾股定理求出AD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：连接O′D、B′D，
∵∠B′AB＝30°，
∴∠AO′D＝120°，
∵AB′是半圆O′的直径，
∴∠ADB′＝90°，又∠B′AB＝30°，
∴B′D＝AB′＝1，
由勾股定理得，AD＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝（﹣﹣×1××）+（﹣×1××）
＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在边BC上，连接DE，将△CDE沿DE折叠，若点C的对称点C'到AD的距离为1，则CE的长为 或2 ．
【分析】当点C'落在矩形ABCD的内部，过点C'作C'M⊥AD于点M，当点C'落在矩形ABCD的外部，过点C'作C'G⊥AD于点G，则C'G＝1，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：如图1，当点C'落在矩形ABCD的内部，过点C'作C'M⊥AD于点M，
∵将△CDE沿DE折叠，
∴AB＝DC＝C'D＝2，∠CDE＝∠C'DE，
∵C'M＝1，
∴，
∴∠C'DM＝30°，
∴∠C'DC＝60°，
∴∠CDE＝∠C'DC＝30°，
∴CE＝CD×tan30°＝2×＝；
如图2，当点C'落在矩形ABCD的外部，过点C'作C'G⊥AD于点G，则C'G＝1，
同理CD＝C'D＝2，
∴∠C'DG＝30°，
∴∠C'HD＝60°，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠C'HD＝∠HBC＝60°，
∴∠DBC＝∠HBC＝30°，
∴CE＝2．
综上可得，CE的长为或2．
故答案为：或2．
三、解答题（8个小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程求出x的值，结合分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝﹣，
∵x满足x2﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣1或x＝2，
又∵x≠±1且x≠0，
∴x＝2，
则原式＝﹣．
17．（9分）2020年是全面建设小康社会实现之年，是脱贫攻坚战收官之年．某县政府派出调查小组对农村地区经济情况进行摸底，以便出台更精准的扶贫政策．调查小组开展了一次调查研究，请将下面的过程补全．
[收集数据]调查小组计划选取A、B两村各20户上一年度家庭收入作为样本，下面的取样方法中，合理的是 ______（填字母）；
A．随机抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入组成样本
B．抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入较好的组成样本
C．抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入较差的组成样本
[整理数据]抽样方法确定后，调查小组获得的数据（单位：万元）如下：
A村：1.8，1.5，2.2，2.4，2.4，2.2，2.6，2.0，1.8，2.1，1.6，2.0，2.4，2.4，2.1，3.0，3.2，2.8，2.7，2.8
B村：1.6，1.7，2.2，2.2，2.1，2.2，2.2，3.0，2.8，2.2，1.5，1.8，2.0，2.2，2.6，2.8，3.1，3.0，2.8，2.0
[描述数据]按如下分段整理，描述这两组样本数据：
上一年度家庭收入（单位：万元）
1.5≤x＜2
2≤x＜2.5
2.5≤x＜3
3≤x＜3.5
A村
4
a
4
b
B村
4
9
4
3
[分析数据]两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数
中位数
众数
A村
2.3
c
2.4
B村
2.3
2.2
2.2
[得出结论]请根据以上数据，回答下列问题：
（1）在[收集数据]阶段，取样方法合理的是 A （填字母）；
（2）填空：a＝ 10 ，b＝ 2 ，c＝ 2.3 ；
（3）若A村有300户人家，请估计A村上一年度家庭收入不少于2.5万元的户数；
（4）结合这两组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为A村和B村中哪个经济比较好？请至少从两个方面说明理由．
【分析】（1）根据抽样调查的可靠性解答可得；
（2）根据所给数据计数即可得；
（3）求出A村收入不小于2.5万元的家庭所占得百分比即可得到结论；
（4）根据中位数、众数、平均数进行判断即可．
【解答】解：（1）根据样本的广泛性和代表性可知，取样方法中，合理的是：A．随机抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入组成样本，
故选：A；
（2）由统计频数的方法可得，a＝10，b＝2，将A村家庭收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝2.3，因此中位数是2.3万元，即c＝2.3，
故答案为：10，2，2.3；
（3）300×＝90（户），
答：A村有300户人家中一年度家庭收入不少于2.5万元的大约有90户；
（4）A村的比较好，理由为：由于A村、B村的平均数相同，而A村的中位数、众数都比B村的高，所以A村的经济情况比较好．
18．（9分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需经B地行，已知B地位于A地北偏东67°方向，距A地390km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达公路，求公路AC的长（结果保留整数），（参考数据：sin67°≈cos67°≈：tan67°≈：）
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距A地390km．
在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，
∴AD＝AB•sin67°≈390×＝360km．
BD＝AB•cos67°≈390×＝150km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
在Rt△BDC中，∠CBD＝30°，
∴CD＝BD•tan30°＝（m）．
∴AC＝AD+CD＝（km）．
∴AC≈447（km）．
答：公路AC的长约为447km．
19．（9分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在A地时距地面的高度b为 30 米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？
【分析】（1）根据速度＝高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度＝速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x≤2和x＞2两种情况，根据高度＝初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度﹣甲登山全程中y关于x的函数关系式＝50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
