2024年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷

这是一份2024年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.的相反数是( )
A. 2024B. C. D.
2.2024年3月21日，成都市召开了以“建设成渝经济圈，奋进新时代”为主题的招商大会，40个重大项目集中签约，计划总投资约41800000000元，将41800000000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的主视图应是( )
A. B. C. D.
5.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A. 点数的和为1B. 点数的和为6C. 点数的和大于12D. 点数的和小于13
6.已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐.问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是( )
A. B.
C. D.
8.如图，四边形ABCD是矩形，将沿着BD折叠到，若，，则的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
10.分解因式的结果是______.
11.已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是______.
12.如图，直线AD，BC交于点O，，若，，，则的值为______.
13.如图，等腰中，以C为圆心，任意长为半径作弧交CA，CB于点D，E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作于若，则AC的长为______.
14.若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______.
15.若正整数a使得关于x的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数a的个数有______个.
16.如图，与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，若，则的半径长为______.
17.抛物线经过，，三点，且下列四个结论：①；②；③关于x的一元二次方程一定有解；④当时，若点在该抛物线上，则其中正确的是______填写序号
18.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在处，，垂足为若，，则______
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
19.计算：
解不等式组：
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题8分
某市某学校初一年级针对体育中考中球类项目准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下活动项目：足球、排球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项.为了了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据统计图回答问题.
这次活动一共调查了______名学生；
补全条形统计图；
在扇形统计图中，选择羽毛球项目的人数所在的扇形圆心角等于______度；
该年级共有1000名学生，估计该年级共有多少名学生选择排球？
21.本小题8分
无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得地面点A的俯角为，且点P到点A的距离为80米，同时测得楼顶点C处的俯角为已知点A与大楼的距离AB为70米点A，B，C，P在同一平面内，求大楼的高度结果保留根号
22.本小题10分
如图，以AB为直径的经过的顶点C，BE平分，BE的延长线交于点D，交的切线AF于F，连接
证明∽；
若，，求FD，CE的长.
23.本小题10分
如图①，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为
求反比例函数的解析式；
如图②，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接BM，若是以MN为底边的等腰三角形，求的面积；
如图③，将一次函数的图象绕点C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标.
24.本小题8分
某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于45元/千克.经市场调查发现每天的销售量千克与销售价格元/千克之间的函数关系如图所示.
求y关于x的函数表达式；
当销售价格定为多少时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润销售价格-采购价格销售量】
25.本小题10分
抛物线交y轴于A点，点B为点A上方y轴上一点，将抛物线绕动点旋转后得到抛物线交y轴于点C，交抛物线于点D，
如图①，当点B坐标为，求出此时抛物线的表达式；
如图②，顺次连接A，E，C，D四点，请证明四边形AECD为菱形，并说明当m为何值时四边形AECD为正方形；
如图③，过点B作直线l：交抛物线，于P，Q，M，N，若在点B的运动过程中始终保持，求出此时k和m的数量关系.
26.本小题12分
如图①，点D为上方一动点，且
在BD左侧构造∽，连接AE，请证明∽；
如图②，在BD左侧构造∽，在CD右侧构造∽，连接AF，AE，求证：四边形AFDE是平行四边形；
如图③，当满足，，运用中的构造图形的方法画出四边形AFDE；
Ⅰ求证：四边形AFDE是矩形；
Ⅱ直接写出在点D运动过程中线段EF的最大值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：的相反数是2024，
故选：
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据合并同类项法则判断即可；选项C根据积的乘方运算法则判断即可；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：从正面看是一个上底在下的梯形．
故选：
根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】B
【解析】解：A、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；
B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；
C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；
故选：
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】C
【解析】解：反比例函数中的，
该双曲线经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
点，在反比例函数的图象上，且，
点A位于第三象限，点B位于第一象限，
故选：
先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、所在的象限即可得到答案．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设车x辆，根据题意得：
故选：
设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：，，，
≌，
，四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
设，
则，
，
由勾股定理得：，
，
，
故选：
先根据SSS证明≌，可得，设，则，根据勾股定理列方程可得AO的长，最后由正切的定义可解答．
本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：式子在实数范围内有意义，
故答案为：
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：
故答案为：
先提取公因式，再利用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握k、b对一次函数图象的影响是解题的关键．
根据，，时，函数图象经过第一、二、四象限，则有，即可求解.
【解答】
解：的图象经过第一、二、四象限，
，
；
故答案为
12.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：
根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：由题意得，，
由作图过程可知，CM为的平分线，
，
，
，
即点M为AB的中点，
，
为的中位线，
故答案为：
由作图过程可知，CM为的平分线，结合题意可得，则，即点M为AB的中点，进而可得MN为的中位线，则
本题考查作图-基本作图、等腰直角三角形、中位线定理、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了一元二次方程的解．
先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】
解：是一元二次方程的根，
，
，
、n是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故答案为：
15.【答案】4
【解析】解：解分式方程，得，
为正整数，
，解得，
，即，解得
，12，9，3，
符合条件的所有正整数a的个数有4个．
故答案为：
解分式方程，根据其解的条件求出a的取值范围，从而确定a的所有可能值．
本题考查分式方程的解，掌握分式方程及一元一次不等式的解法是本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接CF，OC，OF，过D作于G，过E作于H，
，
，CD是的切线，
，
多边形ABCDEF是正六边形，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
四边形EHGD是矩形，
，
，，
，
，
过O作于M，
，
，
的半径长为，
故答案为：
连接CF，OC，OF，过D作于G，过E作于H，根据切线的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得，过O作于M，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
17.【答案】②③④
【解析】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在的左侧，
中，
抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，
抛物线的开口一定向下，即，
把代入得：，
即，
，，
，
故①错误；
②，，，，
方程的两个根的积大于0，
即，
，
，
，
即抛物线的对称轴在直线的右侧，
抛物线的顶点在点的上方或者右上方，
，
，
，
故②正确；
③抛物线开口向下，顶点在点的上方或者右上方，
抛物线与直线一定由交点，
关于x的一元二次方程一定有解，
故③正确；
④，
当时，，
抛物线对称轴在直线的右侧，
到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
，抛物线开口向下，
距离抛物线越近的函数值越大，
，
故④正确；
综上，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，即，再把代入得，则，即可求解；
②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出，即可求解；
③根据抛物线与直线的交点情况即可求解；
④先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可求解．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：作EH于点H，则，
，，
，
由折叠得，，
四边形ABCD是菱形，
，，，
于点F，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：
作于点H，由，，求得，由折叠得，由菱形的性质得，，，因为于点F，所以，则，，所以，则，由，，得，，于是得，则
此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：原式，
，
由①得，，
由②得，，
所以，不等式组的解集是
【解析】本题主要考查了解一元一次不等式组，实数的运算．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解
先计算零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数，再加减即可．
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
20.【答案】
【解析】解：根据题意，足球的人数为80人，占比为，人，
故答案为：250；
篮球人数为：人，补全条形统计图如下：
，
选择羽毛球项目的人数所在的扇形圆心角为：；
故答案为：；
名，
答：估计该年级共大约有160名学生选择排球．
借助足球的人数和占比可求总调查人数．
利用总人数分别减去足球、乒乓球、羽毛球的人数可得篮球的人数，完善条形统计图．
羽毛球的占比与的乘积便是圆心角的度数．
总人数与调查人数中排球人数的占比相乘求解．
本题主要考查条形统计图和扇形统计图，解题关键是扇形统计图和条形统计图中数据相结合解题．
21.【答案】解：如图：延长BC交PQ于点E，过点A作，垂足为D，
由题意得：，米，，
在中，米，，
米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
大楼的高度BC为米．
【解析】延长BC交PQ于点E，过点A作，垂足为D，根据题意可得：，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出AD和DP的长，从而求出PE的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】证明：是直径，
，
，
是切线，
，
，
，
，
平分，
，
，
∽；
解：，
，
，
，
，，
是切线，
，
设，
由射影定理得：，
，
解得，
，
，
，
，

