预测卷01-冲刺高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

预测卷01

（满分：70分     建议用时： 65 分钟）

一、解答题

17（10分）．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①；②；③.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】答案见解析.

【分析】根据题意，分别选择其中两个作条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明即可.

【详解】选①②作条件，③做结论

由②，得：，而sin B > 0，

所以，即，

根据辅助角公式可得，，0 < A < π，

所以，，则，

由①知，，代入可得，，所以，

即：.

选①③作条件，②做结论

由③，得：，，

所以，则，

所以，0 < A < π，所以，

由③知，，

所以，所以，所以，

所以，.

选②③作条件，①做结论

由②，得：，而sin B > 0，

所以，即，

根据辅助角公式可得，，所以，，

由③，，

所以，得：，所以，

所以,，则，，

即：.

18（12分）．已知等差数列的首项，记的前n项和为，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.

【答案】(1)或(2)

【详解】（1）由题意可得：，

整理得，则

可得或，

故或.

（2）∵，由（1）可得，

则，

故

所以.

19（12分）．如图，三棱锥满足：，，，．

(1)求证：；

(2)若D为中点，求二面角的平面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析(2)

【详解】（1）∵，，，

∴，又∵，，

∴，取AB中点E，连接PE、CE，如图所示，

则，，

又∵，、面，∴面，又∵面，∴.

（2）过点P作交延长线于点O，过O作，

由（1）知，面，又因为面，所以，

又因为，、面，

所以面，所以以点O为原点，分别以CE、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

在Rt△PEA中，,

在△PEC中，，

∴，，

∴在中，，，

∴，，，，∴，

∴，，，

设面的一个法向量为，，

取，则，，所以，设面的一个法向量为，

取，则，，所以，

∴，∴.

即二面角的平面角的正弦值为.

20（12分）．2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式.为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关.

(1)求n的值；

(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为X，求X的分布列及数学期望.

附表：

.

【答案】(1)(2)分布列见解析，

【详解】（1）由已知，完成列联表，

将数值代入公式可得的观测值：，

根据条件，可得，解得，因为，所以.

（2）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为，

用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，了解中国航天事业的概率为，则，

，，

，，

，.

则X的分布列为

.

21（12分）．已知双曲线C：过点，且渐近线方程为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)如图，过点的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值.

【答案】(1)(2)1

【详解】（1）∵双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线C的方程为，

代入点，即，故双曲线C的方程为.

（2）由双曲线C的方程为的方程可得，

由题意可得点，则有：当直线l与轴垂直时，则，

可得直线，令，则，即点，

同理可得：点，故，即；

当直线l不与轴垂直时，设直线，

联立方程，消去x得，

则，

可得直线，

令，则，即点，

同理可得：点，

∵

，即点关于x轴对称，故，即；

综上所述：的值为1.

22（12分）．已知函数，．

(1)证明：存在唯一零点；

(2)设，若存在，使得，证明：．

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【详解】（1）由题意可得，

记，则，

因为时，恒成立，所以在上单调递增，

因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为，所以有唯一零点0．

（2）由可得，

若是方程的根，则是方程的根，

因为，都单调递增，

所以，，

设，，

所以的解为，的解为，

所以在上递减，在上递增，

所以的最小值为，即的最小值为．

故原不等式成立.