专题17 直角三角形翻折模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版）

专题17 直角三角形翻折模型

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5

模型一：沿过点A的直线翻折使得点B的对应点B’落在斜边AC上，

折痕为AD，求线段AD，DC，B’C长度。

解法一（勾股定理思路）：

由已知条件可知，AB=AB’，BD= B’D

∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5

∴∠AB’D=90°，AB’=3，B’C=2

设BD=x，则B’D=x，DC=4-x

在Rt△DB’C中，由勾股定理可得DB’2+ B’C2=DC2 即x2+22=（4-x）2 解得x=1.5

∴B’D=1.5, DC=2.5

同理AD=

解法二（相似三角形思路）：

由已知条件易证△ABC∽△DB’C 则= 则B’D=1.5 再由勾股定理求解线段AD长

【模型变形】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，

AD为∠BAC的角平分线，求DC长

解法（思路）：过点D作DE⊥AC，垂足为点E

            则△ABD≌△AED(AAS)(证明过程略)

            ∴∠ABD=∠AED，BD=DE，AB=AE

            剩余步骤参照模型一解法一

模型二：沿过点C的直线翻折使得点B的对应点B’落在斜边AC上，

折痕为CD，求线段AD，DC，AB’长度。

解法一（勾股定理思路）：

由已知条件可知，BD=B’D，BC=B’C

∵∠ABC=90°，  BC=4，AC=5

∴∠CB’D=90°， B’C=4，AB’ =1

设BD=x，则B’D=x，AD=3-x

在Rt△ADB’中，由勾股定理可得DB’2+ AB’2=AD2 即x2+12=（3-x）2 解得x=

∴B’D=, AD=

在Rt△DCB’中，由勾股定理可Q求得CD长

解法二（相似三角形思路）：

由已知条件易证△ABC∽△AB’D则= 则B’D= 再由勾股定理求解线段CD长

模型三：沿MN翻折使得点A与点C重合，

求线段AN，BM，MN长度。

解法一（勾股定理思路）:

设BM=x，则MC=AM=4-x，

在Rt△ABM中，由勾股定理可得BM2+ AB2=AM2 即x2+32=（4-x）2 解得x=

则MC=

在Rt△MNC中，由勾股定理可得MN==

解法二（相似三角形思路）：

由已知条件易证△ABC∽△MNC则= , = 则MN=, MC= ∴BM=

模型四: 沿斜边中线BE翻折，使得点A落在点F处，连接AF、FC，AF与BE交于点O，

求线段AF，FC的长

解法(思路)：过点E作DE⊥AB，交AB边于点D

           由翻折的性质可知，AE=EF,AF⊥BE

           ∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴S△ABE=S△ABC=3

           ∴S△ABE=AO•BE=3 解得AO=   则AF= 

           ∵∠FEC=2∠EFA, ∠EFC =∠ECF

           在△EFC中根据三角形内角和定理可得 ∠FEC+∠EFC+∠ECF=180°

           ∴∠EFA+∠EFC=90°

           在Rt△AFC中根据勾股定理可知FC==

模型五: 沿斜边中线BE翻折，使得点C落在点D处，连接AD、CD

求线段AD， CD的长

解法(思路)：延长BE，交DC边于点F

           由翻折的性质可知，DE=EC, BF⊥CD

           ∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴S△BEC=S△ABC=3

           ∴S△BEC=FC•BE=3 解得FC=   则DC= 

           ∵∠DEA=2∠EDC, ∠EAD =∠EDA

           在△ADE中根据三角形内角和定理可得 ∠DEA+∠EAD+∠EDA=180°

           ∴∠EDA+∠EDC=90°

           在Rt△ADC中根据勾股定理可知AD==

模型六：线段AC上有一点D，沿直线BD翻折，使点A落在BC边上点E处，

求AD，DC，BD

解法(思路)：过点D作DM⊥BC, DN⊥AB，分别与BC、AB交于点M，点N

            由翻折的性质可知，∠ABD=∠DBC=45°,则DN=DM

            设DN=x 则S△ABC=S△ABD+S△BDC=AB•DN+BC•DM=6 则x=

            ∴BN=BM= 则AN= , MC=

           则AD=，DC= (可根据勾股定理和相似三角形两种方法求解)