故答案为：10；30．
（2）当0≤x≤2时，y＝15x；
当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝．
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）＝50时，解得：x＝4；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝9；
当300﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝15．
答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
20．（10分）如图，BC为⊙O的直径，A为半圆上一动点，过点A作⊙O的切线l，过点C作CD⊥l，垂足为D，CD与⊙O交于点E，连接OA，BE，AE，BE交OA于点F．
（1）求证：△ADE≌△EFA；
（2）若BC＝4，连接AB，
①当AB＝ 2 时，四边形OCEA为菱形；
②当AB＝ 2 时，四边形AFED为正方形．
【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形，首先证明四边形AFED是矩形，由此即可解决问题．
（2）①当AB＝2时，四边形OCEA是菱形．连接OE，只要证明△EOC，△AOE都是等边三角形即可解决问题．
②当四边形AFED是正方形时，可以证明BE是⊙O是直径，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，
∵CD⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∵BC是直径，
∴∠CEB＝90°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠FAD＝90°，
∴四边形AFED矩形，
∴AF＝DE，EF＝CD，
在△ADE和△EFA中，
，
∴△ADE≌△EFA（SSS）；
（2）解：①当AB＝2时，四边形OCEA是菱形．
理由：连接OE．
∵BC＝4，
∵AB＝OB＝OA＝2，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝∠AOB＝60°，
∵四边形AFED矩形，
∴∠BFO＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C＝60°，
∵OE＝OC，
∴△OEC是等边三角形，
∴∠EOC＝60°，
∴∠AOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵AO＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE＝AO＝OC＝EC，
∴四边形OCEA是菱形．
故答案为：2；
②当四边形AFED是正方形时，
∵AF＝FE，
∵∠AEF＝∠FAE＝45°，
∵OA⊥BE，
∴，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE是⊙O的直径，
∵，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝OB＝2．
∴AB＝2时，四边形AFED是正方形．
故答案为：2．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求a的值，由顶点坐标可求点C坐标；
（2）分顶点C在线段AB下方和线段AB上两种情况讨论，由图象列出不等式组可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：4＝36﹣5×6+a﹣2，
∴a＝0，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣5x﹣2，
∵y＝x2﹣5x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴顶点C坐标为（，﹣）；
（2）如图，当顶点C在线段AB下方时，
由题意可得：，
解得：0≤a＜6；
当顶点C在AB时，当x＝时，y＝4，
∴﹣+a﹣2＝4，
∴a＝，
综上所述：当0≤a＜6或时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣的图象并探究该函数的性质．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣
a
﹣2
﹣4
b
﹣4
﹣2
﹣
﹣
…
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ ﹣ ，b＝ ﹣6 ；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数y＝﹣的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数y＝﹣x﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣x﹣的解集．
【分析】（1）将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）x＝﹣3、0分别代入y＝﹣，得a＝﹣＝﹣，b＝﹣＝﹣6，
画出函数的图象如图：
，
故答案为：﹣，﹣6；
（2）根据函数图象：
①函数y＝﹣的图象关于y轴对称，说法正确；
②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6，说法正确；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误．
（3）由图象可知：不等式﹣＜﹣x﹣的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
23．（11分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为AB边上一动点，∠CDE＝α，CD＝ED，连接BE，EC．
（1）问题发现：
如图①，若α＝60°，则∠EBA＝ 120° ，AD与EB的数量关系是 AD＝EB ；
（2）类比探究：
如图②，当α＝120°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：
如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝2，请直接写出线段EF的长度．
【分析】（1）证△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，则∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°；
（2）证△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，得＝，再证△BCE∽△ACD，得∠EBC＝∠DAC＝120°，＝，则∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝150°，过A作AM⊥BC于M，则BC＝2CM，进而得出结论；
