2023年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷（含解析）

这是一份2023年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷一、选择题（本题共8小题，共32分）1.  下列数中，最小的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  龙泉驿区是成都经济技术开发区、高端制造产业功能区、中法生态园所在地、中德智能网联汽车示范基地，第届世界大学生夏季运动会承办地，也是国务院正式命名的“中国水蜜桃之乡”年，龙泉驿区实现地区生产总值亿元，数据“亿”用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 5.  在一次体育考试中，六名男生引体向上的成绩如表，对于这组数据，下列说法不正确的是(    ) 成绩个次人数 A. 极差是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 平均数是6.  如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为(    )A.
B.
C.
D. 7.  以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；若将绳四折测之，绳多一尺现设绳长尺，井深尺，则可得方程组为(    )A.  B.  C.  D. 8.  二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是(    )
A.  B. 函数的最大值为
C. 当或时， D. 二、填空题（本题共10小题，共40分）9.  计算：        ．10.  若一次函数不经过第二象限，则的取值范围为______ ．11.  如图，，，，则的长为______ ．
 12.  如图所示，，数轴上点表示的数是______．
 13.  如图，在，，，按以下步骤作图：
以点为圆心，小于的长为半径．画弧，分别交、于点、；
分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
作射线，交边于点，则的度数为          ．
 
 14.  不等式组的解集为______ ．15.  如图，半圆的直径，正方形的顶点，在半圆上，一边在上，则这个正方形的边长等于______ ．
 16.  如图，向等腰直角三角形形的游戏板随机发射一枚飞针，已知，点为的中点，扇形和扇形的圆心分别为点、点，且，则击中图中阴影部分区域的概率为______．
 17.  在某函数的给定自变量取值范围内，该函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值当时，一次函数的界值大于，则的取值范围是______ ；当时，二次函数的界值为，则 ______ ．18.  如图，已知，，为中点，边上的一点，与交于点，若，则 ______ ．
 三、解答题（本题共8小题，共78分） 19.  计算：；
解方程：．20.  九年级某班班主任王老师为了解学生的体育锻炼情况，对本班部分学生进行了为一个月的跟踪调查，调查结果分为四类，：很好；：较好；：一般；：较差并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

王老师一共调查了多少名同学？
扇形统计图中类学生所对应的圆心角是______ 度，将上面的条形统计图补充完整；
若该校九级有学生名，估计该校学生有多少名学生体育锻炼情况是较好及以上的；
为了共同进步，王老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．21.  为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯射出的光线，与地面的夹角分别为和，，垂足为，大灯照亮地面的宽度的长为参考数据：，，，

求的长不考虑其他因素；
我们设定从发现危险大灯照到到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离厂家测试中发现，一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，且该车以的速度做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求大灯与前轮前端间水平距离为并说明理由．22.  如图，为直径，为弦，为外的点，且为的切线，过作于点，交于点，延长交的延长线于点．
求证：；
若为的中点，，，求此时圆的半径的长度．
23.  如图，已知一次函数分别与轴和反比例函数交于点，．
求和；
为直线上一动点，过点作轴的平行线，与反比例函数交于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
我们把两直角边比为：的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点为轴上一动点，为反比例函数上一点，当三角形是以为斜边的“黄金直角三角形”时，求点的坐标．
 24.  某网店销售一种儿童玩具，成本为每件元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的倍，经试销发现，日销售量件与销售单价元符合一次函数关系，如图所示．
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
若在销售过程中每天还要支付其他费用元，当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
25.  已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线在第一象限内的一个动点．
求抛物线的解析式；
若，求点坐标；
如图，直线，分别与交于点，点，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
 26.  如图，菱形边长为，，点是边上一动点，点为延长线上一点，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，且恰好过点，其中．
若时，求；
求证：；
若，求．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
即最小的数是．
故选：．
根据有理数的大小比较法则比较大小，得到答案．
本题考查了有理数大小比较：正数大于，负数小于；负数的绝对值越大，这个数越小．
 2.【答案】 【解析】解：和不能合并，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.和不能合并，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则逐个判断即可．
本题考查了合并同类项，能熟记合并同类项法则是解此题的关键，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．
 3.【答案】 【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：由图可知，，
，
．
故选：．
根据三角形外角的性质解答即可．
本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
 5.【答案】 【解析】解：极差为，平均数，众数是，中位数是，
故选：．
分别计算该组数据的众数、平均数、极差及中位数后找到正确答案即可．
本题考查了极差、平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
 6.【答案】 【解析】解：如图，，

