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    专题19 378与578模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)

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    专题19 378与578模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)

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    这是一份专题19 378与578模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版),共12页。
    专题19 378578模型模型的概述:边长为378578的三角形。问题一:如图所示,当两个三角形的边长为378578时,求这两个三角形面积。 思路:1)过点CCMAB于点MBM=x AM=3+xRtACMAM2+CM2=AC2    CM2 =AC2 - AM2 RtBCMBM2+CM2=BC2    CM2 =BC2 - BM2 AC2 - AM2 = BC2 - BM2  82 - 3+x2 = 72 - x2    解得x=1  CM = 4  SABC=ABCM = •3•4=62)过点FFNDE于点NDN=x NE=5-xRtDNFDN2+NF2=DF2    NF2 =DF2 - DN2 RtENFNE2+NF2=EF2    NF2 =EF2 - NE2 DF2 - DN2 = EF2 - NE2  72 - x2 = 82 - 5-x2    解得x=1  NF = 4  SDEF=DENF = •5•4=10问题二:如图所示,已知ABC为等边三角形,AC=8AD=3,BD=5,CH为高        ACDBCD面积思路:根据勾股定理/锐角三角函数可求得CH=4      所以SACDADCH = •3•4=6          SBCD=BDCH = •5•4=10总结:1边长为378578的两个三角形可以构成一个边长为8的等边三角形,且该等边三角形的高(CH)即为两个三角形的高。2边长为378578的两个三角形中边长为7所对的角为60°【培优过关练】1.(2023·八年级课时练习)已知在ABC中,AB7AC8BC5,则C=(    ).A45° B37° C60° D90°【答案】C【分析】过点AADBCD,设CDx,则BDBCCD5−x,由勾股定理得725−x282x2,得出CD4,则CDAC,再证CAD30°,即可求解.【详解】解:过点AADBCD,如图所示:CDxBDBCCD5−xRtABD中,由勾股定理得:AD2AB2BD2RtACD中,由勾股定理得:AD2AC2CD2AB2BD2AC2CD2即:725−x282x2解得:x4CD4CDAC∴∠CAD30°∴∠C90°−30°60°故选:C【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识;熟练掌握勾股定理,证出CAD30°是解题的关键.2.(2023·浙江温州·九年级校考期末)边长为578的三角形的最大角和最小角的和是(    ).A90° B150° C135° D120°【答案】D【分析】设ABC的三边AB=5AC=7BC=8,过点AADBC于点D,设BD=x,分别在RtADBRtADC中,利用勾股定理求得AD,从而可建立方程,求得x的值,可求得B,因此可得最大角和最小角的和.【详解】设ABC的三边AB=5AC=7BC=8,过点AADBC于点D,如图BD=x,则CD=8-xRtADB中,由勾股定理得:;在RtADC中,由勾股定理得:则得方程:解得: ADBC∴∠BAD=30∴∠ABD=90-BAD=60∴∠BAC+C=180-ABD=120BC>AC>AB∴∠BAC>ABD>C故最大角与最小角的和为120故选:D【点睛】本题考查了勾股定理,解一元一次方程,大角对大边等知识,关键是作最大边上的高,从而为勾股定理的使用创造了条件.3.(2022·江苏·八年级专题练习)已知在ABC中,AB8AC7BC3,则B=(    ).A45° B37° C60° D90°【答案】C【分析】过点A BC延长线于点D,设CD=x,则BC=3+x,在中,利用勾股定理求出 ,可求出CD的长,从而得到BD的长,然后利用直角三角形的性质即可求解.【详解】解:如图,过点A BC延长线于点DABC中,AB8AC7BC3可设CD=x,则BC=3+x 中, 中, 解得: BC=3+x=4中, 故选 C【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质,熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键.4.(2021·全国·八年级专题练习)在ABC中,AB16AC14BC6,则ABC的面积为(    A24 B56 C48 D112【答案】A【分析】如图,过,设,则,根据,利用勾股定理建立方程,求得,继而用勾股定理求得,从而求得面积.【详解】如图,过,设,则解得故选A【点睛】本题考查了勾股定理的应用,添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.5.(2017·湖北武汉·中考真题)已知一个三角形的三边长分别为578.则其内切圆的半径为(  A B C D【答案】C【详解】试题解析:如图,AB=7BC=5AC=8AADBCDBD=x,则CD5-x由勾腰定理得:72-x2=82-5-x2解得:x=1AD=4ΔABC的内切圆的半径为r,则有:5r+7r+8r= ×5×4解得:r=故选C.6.(2019·湖北武汉·八年级统考期末)已知ABC的边长分别为578,则ABC的面积是(  )A20 B10 C10 D28【答案】C【分析】过AADBCD,根据勾股定理列方程得到BD,然后根据三角形的面积公式即可得到结论.