（3）连接BD，①当AE＝AB时，证△AOD∽△BED，得＝＝＝，求出AB＝6＝AD，则AE＝2，在Rt△AED中，由勾股定理求出ED＝2即可；
②当BE＝AB时，同①得：＝＝，求出AB＝12＝AD，则AE＝8，在Rt△AED中，由勾股定理得ED＝4即可．
【解答】解：（1）∵α＝60°，
∴∠ABC＝α＝60°，∠CDE＝α＝60°，
∵AB＝AC，CD＝ED，
∴△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，
∴∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°，
故答案为：120°，AD＝EB；
（2）∠EBA＝150°，EB＝AD，理由如下：
∵α＝120°，
∴∠EDC＝∠BAC＝120°，
∵CD＝ED，AB＝AC，
∴∠DEC＝∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，
∴＝，
∴＝，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC＝120°，＝，
∴∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝120°+30°＝150°，
过A作AM⊥BC于M，如图②所示：
则BC＝2CM，
在Rt△ACM中，＝cos30°＝，
∴＝＝＝，
∴EB＝AD；
（3）连接BD，分两种情况：
①当AE＝AB时，如图③所示：
∵四边形DEFG是正方形，
∴EF＝ED，对角线FD与EG互相垂直平分，
∴△DEO是等腰直角三角形，
∴＝sin45°＝，
在Rt△ABD中，＝sin45°＝，
∴＝，
∵∠ODA+∠ADE＝45°＝∠BDE+∠ADE，
∴∠ODA＝∠BDE，
∴△AOD∽△BED，
∴＝＝＝，
∴＝，
∵OA＝2，
∴AB＝6＝AD，
∴AE＝AB＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝2，
∴EF＝ED＝2；
②当BE＝AB时，如图④所示：
同①得：＝＝，
∴＝，
∵OA＝2，
∴AB＝12＝AD，
∴AE＝AB＝8，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝4，
∴EF＝ED＝4；
综上所述，线段EF的长度为2或4．
2021年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个数中比﹣3小的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4
2．（3分）聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1纳米＝10﹣9米，则水分子的直径约为（ ）
A．4×10﹣10米 B．0.4×10﹣10米
C．4×10﹣9米 D．4×10﹣8米
3．（3分）如图，AC∥BD，AD与BC相交于点O，若∠AOB＝85°，∠B＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
4．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“神”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．发 B．扬 C．三 D．牛
5．（3分）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里放有四个完全一样的球，标号分别为1、2、3、4；乙袋子里装有三个完全一样的球，标号分别为1、2、3，分别从甲、乙两个袋子里各拿出一个球，两个球标号相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝6a2b4 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2b
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（a+1）2＝a2+1
7．（3分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．633.6（1+x）2＝400（1+10%）
B．633.6（1+2x）2＝400×（1+10%）
C．400×（1+10%）（1+2x）2＝633.6
D．400×（1+10%）（1+x）2＝633.6
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（5，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则m的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．（3分）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧分别交于M，N两点，作直线MN，分别交AC，BC于点D，E，若∠ABC＝105°，BD⊥AC，且BC＝2，则△ABD的周长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个比大比小的整数 ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 米才能停下来．
14．（3分）如图，将半径为1的半圆O，绕着其直径的一端点A顺时针旋转30°，直径的另一端点B的对应点为B'，O的对应点为O'，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在边BC上，连接DE，将△CDE沿DE折叠，若点C的对称点C'到AD的距离为1，则CE的长为 ．
三、解答题（8个小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
17．（9分）2020年是全面建设小康社会实现之年，是脱贫攻坚战收官之年．某县政府派出调查小组对农村地区经济情况进行摸底，以便出台更精准的扶贫政策．调查小组开展了一次调查研究，请将下面的过程补全．
[收集数据]调查小组计划选取A、B两村各20户上一年度家庭收入作为样本，下面的取样方法中，合理的是 ______（填字母）；
A．随机抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入组成样本
B．抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入较好的组成样本
C．抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入较差的组成样本
[整理数据]抽样方法确定后，调查小组获得的数据（单位：万元）如下：
A村：1.8，1.5，2.2，2.4，2.4，2.2，2.6，2.0，1.8，2.1，1.6，2.0，2.4，2.4，2.1，3.0，3.2，2.8，2.7，2.8
B村：1.6，1.7，2.2，2.2，2.1，2.2，2.2，3.0，2.8，2.2，1.5，1.8，2.0，2.2，2.6，2.8，3.1，3.0，2.8，2.0
