2023年陕西省中考数学试卷(含解析 )

2023年陕西省中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在同一平面直角坐标系中，函数和为常数，的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点若，则线段的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图是从正面看到的一个“老碗”图的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，已知，碗深，则的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，二次函数为常数的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有(    )

A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  如图，在数轴上，点表示，点与点位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点表示的数是          ．
 

10.  如图，正八边形的边长为，对角线、相交于点，则线段的长为          ．
 

11.  点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为          ．

12.  如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是          ．
 

13.  如图，在矩形中，，点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，若，则线段的长为          ．
 

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分

解不等式：．

15.  本小题分

计算：．

16.  本小题分

化简：．

17.  本小题分

如图，已知锐角，请用尺规作图法，在内部求作一点，使，且保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分

如图，在中，，过点作，垂足为，延长至点，使，在边上截取，连接．

求证：．

19.  本小题分

一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是，，，这些小球除标有的数字外都相同．

从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是的概率为________；

先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字．请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．

20.  本小题分

小红在一家文具店买了一种大笔记本个和一种小笔记本个，共用了元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多元，求该文具店中这种大笔记本的单价．

21.  本小题分

一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯灯杆底部不可到达的高如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，求该景观灯的高参考数据：，，

22.  本小题分

经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径树的主干在地面以上处的直径越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为．

求与之间的函数表达式；

当这种树的胸径为时，其树高是多少？

23.  本小题分

某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：

通过对以上数据的分析整理，绘制了如下统计图表：

根据以上信息，解答下列问题：

补全频数分布直方图；这个数据的众数是________；

求这个数据的平均数；

“校园农场”中共有棵这种西红柿植株，请估计这棵西红柿植株上小西红柿的总个数．

24.  本小题分

如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．

求证：；

若的半径，，求线段的长．

25.  本小题分

某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素．设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，．

方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，．

要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好框架的粗细忽略不计方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为点、在抛物线上，边在上．

现知，小华已正确求出方案二中，当时，．

请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

求方案一中抛物线的函数表达式；

在方案一中，当时，求矩形框架的面积，并比较，的大小．

26.  本小题分

如图，在中，，，若的半径为，点在上，点在上，连接，求线段的最小值．

如图所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内含边界修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点，连接，点在上，连接其中，线段、及是要修的三条道路．要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据有理数的减法法则计算即可．
本题主要考查了有理数的减法法则，熟知减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
【解答】
  解：．
  故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
【解答】
解：原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意
B.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意
C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意
D.原图既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
由对顶角相等可得，再由平行线的性质可求得，，结合已知条件可求得，即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【解答】
解：如图，

，
，
，
，，
，
，
，
．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【解答】
解：

．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
本题考查正比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答．
【解答】
解：，
函数的图象经过原点且经过第二、四象限，
函数的图象经过第一、三、四象限，
故选D．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据三角形中位线定理证得，求出，进而证得∽，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
【解答】
解：是的中位线，
，，
∽，
，
，
．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．
在中，根据勾股定理列出方程，求出即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．
【解答】
解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故选 A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据二次函数过点，代入二次函数解析式，求得，的值，根据对称轴在轴左侧，确定的值，根据，知道开口方向向上，函数有最小值，解出即可．
本题考查待定系数法求函数解析式，以及求函数的最值．
【解答】
解：二次函数的图象经过点，
，
解得，，
对称轴在轴左侧，且为直线，

，
，
二次函数，
，
抛物线开口向上，有最小值，最小值为，
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
到原点的距离是，与原点的距离相等，所以到原点的距离也是，则表示的数是，
此题考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
【解答】
解：到原点的距离是，所以到原点的距离也是，
点表示的数是，则表示的数是．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据正多边形的内角和及边数求出每个内角为，再由正八边形的性质得，，从而可得是等腰直角三角形，则，过点作，得四边形是矩形，≌，从而，，再相加即可求解．
本题考查了正多边形的内角和及性质，解题的关键是要熟悉正多边形的对称性．
【解答】
  解：正八边形的每个内角为，
由正八边形的性质可知，，

是等腰直角三角形
，
过点作，则四边形是矩形
由正八边形的对称性，可知≌，
，
．
  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
 根据菱形的性质可以知道，，在直角三角形中，利用两角互余即可得解．
本题考查了菱形的性质，及直角三角形两锐角互余的性质．
【解答】
解：如图，

四边形是菱形，
，，
，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
设，根据题意得点坐标，，再把、点坐标代入可求得的值，从而得出的坐标，代入可
得答案．
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点．
【解答】
解：，设，，

