2023年中考复习大串讲初中数学之 拓展专项三　隐形圆及最值问题 课件

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若平面上A，B，C，D四个点满足∠ABD＝∠ACD＝90°，则A，B，C，D在以AD的中点E为圆心、EA的长为半径的圆上，如图(可证EA＝EB＝EC＝ED)．
如图1，AD，BE，CF为△ABC的三条高，H为三条高线的交点，问：
(1)图中有多少组四点共圆？并指出圆心的位置；
解：图中有6组四点共圆．①C，D，H，E四点共圆，圆心在CH的中点处；②D，B，F，H四点共圆，圆心在BH的中点处；③A，E，H，F四点共圆，圆心在AH的中点处；
④C，B，F，E四点共圆，圆心在BC的中点处；⑤B，A，E，D四点共圆，圆心在AB的中点处；⑥C，D，F，A四点共圆，圆心在AC的中点处．
(2)求证：∠ADF＝∠ADE.
证明：如答图1，由B，D，H，F四点共圆，得∠ADF＝∠1.同理，由A，B，D，E四点共圆，得∠ADE＝∠1.∴∠ADF＝∠ADE.
如图2，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G.
(1)求证：DE∥A′F；
证明：如答图2，设AG与DE的交点为O.∵点A关于DE的对称点为A′，∴AO＝A′O，AA′⊥DE.∵E，F为边AB上的两个三等分点，∴AE＝EF＝BF，∴EO是△AA′F的中位线，∴EO∥A′F，即DE∥A′F.
(2)求∠GA′B的大小；
解：如答图2，连接GF，∵AA′⊥DE，四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，AD＝BA，∴∠ADE＋∠DEA＝90°＝∠DEA＋∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，即∠ADE＝∠BAG.在△ADE和△BAG中，
(3)求证：A′C＝2A′B.
· 类型1 共端点，等线段模型(定点为圆心，相等距离为半径)
· 类型2 定点＋定长模型(先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径)
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
如图3，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的度数是________．
类型一 共端点，等线段模型(定点为圆心，相等距离为半径)
如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值为________．
类型二 定点＋定长模型(先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径)
· 类型1 求线段长最短
· 类型2 求两线段和最短 (根据圆的对称性，将线段转换，再利用两点之间线段最短求解)
圆中求最值的方法：在圆中，注意圆的半径为定值，要围绕半径构造模型解题．
如图5，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．
类型一 求线段长最短
1．线段有一端点在圆上，一端点在弦上 (结合半径，利用垂线段最短直接构造直角三角形求解)
如图6，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是________．
2．两点都在弦上 (转化成求相关的端点在圆上的线段，如直径、半径，再求解)
如图7，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB.点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为________．
3．线段两端点在圆外 (寻找隐含条件，如中位线、直角三角形斜边上的中线等，构造直角三角形或隐形圆解题)