[描述数据]按如下分段整理，描述这两组样本数据：
上一年度家庭收入（单位：万元）
1.5≤x＜2
2≤x＜2.5
2.5≤x＜3
3≤x＜3.5
A村
4
a
4
b
B村
4
9
4
3
[分析数据]两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数
中位数
众数
A村
2.3
c
2.4
B村
2.3
2.2
2.2
[得出结论]请根据以上数据，回答下列问题：
（1）在[收集数据]阶段，取样方法合理的是 （填字母）；
（2）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）若A村有300户人家，请估计A村上一年度家庭收入不少于2.5万元的户数；
（4）结合这两组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为A村和B村中哪个经济比较好？请至少从两个方面说明理由．
18．（9分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需经B地行，已知B地位于A地北偏东67°方向，距A地390km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达公路，求公路AC的长（结果保留整数），（参考数据：sin67°≈cos67°≈：tan67°≈：）
19．（9分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在A地时距地面的高度b为 米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？
20．（10分）如图，BC为⊙O的直径，A为半圆上一动点，过点A作⊙O的切线l，过点C作CD⊥l，垂足为D，CD与⊙O交于点E，连接OA，BE，AE，BE交OA于点F．
（1）求证：△ADE≌△EFA；
（2）若BC＝4，连接AB，
①当AB＝ 时，四边形OCEA为菱形；
②当AB＝ 时，四边形AFED为正方形．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣的图象并探究该函数的性质．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣
a
﹣2
﹣4
b
﹣4
﹣2
﹣
﹣
…
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数y＝﹣的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数y＝﹣x﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣x﹣的解集．
23．（11分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为AB边上一动点，∠CDE＝α，CD＝ED，连接BE，EC．
（1）问题发现：
如图①，若α＝60°，则∠EBA＝ ，AD与EB的数量关系是 ；
（2）类比探究：
如图②，当α＝120°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：
如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝2，请直接写出线段EF的长度．
2021年河南省洛阳市涧西区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个数中比﹣3小的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣3＜2，
﹣3＜0，
﹣3＜﹣2，
﹣3＞﹣4，
∴四个数中比﹣3小的数是﹣4．
故选：D．
2．（3分）聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1纳米＝10﹣9米，则水分子的直径约为（ ）
A．4×10﹣10米 B．0.4×10﹣10米
C．4×10﹣9米 D．4×10﹣8米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.4纳米＝0.4×10﹣9米＝4×10﹣10米．
故选：A．
3．（3分）如图，AC∥BD，AD与BC相交于点O，若∠AOB＝85°，∠B＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【分析】先利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可求出∠C的度数为，再利用三角形△AOC外角和定理求得∠A的度数．
【解答】解：∵AC∥BD，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠AOB＝∠C+∠A，∠AOB＝85°，
∴∠A＝85°﹣40°＝45°，
故选：C．
4．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“神”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．发 B．扬 C．三 D．牛
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“发”与“三”是对面，
“扬”与“精”是对面，
“牛”与“神”是对面，
故选：D．
5．（3分）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里放有四个完全一样的球，标号分别为1、2、3、4；乙袋子里装有三个完全一样的球，标号分别为1、2、3，分别从甲、乙两个袋子里各拿出一个球，两个球标号相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，其中两个球标号相同的结果有3个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中两个球标号相同的结果有3个，
∴两个球标号相同的概率为＝，
故选：B．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝6a2b4 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2b
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（a+1）2＝a2+1
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝9a2b4，故A错误．
B、原式＝﹣2a2，故B错误．
C、原式＝a6﹣a6＝0，故C正确．
D、原式＝a2+2a+1，故D错误．
故选：C．
7．（3分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．633.6（1+x）2＝400（1+10%）
B．633.6（1+2x）2＝400×（1+10%）
C．400×（1+10%）（1+2x）2＝633.6
D．400×（1+10%）（1+x）2＝633.6