【解析】首先结合圆周角定理推导出，然后利用AF是切线，得到，利用互余的两个角相等得到；BE平分，推导出，进而得证；
首先推导出，进而得到，，，设，由射影定理得：，解得；利用，得到，解得即可
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理以及切线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理与性质．
23.【答案】解：当时，，则点，
将点B的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数表达式为：；
设点N的坐标为，则点，
若是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，
则，
解得：舍去或，
则点M，N的坐标分别为：，，
则；
，
的坐标为，
作于Q，过Q作y轴平行线PR，作，
一次函数的图象绕点C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，
，
≌，
设，
，
，
，
直线CQ解析式为：，与反比例函数联立方程组解得：

【解析】待定系数法求出反比例函数解析式即可；
设点N的坐标为，则点，则点B在MN的中垂线上可求出t值，继而可得M、N坐标，求出面积即可；
作于Q，过Q作y轴平行线PR，作，利用三角形全等得到，求出a、b值得到点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组得到点E坐标即可．
本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
24.【答案】解：由题意，当时，设，
又过，，
此时，
当时，设，
又由，，
此时，
综上，
由题意，设利润为w元，
当时，
，
又在范围内，w随着x的增大而增大，
当时，w取得最大值为
当时，
，
当时，w取得最大值为
，
当销售价格为35元时，利润最大为450元．
【解析】依据题意，由待定系数法进行计算可以得解；
依据题意，设利润为w元，由时，，再结合二次函数的性质可以判断此时的w最值，又时，，又当时，w取得最大值为450，再由，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解题时要能熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键．
25.【答案】解：，
坐标为，
坐标为，
，
；
坐标为，B坐标为，
，
，
联立两个抛物线的表达式得：，
解得，，
，
，B，E共线且，，，
四边形AECD为菱形，
当时，四边形AECD为正方形，
即，
解得含，，
时，四边形AECD为正方形；
联立直线l和抛物线的表达式得：，
解得，，
联立直线l和抛物线的表达式得：，
解得：，，
，
，
，
，

【解析】由得：A坐标为，得到，即可求解；
联立两个抛物线的表达式得：，求出，证明四边形AECD为菱形，当时，四边形AECD为正方形，即可求解；
求出，，，，由知，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
26.【答案】证明：∽，
，，
，
，
∽；
证明：由得：∽，
，
∽，
，
，
，
同理可得∽，
，
∽，
，
四边形AFDE是平行四边形；
Ⅰ证明：由知：∽，
，
∽，
，
，
▱AFDE是矩形；
Ⅱ解：如图，
EF的最大值为：，理由如下：
作的外接圆，圆心为O，连接OA并延长交于D，此时AD最大，作，交CA的延长线于G，
，
，
，，
，
，
的直径为：，
连接OB，OC，作于Q，作于T，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形AEDF是矩形，
，
的最大值为：
【解析】由∽得出，，进而得出，进而得出∽；
由∽得出，根据∽得出，进而得出，同理得出，从而四边形AFDE是平行四边形；
Ⅰ根据相似三角形的性质得出，，从而得出，进而得出▱AFDE是矩形；
Ⅱ作的外接圆，圆心为O，连接OA并延长交于D，此时AD最大，作，交CA的延长线于G，解三角形ABC得出，进而得出的直径为：，连接OB，OC，作于Q，作于T，可得出，，解三角形OBC得出，
根据求得，从而得出，进而得出AT，OT的值，进而得出OA的长，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解决问题的关键是较强计算能力．