所以，，
所以，外切六边形的边长
故选：．
求出，然后解直角三角形求出，再根据边长计算即可得解．
本题考查了正多边形和圆，主要利用了解直角三角形，熟记正多边形的性质并求出切点与相邻的顶点所对的圆心角的度数是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：设绳长尺，井深尺，
根据题意，可得：．
故选：．
用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：将绳三折测之，绳多五尺；将绳四折测之，绳多一尺．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 8.【答案】 【解析】解：二次函数的图象开口向下，
，
图象与轴的交点在轴上方，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
选项不合题意，
由图象可知时，取最大值，
为最大值，
选项不合题意，
由图象可知的一个根为，
由对称轴为直线，
另一个根为，
选项不合题意，
由图象可知时，，
，
不正确的是选项，
故选：．
根据二次函数的图象可确定，，的符号，从而确定的符号，由的函数值可确定选项，由图象与轴的一个交点及对称轴可确定选项，由时的函数值可确定选项．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据图象得出各系数之间的关系．
 9.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，求解即可．
本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
 10.【答案】 【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，
且，
解得．
故答案为：．
根据图象在坐标平面内的位置关系确定的取值范围，从而求解．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
，，
，
，
故答案为：．
由平行线分线段成比例，可得比例式：，代入值，利用线段间的关系，直接求解．
本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键．
 12.【答案】； 【解析】解：．
因为，
所以．
所以数轴上点表示的数是：．
故答案为：．
分析：
利用勾股定理求得线段的长，结合数轴即可得出结论．
本题主要考查了数轴，勾股定理．利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：解法一：连接．

点、是以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别与、的交点，
；
是等腰三角形；
又分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
是线段的垂直平分线，
平分，

，
；
在中，，，
；

解法二：根据已知条件中的作图步骤知，是的平分线，
，
；
在中，，，
；
故答案是：．
根据已知条件中的作图步骤知，是的平分线，根据角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可．
本题综合考查了作图--基本作图，三角形内角和定理．根据作图过程推知是平分线是解答此题的关键．
 14.【答案】解：


；
，
，
解得：，，
检验：当时，，
是原方程的根，
当时，，
是原方程的根，
，是原方程的根． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，解分式方程，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：名，
所以李老师一共调查了名同学；
类人数为人，
所以类的女生人数为名，
所以类人数为名，
其中男生人数为名，
所以扇形统计图中类学生所对应的圆心角为，
条形统计图补充为：

故答案为：；
名，
估计该校学生有名学生体育锻炼情况是较好及以上的；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中一位男同学和一位女同学的结果数为，
所以所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
用类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
先计算出类人数，再确定其中的女生人数，接着计算出类人数，从而得到类中的男生人数，然后用乘以类人数所占的百分比得到扇形统计图中类学生所对应的圆心角的度数，再补全条形统计图；
用乘以类和类人数所占的百分比的和即可；
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 16.【答案】解：在中，
，
，
同理，，
又，，，
，
即，
解得，
，
答：的长约为；
，
刹车停止后，车轮前沿到障碍物的距离为：，
符合要求． 【解析】根据直角三角形的边角关系求出的值，再求出即可；
求出刹车停止后，车轮前沿到障碍物的距离即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 17.【答案】证明：如图，连接，

为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：设，
为的中点，
，
，
，
，，
，
由勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
解得，
半径为． 【解析】连接，根据切线的性质得再由，，可得，即可证明结论；
设，则，利用三角函数的定义求出，勾股定理得出的长，最后利用∽，可得的长．
本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
 18.【答案】解：将点的坐标代入一次函数表达式得：，则，
则一次函数的表达式为：；
将点的坐标代入上式得：，则，
即点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数的表达式为：，
即，；

