专题19 378与578模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)
展开
这是一份专题19 378与578模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版),共12页。
专题19 378与578模型模型的概述:边长为3、7、8或5、7、8的三角形。问题一:如图所示,当两个三角形的边长为3、7、8和5、7、8时,求这两个三角形面积。 思路:1)过点C作CM⊥AB于点M设BM=x 则AM=3+x在Rt∆ACM中AM2+CM2=AC2 即CM2 =AC2 - AM2 在Rt∆BCM中BM2+CM2=BC2 即CM2 =BC2 - BM2 ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2 即82 - (3+x)2 = 72 - x2 解得x=1 ∴CM = 4 ∴S∆ABC=AB•CM = •3•4=62)过点F作FN⊥DE于点N设DN=x 则NE=5-x在Rt∆DNF中DN2+NF2=DF2 即NF2 =DF2 - DN2 在Rt∆ENF中NE2+NF2=EF2 即NF2 =EF2 - NE2 ∴DF2 - DN2 = EF2 - NE2 即72 - x2 = 82 - (5-x)2 解得x=1 ∴NF = 4 ∴S∆DEF=DE•NF = •5•4=10问题二:如图所示,已知∆ABC为等边三角形,AC=8,AD=3,BD=5,CH为高 求∆ACD、∆BCD面积思路:根据勾股定理/锐角三角函数可求得CH=4 所以S∆ACDAD•CH = •3•4=6 S∆BCD=BD•CH = •5•4=10总结:1)边长为3、7、8和5、7、8的两个三角形可以构成一个边长为8的等边三角形,且该等边三角形的高(CH)即为两个三角形的高。2)边长为3、7、8和5、7、8的两个三角形中边长为7所对的角为60°。【培优过关练】1.(2023春·八年级课时练习)已知在△ABC中,AB=7,AC=8,BC=5,则∠C=( ).A.45° B.37° C.60° D.90°【答案】C【分析】过点A作AD⊥BC于D,设CD=x,则BD=BC−CD=5−x,由勾股定理得72−(5−x)2=82−x2,得出CD=4,则CD=AC,再证∠CAD=30°,即可求解.【详解】解:过点A作AD⊥BC于D,如图所示:设CD=x,则BD=BC−CD=5−x,在Rt△ABD中,由勾股定理得:AD2=AB2−BD2,在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD2=AC2−CD2,∴AB2−BD2=AC2−CD2,即:72−(5−x)2=82−x2,解得:x=4,∴CD=4,∴CD=AC,∴∠CAD=30°,∴∠C=90°−30°=60°,故选:C.【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识;熟练掌握勾股定理,证出∠CAD=30°是解题的关键.2.(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)边长为5,7,8的三角形的最大角和最小角的和是( ).A.90° B.150° C.135° D.120°【答案】D【分析】设△ABC的三边AB=5,AC=7,BC=8,过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x,分别在Rt△ADB和Rt△ADC中,利用勾股定理求得AD,从而可建立方程,求得x的值,可求得∠B,因此可得最大角和最小角的和.【详解】设△ABC的三边AB=5,AC=7,BC=8,过点A作AD⊥BC于点D,如图设BD=x,则CD=8-x在Rt△ADB中,由勾股定理得:;在Rt△ADC中,由勾股定理得:则得方程:解得: 即∵,AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角与最小角的和为120゜故选:D.【点睛】本题考查了勾股定理,解一元一次方程,大角对大边等知识,关键是作最大边上的高,从而为勾股定理的使用创造了条件.3.(2022秋·江苏·八年级专题练习)已知在△ABC中,AB=8,AC=7,BC=3,则∠B=( ).A.45° B.37° C.60° D.90°【答案】C【分析】过点A作 交BC延长线于点D,设CD=x,则BC=3+x,在和中,利用勾股定理求出 ,可求出CD的长,从而得到BD的长,然后利用直角三角形的性质即可求解.【详解】解:如图,过点A作 交BC延长线于点D,∵在△ABC中,AB=8,AC=7,BC=3,可设CD=x,则BC=3+x,在 中, ,在中, ,∴,解得: ,∴BC=3+x=4,∴在中, ,∴ ,∴ .故选 C.【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质,熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键.4.(2021·全国·八年级专题练习)在△ABC中,AB=16,AC=14,BC=6,则△ABC的面积为( )A.24 B.56 C.48 D.112【答案】A【分析】如图,过作于,设,则,根据中,利用勾股定理建立方程,求得,继而用勾股定理求得,从而求得面积.【详解】如图,过作于,设,则,在中解得故选A【点睛】本题考查了勾股定理的应用,添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.5.(2017·湖北武汉·中考真题)已知一个三角形的三边长分别为5,7,8.则其内切圆的半径为( )A. B. C. D.【答案】C【详解】试题解析:如图,AB=7,BC=5,AC=8过A作AD⊥BC于D,设BD=x,则CD=5-x由勾腰定理得:72-x2=82-(5-x)2解得:x=1∴AD=4设ΔABC的内切圆的半径为r,则有:(5r+7r+8r)= ×5×4解得:r=故选C.6.(2019春·湖北武汉·八年级统考期末)已知△ABC的边长分别为5,7,8,则△ABC的面积是( )A.20 B.10 C.10 D.28【答案】C【分析】过A作AD⊥BC于D,根据勾股定理列方程得到BD,然后根据三角形的面积公式即可得到结论.【详解】如图,∵AB=5,AC=7,BC=8,过A作AD⊥BC于D,∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2,∴52-BD2=72-(8-BD)2,解得:BD=,∴AD=,∴△ABC的面积=10,故选C.