【分析】设平均增长率为x，由题意得出400×（1+10%）是3月份的营业额，633.6万元即5月份的营业额，根据三月份的营业额×（1+x）2＝五月份的营业额列出方程即可．
【解答】解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，
根据题意得，400×（1+10%）（1+x）2＝633.6．
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（5，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
【分析】求出点A的坐标，再利用勾股定理列式求出OA，然后判断出∠C＝30°，CD∥x轴，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，利用勾股定理列式求出CE，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．
【解答】解：∵AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），
∴y＝2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴AB＝2，OB＝2，
由勾股定理得，OA＝＝＝4，
∴∠A＝30°，∠AOB＝60°，
∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，
∴∠C＝30°，CD∥x轴，
设AB与CD相交于点E，则BE＝BC＝AB＝×2＝，
CE＝＝3，
∴点C的横坐标为3+2＝5，
∴点C的坐标为（5，）．
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则m的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得C的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得C的坐标，代入y＝2x+m即可求得m的值．
【解答】解：∵直线y＝2x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．
∴解2x＝求得x＝±1，
∴A的横坐标为1，
∵OA＝2BC，
∴C的横坐标为，
把x＝代入y＝得，y＝4，
∴C（，4），
∵将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，得到直线y＝2x+m，
∴把C的坐标代入得4＝1+m，求得m＝3，
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧分别交于M，N两点，作直线MN，分别交AC，BC于点D，E，若∠ABC＝105°，BD⊥AC，且BC＝2，则△ABD的周长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质可求∠DBC＝45°，BD＝BC＝，再根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理可求AB，AD，再根据周长的等腰三角形的定义即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段BC，
∴DB＝DC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝45°，
∵BC＝2，
∴BD＝BC＝，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BD＝2，
在Rt△ADB中，AD＝＝，
∴△ABD的周长为2++＝3+．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个比大比小的整数 3 ．
【分析】先确定和的整数部分，再选择符合条件的整数即可．
【解答】解：∵2＜＜3，3＜＜4，
∴比大比小的整数是3．
故答案为：3．
12．（3分）不等式组的解集是 x≥6 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集是x≥6，
故答案为：x≥6．
13．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
【解答】解：∵s＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
14．（3分）如图，将半径为1的半圆O，绕着其直径的一端点A顺时针旋转30°，直径的另一端点B的对应点为B'，O的对应点为O'，则图中阴影部分的面积是 ﹣ ．
【分析】连接O′D、B′D，根据旋转变换的性质求出∠B′AB，根据等腰三角形的性质求出∠AO′D，根据勾股定理求出AD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：连接O′D、B′D，
∵∠B′AB＝30°，
∴∠AO′D＝120°，
∵AB′是半圆O′的直径，
∴∠ADB′＝90°，又∠B′AB＝30°，
∴B′D＝AB′＝1，
由勾股定理得，AD＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝（﹣﹣×1××）+（﹣×1××）
＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在边BC上，连接DE，将△CDE沿DE折叠，若点C的对称点C'到AD的距离为1，则CE的长为 或2 ．
【分析】当点C'落在矩形ABCD的内部，过点C'作C'M⊥AD于点M，当点C'落在矩形ABCD的外部，过点C'作C'G⊥AD于点G，则C'G＝1，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：如图1，当点C'落在矩形ABCD的内部，过点C'作C'M⊥AD于点M，
∵将△CDE沿DE折叠，
∴AB＝DC＝C'D＝2，∠CDE＝∠C'DE，
∵C'M＝1，
∴，
∴∠C'DM＝30°，
∴∠C'DC＝60°，
∴∠CDE＝∠C'DC＝30°，
∴CE＝CD×tan30°＝2×＝；
如图2，当点C'落在矩形ABCD的外部，过点C'作C'G⊥AD于点G，则C'G＝1，
同理CD＝C'D＝2，
∴∠C'DG＝30°，
∴∠C'HD＝60°，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠C'HD＝∠HBC＝60°，
∴∠DBC＝∠HBC＝30°，
∴CE＝2．
综上可得，CE的长为或2．
故答案为：或2．
三、解答题（8个小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程求出x的值，结合分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝﹣，
∵x满足x2﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣1或x＝2，
又∵x≠±1且x≠0，
∴x＝2，
则原式＝﹣．
17．（9分）2020年是全面建设小康社会实现之年，是脱贫攻坚战收官之年．某县政府派出调查小组对农村地区经济情况进行摸底，以便出台更精准的扶贫政策．调查小组开展了一次调查研究，请将下面的过程补全．