设点，
四边形为平行四边形，
，点、的纵坐标相同，
则点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：或舍去，
故点的坐标为：；

设点，则，
分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，

是直角三角形的斜边，则，
，
，
，
，
∽，
直角边比为：，则上述两个三角形的相似比为或，
即，即或且，
解得：或舍去负值，
即点的坐标为：或． 【解析】用待定系数法即可求解；
设点，四边形为平行四边形，则，点、的纵坐标相同，则点，进而求解；
证明∽，得到，即或且，即可求解．
本题为反比例函数综合题，涉及到三角形相似、一次函数的基本性质、新定义、平行四边形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
 19.【答案】 【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：如图，找到半圆的圆心，连接，根据题意得，
设，则，
由勾股定理得，
解得．
．
故答案为：．
根据题意得，设，则，由勾股定理得，从而求得正方形的面积．
本题综合考查了正方形的性质，垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
 21.【答案】 【解析】解：因为，，，
所以，
因为点为的中点，
所以，
所以阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积扇形的面积

，
则击中图中阴影部分区域的概率为：．
故答案为：．
用三角形的面积减去扇形和扇形的面积，求出阴影部分的面积，再除以总面积即可得出答案．
本题考查了扇形面积的计算及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：是解答本题的关键．
 22.【答案】  或 【解析】解：当时，一次函数的界值大于，
，
，随的增大而增大，
时，，时，，
，
；
，
当时，，当时，，当时，，
当时，，
此时，当时，取最小值，当时，取最大值，
，，
，
解得舍去；
当时，，
当时，，，
，解得或舍；
当时，，，
，解得或舍；
当时，，
，，
，解得舍去；
综上所述，的值为或．
故答案为：；或．
：根据时，随的增大而增大，根据最大值最小值列不等式可解答；
：先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，分情况讨论，根据二次函数的界值为列方程可解答．
本题考查了二次函数的性质，一次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论．
 23.【答案】 【解析】解：延长到，使，连接，，延长交于，过作于，如图：

为中点，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
≌，
，
，，
∽，
，
设，，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
．
故答案为：．
延长到，使，连接，，延长交于，过作于，由为中点，，可得四边形是平行四边形，有，从而可得，证明∽，知，设，，证明∽，有，故，可得，即得，有，从而可得．
本题考查相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
 24.【答案】解：设与之间的函数关系式，
把，分别代入，
得，
解得，
；
设该公司日获利润为元，


或，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，．
答：当销售单价为元时，该公司日获利最大，最大获利元． 【解析】根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式；
利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在 时取得．
 25.【答案】解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
，解得，
；
过点作轴交抛物线于点，过点作交于点，

，，
，
点，
，
在中，令，得或，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立得，
解得舍去或，
点坐标为；
是为定值，这个定值为．
设，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
的坐标为，
同理可得的坐标为，
，
，
． 【解析】用待定系数法即可求解；
过点作轴交抛物线于点，过点作交于点，证明∽，利用相似三角形的性质求出，可得点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线的解析式求解即可；
设，利用待定系数法求出直线、的解析式，可得、的坐标，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等，掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
 26.【答案】解：如图中，连接．

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
；

证明：如图中，连接，在上取一点，使得，连接．

，
，
，，
≌，
，
，，
是等边三角形，
，，
，，

，
，
，
，
，
∽，
，
，，
；

解：如图中，连接，，过点作于点，过点作于点，于点．

，
，
，
设，，
，
，，
，
，，
，，，
≌，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，，
，
．
． 【解析】证明，解直角三角形求出，可得结论；
如图中，连接，在上取一点，使得，连接首先证明，再利用相似三角形的性质证明；
如图中，连接，，过点作于点，过点作于点，于点证明，设，，用表示出，，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转全等三角形或相似三角形解决问题．