【详解】如图,AB=5AC=7BC=8AADBCDAB2-BD2=AC2-CD2=AD252-BD2=72-8-BD2解得:BD=AD=∴△ABC的面积=10故选C【点睛】本题考查了勾股定理,三角形的面积的计算,熟练掌握勾股定理是解题的关键.二、填空题7.(2023·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试)如图,ABC的三边ABBCCA的长度分别为378,则ABC的内切圆的半径为_________【答案】【分析】先过点BBDAC,用勾股定理求出ADBD,再用等面积求出IE即可.【详解】解:如图,过点BBDAC∵△ABC的三边ABBCCA的长度分别为378ADx,则CD8−xABDCBD中,BD2AB2AD2BC2CD232x2728−x2解得:xADBD过点IIE垂直BCEIABC的内心,∴△ABC的三边ABBCCA上的高都等于IESABCACBD (ACBCAB)•IEIE∴△ABC的内切圆I的半径为故答案为:【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理、等面积法,过点BBDAC,用勾股定理求出ADBD是本题的关键.8.(2019·河北·八年级校考阶段练习)若ABC的三边长分别为578DEF的三边长分别为52x3x5,若这两个三角形全等,则DEF的周长为______________x的值为_______________【答案】     20     4【分析】有两三角形全等可得出关于x的一元一次方程组,解方程即可得出结论.【详解】两个三角形全等, 解得:无解或x=4.DEF的周长=5+8+7=20.故答案为204.【点睛】此题考查全等三角形的性质,解题关键在于根据题意列出方程.9.(2018·广西柳州·校考一模)已知ABC的三边长分别为578DEF的三边分别为52x3x5,若两个三角形全等,则x=__【答案】4【详解】两个三角形全等,解得:无解或x=4.故答案为4.10.(2019·上海·九年级校考阶段练习)已知是相似形,如果三边分别长为578的最长边与最短边的差为6,那么的周长是_________【答案】40【分析】根据相似三角形的对应边成比例,可设设中最长边为,最短边为,第三边为,再根据的最长边与最短边的差为6列关于的一元一次方程求解,即可求得三角形DEF的周长.【详解】解:因为两个三角形相似,则设中最长边为,最短边为,第三边为解得:则周长为故答案为:40【点睛】本题考查了相似三角形的性质:相似三角形的对应线段成比例,周长比等于相似比.11.(2018·上海黄浦·九年级格致中学校考阶段练习)已知相似,若的三边分别为的最长边与最短边之差为_________________【答案】40【分析】根据相似三角形的对应线段成比例可得出DEF的最长边与最短边的比例关系,进而可求出这两边的长,根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出DEF的周长.【详解】设DEF的最长边为x,最短边为y,依题意,则有:解得:∴△ABCDEF的相似比为5:10=1:2,则周长比也是1:25+7+8=20240故答案为:40【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质:相似三角形的对应线段成比例,周长比等于相似比.12.(2021·山西·九年级专题练习)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了三斜求积术,三斜即指三角形的三条边长,可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示,其形式为:设为三角形三边,为面积,则,这是中国古代数学的瑰宝之一.而在文明古国古希腊,也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式,若设(周长的一半),则1)尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致,请你用以为三边构成的三角形,分别验证它们的面积值;2)问题探究.经过验证,你发现公式等价吗?若等价,请给出一个一般性推导过程(可以从或者);3)问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值,很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式:如图,的内切圆半径为,三角形三边长为,仍记为三角形面积,则【答案】(1;(2)公式等价;推导过程见解析;(3)见解析.【分析】分别将5,7,8代入两个公式计算验证即可;求出,把中根号内的式子可化为:,即可得出结论;连接,由三角形面积公式即可得出结论.【详解】解:得:得:公式等价;推导过程如下:中根号内的式子可化为:连接,如图所示:【点睛】本题考查三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式;熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键.13.(2019·山东淄博·八年级淄博市临淄区第一中学校考期中)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了三斜求积术,即已知三角形的三边长,求它的面积.用现代式子表示即为: (其中abc为三角形的三边长,S为面积.)而古希腊也有求三角形面积的海伦公式:  (其中) 若已知三角形的三边长分别为578,试分别运用公式和公式,计算该三角形的面积S.【答案】.【分析】直接利用已知公式将相关数据代入得出答案;【详解】 所以 【点睛】考查了三角形面积的海伦公式的用法,也培养了学生的推理和计算能力.
     

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