[收集数据]调查小组计划选取A、B两村各20户上一年度家庭收入作为样本，下面的取样方法中，合理的是 ______（填字母）；
A．随机抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入组成样本
B．抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入较好的组成样本
C．抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入较差的组成样本
[整理数据]抽样方法确定后，调查小组获得的数据（单位：万元）如下：
A村：1.8，1.5，2.2，2.4，2.4，2.2，2.6，2.0，1.8，2.1，1.6，2.0，2.4，2.4，2.1，3.0，3.2，2.8，2.7，2.8
B村：1.6，1.7，2.2，2.2，2.1，2.2，2.2，3.0，2.8，2.2，1.5，1.8，2.0，2.2，2.6，2.8，3.1，3.0，2.8，2.0
[描述数据]按如下分段整理，描述这两组样本数据：
上一年度家庭收入（单位：万元）
1.5≤x＜2
2≤x＜2.5
2.5≤x＜3
3≤x＜3.5
A村
4
a
4
b
B村
4
9
4
3
[分析数据]两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数
中位数
众数
A村
2.3
c
2.4
B村
2.3
2.2
2.2
[得出结论]请根据以上数据，回答下列问题：
（1）在[收集数据]阶段，取样方法合理的是 A （填字母）；
（2）填空：a＝ 10 ，b＝ 2 ，c＝ 2.3 ；
（3）若A村有300户人家，请估计A村上一年度家庭收入不少于2.5万元的户数；
（4）结合这两组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为A村和B村中哪个经济比较好？请至少从两个方面说明理由．
【分析】（1）根据抽样调查的可靠性解答可得；
（2）根据所给数据计数即可得；
（3）求出A村收入不小于2.5万元的家庭所占得百分比即可得到结论；
（4）根据中位数、众数、平均数进行判断即可．
【解答】解：（1）根据样本的广泛性和代表性可知，取样方法中，合理的是：A．随机抽取A、B两村各20户上一年度家庭收入组成样本，
故选：A；
（2）由统计频数的方法可得，a＝10，b＝2，将A村家庭收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝2.3，因此中位数是2.3万元，即c＝2.3，
故答案为：10，2，2.3；
（3）300×＝90（户），
答：A村有300户人家中一年度家庭收入不少于2.5万元的大约有90户；
（4）A村的比较好，理由为：由于A村、B村的平均数相同，而A村的中位数、众数都比B村的高，所以A村的经济情况比较好．
18．（9分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需经B地行，已知B地位于A地北偏东67°方向，距A地390km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达公路，求公路AC的长（结果保留整数），（参考数据：sin67°≈cos67°≈：tan67°≈：）
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距A地390km．
在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，
∴AD＝AB•sin67°≈390×＝360km．
BD＝AB•cos67°≈390×＝150km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
在Rt△BDC中，∠CBD＝30°，
∴CD＝BD•tan30°＝（m）．
∴AC＝AD+CD＝（km）．
∴AC≈447（km）．
答：公路AC的长约为447km．
19．（9分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在A地时距地面的高度b为 30 米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？
【分析】（1）根据速度＝高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度＝速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x≤2和x＞2两种情况，根据高度＝初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度﹣甲登山全程中y关于x的函数关系式＝50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
故答案为：10；30．
（2）当0≤x≤2时，y＝15x；
当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝．
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）＝50时，解得：x＝4；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝9；
当300﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝15．
答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
20．（10分）如图，BC为⊙O的直径，A为半圆上一动点，过点A作⊙O的切线l，过点C作CD⊥l，垂足为D，CD与⊙O交于点E，连接OA，BE，AE，BE交OA于点F．
（1）求证：△ADE≌△EFA；
（2）若BC＝4，连接AB，
①当AB＝ 2 时，四边形OCEA为菱形；
②当AB＝ 2 时，四边形AFED为正方形．
【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形，首先证明四边形AFED是矩形，由此即可解决问题．
（2）①当AB＝2时，四边形OCEA是菱形．连接OE，只要证明△EOC，△AOE都是等边三角形即可解决问题．
②当四边形AFED是正方形时，可以证明BE是⊙O是直径，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，
∵CD⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∵BC是直径，
∴∠CEB＝90°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠FAD＝90°，
∴四边形AFED矩形，
∴AF＝DE，EF＝CD，
在△ADE和△EFA中，
，
∴△ADE≌△EFA（SSS）；
（2）解：①当AB＝2时，四边形OCEA是菱形．
理由：连接OE．
∵BC＝4，
∵AB＝OB＝OA＝2，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝∠AOB＝60°，
∵四边形AFED矩形，
∴∠BFO＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C＝60°，
