2023年中考复习大串讲初中数学之 拓展专项二 相似三角形的常见考法技巧 课件
展开· 类型1 反A型与反X型
· 类型2 类摄影型与摄影型
· 类型3 旋转相似与一线三等角
类型一 反A型与反X型
如图1,在△ABC中,CE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,求证:△AEF∽△ACB.
类型二 类射影型与射影型
如图2,在△ABC中,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为D,E,F.
(1)求证:CE·CA=CF·CB;
(2)设EF交CD于点O,求证:△COE∽△FOD.
类型三 旋转相似与一线三等角
(1)若AC=3,AB=4,求 ;
如图3,Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连接CC′交AB于点E,CC′的延长线交BB′于点F.
(2)求证:△ACE∽△FBE.
证明:由(1)知△ACC′∽△ABB′,∴∠ACC′=∠ABB′,即∠ACE=∠FBE.又∵∠AEC=∠FEB,∴△ACE∽△FBE.
感知:如图4①,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,△ABP与△PCD是否相似?________(填“是”或“否”);
探究:如图4②,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD 时,求证:△ABP∽△PCD;
证明:∵∠APC=∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD,∠B=∠APD,∴∠BAP=∠CPD.又∵∠B=∠C,∴△ABP∽△PCD.
拓展:如图4③,在△ABC中,点P是BC的中点,点D,E分别在边AB,AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=12 ,CE=9,则DE的长为________.
· 技巧1 三点定型法
· 技巧2 等线段代换法
· 技巧3 等比代换法
· 技巧4 等积代换法
· 技巧5 证等量先证等比
在相似三角形的证明中,如未确定证哪对三角形相似,可采用三点定型法,例如形式为AC2=AD·AB,可先化为 ①看分子,由AC,AB确定△ABC.看分母,由AD,AC确定△ACD.即证△ABC∽△ACD.②看左侧,由AC,AD确定△ACD,看右侧,由AB,AC确定△ABC.若所得不是三角形,则需先进行代换成证两对三角形相似.
如图5,在等边三角形ABC中,P为BC上任意一点,AP的垂直平分线交AB,AC于M,N两点.求证:BP·PC=BM·CN.
证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵MN垂直平分AP,∴AM=PM,AN=PN.又∵MN=MN,∴△AMN≌△PMN(SSS),
技巧一 三点定型法
如图6,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,求证:DF2=CF·BF.
技巧二 等线段代换法
如图7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E为直角边AC的中点,过D,E作直线交AB的延长线于F.求证:
技巧三 等比代换法
技巧四 等积代换法
如图8,已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BG⊥AP,垂足为G,交CE于D,求证:CE2=PE·DE.
证明:由题意得∠ACB=∠AEC=∠CEB=90°,∴∠ACE+∠BCE=90°,∠ACE+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠BCE,
【变式练习】如图9,在△ABC中,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF,求证:AE·AB=AF·AC.
技巧五 证等量先证等比
如图10,在△ABC中,AB=AC,BD∥AC,连接AD并延长到点E,连接CD并延长交AB的延长线于N,连接EB并延长交CA的延长线于M,连接CE,若CE∥AB,求证:AM=BN.
【变式练习】如图11,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,EF∥AC,BE,BF分别交AC于点M,N,求证:AN=CM.
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