正方形的边长为，
，
B、在反比例函数的图象上，
，
解得，舍
，
反比例函数解析式为．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
过点作交于点，交于点，截取，易证≌，得，连接，得，从而当、、三点共线时最小，为，而当时，，此时，即可求解．
本题考查了轴对称的最短路径问题，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解决此问题的关键是找出的最小值．
【解答】
过点作交于点，交于点，截取，


四边形是矩形，，，
，，，
则
平分
，
，
≌，
，
连接，则
当、、三点共线时最小，为．

当时，，此时，如图，

  

14.【答案】解：，
去分母，得  ，
移项，得   ，
合并同类项，得，
不等式的两边都除以，得． 

【解析】去分母，移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：原式


． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里的，再算括号外的乘法，即可化简．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件．
本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

18.【答案】证明：在中，，，
．
．
．
，
．
在和中，

．
． 

【解析】利用三角形内角和定理得的度数，再利用三角形的外角性质得到，从而，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其判定定理是解决此题的关键．
 

19.【答案】解：
画树状图如下：

由树状图可得，一共有种等可能的结果，其中两数之积是偶数的可能结果有种，
摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 

【解析】

【分析】
从袋中随机摸出一个小球，有种可能结果，摸出的这个小球上标有的数字是的可能结果有种，据此解答即可．
根据题意可以画出相应的树状图，即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
【解答】
解：由题意可得，从袋中随机摸出一个小球，有种可能结果，摸出的这个小球上标有的数字是的可能结果有种，
则摸出的这个小球上标有的数字是的概率为，
故答案为
见答案．  

20.【答案】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是元，则小笔记的单价是元，
根据题意，得 
解得   ．
答：该文具店中这种大笔记本的单价为元． 

【解析】设大笔记本的单价为元，则小笔记本的单价为元，再根据等量关系列出方程，即可求解．
此题考查了一元一次方程的实际运用，根据题目蕴含的等量关系列出方程是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：，，
设，
在中，，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得：，
，
该景观灯的高约为． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明∽，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设，
根据题意，得，
解得，
与之间的函数表达式为：
当时，．
当这种树的胸径为时，其树高为． 

【解析】设，根据题意利用待定系数法解答即可
把代入的结论解答即可．
此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：补全频数分布直方图如下；；

．
这个数据的平均数是
所求总个数：个
估计这棵西红柿植株上小西红柿的总个数是个． 

【解析】

【分析】
用总数减去其它三组的频数可得的值，进而补全频数分布直方图，然后根据众数的定义解答即可
根据算术平均数的计算公式解答即可
用乘中所求的平均数可得答案．
本题主要考查了频数分布直方图、频数分布表，用样本估计总体，众数以及平均数．
【解答】
解：由题意得，，
补全频数分布直方图如下

这个数据中，出现的次数最多，故众数为．
故答案为．
见答案；
见答案  

24.【答案】证明：如图，连接，则．


．
．
．
解：如图，，
为的直径，
．
 

，，
∽．
．
，．
  连接，则，
．

． 

【解析】连接，易得，因为根据两锐角互余可得，即可得证；
由锐角三角函数和勾股定理可以求得，的长，由∽可得，进而得到和的长，再根据线段的和差关系得到．
本题考查圆周角定理，锐角三角函数及相似三角形的判定与性质，解题的关键是要掌握圆周角定理．
 

25.【答案】解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，

方案一中抛物线的函数表达式为
在中，
令得：
解得或，
，

，
． 

【解析】由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式为
令可得，解得或，从而得，；再比较，的大小即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数的表达式．
 

26.【答案】解：如图，连接，，过点作，垂足为，则．

半径为，
．
，，
．
  ．
  ，
线段的最小值为  ．
如图，分别在，上作．
连接、、、、．
，，，
四边形是平行四边形．
．
，
．
当点在上时，取得最小值．
作，使圆心在上，半径，
作，垂足为，并与交于点．
易证，．
  ．
在矩形区域内含边界，
当与相切时，最短，即，．
此时，也最短．
，
也最短．
 ．
．
此时环道的圆心到的距离的长为．
 

【解析】连接，，过点作，垂足为，利用三角形的三边关系得到，从而，只需求出，即可求出的最小值；
分别在，上作，连接、、、、，证出四边形是平行四边形，因为，所以所以当点在上时，取得最小值，易证，从而求得的长，再由得出。
本题考查最短路线问题，相似三角形的判定与性质，圆与几何图形的综合问题，解决此题的关键是理解题意，找到最短路径．