【点睛】本题考查了勾股定理,三角形的面积的计算,熟练掌握勾股定理是解题的关键.二、填空题7.(2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试)如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长度分别为3,7,8,则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________.【答案】【分析】先过点B作BD⊥AC,用勾股定理求出AD和BD,再用等面积求出IE即可.【详解】解:如图,过点B作BD⊥AC,∵△ABC的三边AB,BC,CA的长度分别为3,7,8,∴设AD=x,则CD=8−x,在△ABD与△CBD中,BD2=AB2−AD2=BC2−CD2,∴32−x2=72−(8−x)2,解得:x=,∴AD=,∴BD=过点I作IE垂直BC于E,∵I为△ABC的内心,∴△ABC的三边AB,BC,CA上的高都等于IE,∵S△ABC=AC•BD= (AC+BC+AB)•IE,∴,∴IE=,∴△ABC的内切圆I的半径为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理、等面积法,过点B作BD⊥AC,用勾股定理求出AD和BD是本题的关键.8.(2019秋·河北·八年级校考阶段练习)若△ABC的三边长分别为5,7,8,△DEF的三边长分别为5,2x,3x-5,若这两个三角形全等,则△DEF的周长为______________,x的值为_______________.【答案】 20 4【分析】有两三角形全等可得出关于x的一元一次方程组,解方程即可得出结论.【详解】∵两个三角形全等,∴ 或 ,解得:无解或x=4.△DEF的周长=5+8+7=20.故答案为20,4.【点睛】此题考查全等三角形的性质,解题关键在于根据题意列出方程.9.(2018·广西柳州·校考一模)已知△ABC的三边长分别为5,7,8,△DEF的三边分别为5,2x,3x﹣5,若两个三角形全等,则x=__.【答案】4【详解】∵两个三角形全等,∴或,解得:无解或x=4.故答案为4.10.(2019秋·上海·九年级校考阶段练习)已知与是相似形,如果三边分别长为5,7,8,的最长边与最短边的差为6,那么的周长是_________.【答案】40【分析】根据相似三角形的对应边成比例,可设设△中最长边为,最短边为,第三边为,再根据“的最长边与最短边的差为6,”列关于的一元一次方程求解,即可求得三角形DEF的周长.【详解】解:因为两个三角形相似,则设△中最长边为,最短边为,第三边为,则,解得:则周长为故答案为:40.【点睛】本题考查了相似三角形的性质:相似三角形的对应线段成比例,周长比等于相似比.11.(2018秋·上海黄浦·九年级格致中学校考阶段练习)已知与相似,若的三边分别为,的最长边与最短边之差为则_________________.【答案】40【分析】根据相似三角形的对应线段成比例可得出△DEF的最长边与最短边的比例关系,进而可求出这两边的长,根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出△DEF的周长.【详解】设△DEF的最长边为x,最短边为y,依题意,则有:,解得:;∴△ABC和△DEF的相似比为5:10=1:2,则周长比也是1:2;∵5+7+8=20,∴240.故答案为:40.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质:相似三角形的对应线段成比例,周长比等于相似比.12.(2021·山西·九年级专题练习)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”,三斜即指三角形的三条边长,可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示,其形式为:设为三角形三边,为面积,则,这是中国古代数学的瑰宝之一.而在文明古国古希腊,也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式,若设(周长的一半),则(1)尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致,请你用以为三边构成的三角形,分别验证它们的面积值;(2)问题探究.经过验证,你发现公式①和②等价吗?若等价,请给出一个一般性推导过程(可以从或者);(3)问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值,很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式:如图,的内切圆半径为,三角形三边长为,仍记,为三角形面积,则.【答案】(1);(2)公式和等价;推导过程见解析;(3)见解析.【分析】分别将5,7,8代入两个公式计算验证即可;求出,把①中根号内的式子可化为:,即可得出结论;连接,,由三角形面积公式即可得出结论.【详解】解:由得:,由得:,;公式和等价;推导过程如下:,,中根号内的式子可化为:,;连接,如图所示:.【点睛】本题考查三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式;熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键.13.(2019春·山东淄博·八年级淄博市临淄区第一中学校考期中)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积.用现代式子表示即为: ①(其中a,b,c为三角形的三边长,S为面积.)而古希腊也有求三角形面积的海伦公式:,② (其中.) 若已知三角形的三边长分别为5,7,8,试分别运用公式①和公式②,计算该三角形的面积S.【答案】;.【分析】直接利用已知公式将相关数据代入得出答案;【详解】 .又.所以 【点睛】考查了三角形面积的海伦公式的用法,也培养了学生的推理和计算能力.
相关试卷
这是一份中考数学二轮培优专题19 378与578模型(2份打包,原卷版+解析版),共11页。
这是一份专题20 蚂蚁爬行模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版),共32页。
这是一份专题19 378与578模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(原卷版),共3页。