∵OE＝OC，
∴△OEC是等边三角形，
∴∠EOC＝60°，
∴∠AOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵AO＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE＝AO＝OC＝EC，
∴四边形OCEA是菱形．
故答案为：2；
②当四边形AFED是正方形时，
∵AF＝FE，
∵∠AEF＝∠FAE＝45°，
∵OA⊥BE，
∴，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE是⊙O的直径，
∵，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝OB＝2．
∴AB＝2时，四边形AFED是正方形．
故答案为：2．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求a的值，由顶点坐标可求点C坐标；
（2）分顶点C在线段AB下方和线段AB上两种情况讨论，由图象列出不等式组可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：4＝36﹣5×6+a﹣2，
∴a＝0，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣5x﹣2，
∵y＝x2﹣5x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴顶点C坐标为（，﹣）；
（2）如图，当顶点C在线段AB下方时，
由题意可得：，
解得：0≤a＜6；
当顶点C在AB时，当x＝时，y＝4，
∴﹣+a﹣2＝4，
∴a＝，
综上所述：当0≤a＜6或时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣的图象并探究该函数的性质．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣
a
﹣2
﹣4
b
﹣4
﹣2
﹣
﹣
…
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ ﹣ ，b＝ ﹣6 ；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数y＝﹣的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数y＝﹣x﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣x﹣的解集．
【分析】（1）将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）x＝﹣3、0分别代入y＝﹣，得a＝﹣＝﹣，b＝﹣＝﹣6，
画出函数的图象如图：
，
故答案为：﹣，﹣6；
（2）根据函数图象：
①函数y＝﹣的图象关于y轴对称，说法正确；
②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6，说法正确；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误．
（3）由图象可知：不等式﹣＜﹣x﹣的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
23．（11分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为AB边上一动点，∠CDE＝α，CD＝ED，连接BE，EC．
（1）问题发现：
如图①，若α＝60°，则∠EBA＝ 120° ，AD与EB的数量关系是 AD＝EB ；
（2）类比探究：
如图②，当α＝120°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：
如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝2，请直接写出线段EF的长度．
【分析】（1）证△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，则∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°；
（2）证△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，得＝，再证△BCE∽△ACD，得∠EBC＝∠DAC＝120°，＝，则∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝150°，过A作AM⊥BC于M，则BC＝2CM，进而得出结论；
（3）连接BD，①当AE＝AB时，证△AOD∽△BED，得＝＝＝，求出AB＝6＝AD，则AE＝2，在Rt△AED中，由勾股定理求出ED＝2即可；
②当BE＝AB时，同①得：＝＝，求出AB＝12＝AD，则AE＝8，在Rt△AED中，由勾股定理得ED＝4即可．
【解答】解：（1）∵α＝60°，
∴∠ABC＝α＝60°，∠CDE＝α＝60°，
∵AB＝AC，CD＝ED，
∴△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，
∴∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°，
故答案为：120°，AD＝EB；
（2）∠EBA＝150°，EB＝AD，理由如下：
∵α＝120°，
∴∠EDC＝∠BAC＝120°，
∵CD＝ED，AB＝AC，
∴∠DEC＝∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，
∴＝，
∴＝，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC＝120°，＝，
∴∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝120°+30°＝150°，
过A作AM⊥BC于M，如图②所示：
则BC＝2CM，
在Rt△ACM中，＝cos30°＝，
∴＝＝＝，
∴EB＝AD；
（3）连接BD，分两种情况：
①当AE＝AB时，如图③所示：
∵四边形DEFG是正方形，
∴EF＝ED，对角线FD与EG互相垂直平分，
∴△DEO是等腰直角三角形，
∴＝sin45°＝，
在Rt△ABD中，＝sin45°＝，
∴＝，
∵∠ODA+∠ADE＝45°＝∠BDE+∠ADE，
∴∠ODA＝∠BDE，
∴△AOD∽△BED，
∴＝＝＝，
∴＝，
∵OA＝2，
∴AB＝6＝AD，
∴AE＝AB＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝2，
∴EF＝ED＝2；
②当BE＝AB时，如图④所示：
同①得：＝＝，
∴＝，
∵OA＝2，
∴AB＝12＝AD，
∴AE＝AB＝8，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝4，
∴EF＝ED＝4；
综上所述，线段EF的长度为2或4．
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