           在Rt△BND中根据勾股定理/锐角三角函数可知BD长

模型七：点M和点N分别在AC与BC边上，点C沿MN翻折，使点C落在AB边

中点D处，DC与MN相交于点O，求MN,CM,CD,CN的长度

解法(思路)：由翻折的性质可知，DN=NC，DC⊥MN

            设BN=x，则DN=4-x

在Rt△DBN中由勾股定理可得BD2+ BN2=DN2 则x= 所以NC=

            在Rt△DBC中由勾股定理可得DC= 则DO=OC=

在Rt△NOC中由勾股定理可求得NO，从而求出MN的长

过点D作DH⊥AC，交AC边于点H

∵S△ADC=S△ABC=3  ∴S△ADC=AC•DH=3 解得DH=

            ∴AH= 设MC=y，则AM=5-y,HM=

            在Rt△DHM中由勾股定理求得y值

【过关测试】

1．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，，，则的周长（   ）

A． B． C． D．

2．（2022春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图有一块直角三角形纸片，，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（    ）

A． B．1.5 C． D．3

3．（2020春·陕西铜川·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点D作交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的F处，连接AF，当为直角三角形时，BD的长为（    ）

A．1 B．3 C．1或2 D．1或3

4．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（    ）

A．6 B． C． D．

5．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为BC上的动点（点E不与点C重合），将沿直线EF翻折，使点C落在点P处，结论①：当时，的长为；结论②：点P到AB的距离的最小值是，则关于上述两个结论，下列说法正确的是（    ）

A．①正确，②错误 B．①错误，②正确

C．①和②都正确 D．①和②都错误

6．（2023秋·天津和平·八年级天津市汇文中学校考期末）如图，在中，，，为边上的点，连接．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（    ）

A．2 B．1 C． D．3

7．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为（    ）

A．2 B．4 C． D．

8．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图，在中，点D是边上的中点，连接，把沿若翻折，得到．连接．若，，，则为（    ）

A． B．2 C．3 D．

9．（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（    ）

A．3 B． C． D．

10．（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，将沿翻折，点O落在边上的点D处，则的长为（    ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

11．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，，点D是BC的中点，将沿AD翻折得到，连结BE，则线段BE的长为（　　）

A．2 B． C． D．

12．（2022秋·湖南常德·八年级统考期中）如图，在中，，，点E在边BC上，将沿翻折，点B落在边上的点D处，连结，若．下列结论不正确的是（    ）

A．垂直平分 B．

C．点E是的中点 D．的周长比的周长大5

13．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在上，现将沿翻折，使点落在点处连接，则长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．

14．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则CF的长为（    ）

A． B． C． D．

15．（2021春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）ABC中，，，D、E两点分别在边AB，BC上，将三角形的部分沿直线DE翻折，使点B落到射线BC上的F点，当ADF为直角三角形时，则折痕DE的长为______

16．（2022·河南许昌·统考二模）如图，为等腰直角三角形，，，点为边上一点，且，点为边上一动点（点不与点、重合），连接，将沿翻折得到，当的一边过点时，的长为___________．

17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，点在边上．连接，将沿直线翻折，点落在点处，交边于点．已知，，若为直角三角形，则的面积为______．

18．（2020秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图①，点D为一等腰直角三角形纸片的斜边AB的中点，E是BC边上的一点，将这张纸片沿DE翻折成如图②，使BE与AC边相交于点F，若图①中AB＝2，则图②中△CEF的周长为______________．

19．（2019·八年级单元测试）如图，将一个等腰直角三角形按照图示方式依次翻折，若，则下列说法正确的有________.

①平分；②BC长为；③是等腰三角形；

④的周长等于的长.

20．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，为边上的中线，已知，，．将沿着翻折得到，连接，，则的面积为______．

21．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为________．

22．（2021·浙江湖州·统考一模）如图，已知在直角三角形纸片中，，点D、E分别是边、上的动点，将沿着翻折，使点A的对应点F落在内（包括边上），连结．

（1）如图1，若．

①当时，求的度数；

②当与相似时，求线段的长．

（2）如图2，当时，在点E的运动过程中，若有且只有一个位置使得构成直角三角形，请求出满足条件的的取值范围．

23．（2022春·九年级课时练习）如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．

（1）求证：AM=PN；

（2）当点P是边AB的中点时，求证：；

（3）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请说明理由．

24．（2021·上海·九年级期末）在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP．

（1）求证：PQ⊥AB；

（2）如果点P在线段BC上，当PQD是直角三角形时，求BP的长；

（3）将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于ABC内，请直接写出BP的取值范围．

25．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，求点到边距离的最小值．

26．（2022秋·陕西·九年级期中）如图1，在纸片中，，，，D，E分别是，边上的动点，且，连接，将沿翻折，点B落在点F的位置，连接．

(1)如图2，当点F在边上时，求的长．

(2)如图3，点在运动过程中，当时，求的长．