2022-2023学年广东省广州市海珠区中山大学附中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市海珠区中山大学附中七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列实数中，属于无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  把方程改写成用含的式子表示的形式，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4.  代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  直线，相交于点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在下列选项条件中，能判断的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  小颖家离学校米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是米分钟，在下坡路上的平均速度是米分钟，设小颖上坡用了分钟，下坡用了分钟，根据题意列方程组(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图：直线，直线，是截线，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若满足方程组的与互为相反数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则下列说法正确的是；(    )
；
若，则；
如图中，若，，则；
如图中，若，，则．
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.  的算术平方根是______．

12.  点在轴上，则点的坐标为______ ．

13.  如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则 ______ ．

14.  若、为实数，且满足，则的立方根为______ ．

15.  若是二元一次方程的一个解，则的值为______ ．

16.  如图，，，于，则的度数是          度．

17.  已知关于，的方程组有无数多组解，则代数式的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：；
解方程组：．

19.  本小题分
解方程：

．

20.  本小题分
已知：如图，三角形中，，是边上的点，连接，作且交于点过点作，交于点．
求证：．
下面是证明过程，请在横线上填上适当的推理结论或推理依据．
证明：已知，
______
已知，
______ ______
已知，
______
等量代换．
______ ______ ______
______
又______
等量代换．

21.  本小题分
已知三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，将三角形向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度．
画出平移后的三角形；
点是轴上的动点，当线段最短时，点的坐标是______；
求出三角形的面积．

22.  本小题分
通过对某校营养午餐的检测，得到如下信息：每份营养午餐的总质量；午餐的成分为蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质，其中碳水化合物和矿物质占，矿物质的含量是脂肪含量的倍，蛋白质和碳水化合物含量占．
设其中蛋白质含量是，脂肪含量是，请用含或的代数式分别表示碳水化合物和矿物质的质量．
求每份营养午餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质的质量．

23.  本小题分
已知：，，设，．
求，；
若，求证：．

24.  本小题分
阅读下面文字，解答问题：是无理数，无理数是无限不循环小数，小腾用表示它的小数理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小腾的做法解答：
已知的小数部分为，的小数部分为，则 ______ ， ______ ；
在的条件下，已知，为有理数，且，求，的值；
设无理数为正整数的整数部分为，求的小数部分．

25.  本小题分
如图所示，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点．

直接写出，，之间的关系：______ ．
若，求．
在的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求此时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数；
B.是无理数；
C.是分数，属于有理数；
D.，是整数，属于有理数．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，得：．
故选：．
将看作常数，看作未知数，求出即可．
此题考查了解二元一次方程，将看作常数，看作未知数，即可用一个字母表示另一个字母．
 

3.【答案】 

【解析】解：点在第二象限．
故选B．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

4.【答案】 

【解析】解：代数式在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义则被开方数是非负数，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，注意二次根式有意义则被开方数是非负数．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

由图可得，
，
，
即．
故选：．
画出简图，由对顶角相等可得，从而可求解．
本题主要考查对顶角，解题的关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：、根据不能推出，故本选项不符合题意；
B、根据不能推出，故本选项不符合题意；
C、根据可得出，不符合题意；
D、根据可得出，符合题意．
故选：．
根据平行线的判定逐个判断即可．
本题考查了平行线的判定，能熟练地运用判定定理进行推理是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：小颖跑步去学校共用了分钟，
；
小颖家离学校米，小颖在上坡路上的平均速度是米分钟，在下坡路上的平均速度是米分钟，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据小颖跑步去学校所用时间及小颖家到学校的路程，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
．
，
，．
．


．
故选：．
先利用邻补角求出，再利用平行线的性质求出、，最后求出它们的和．
本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”、“对顶角相等”是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：解方程组得：，
因为与互为相反数，
所以，
所以，
解得：，
故选：．
先求出方程组的解，根据相反数的定义得出，即，再求出方程的解即可．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识点，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：分别过、作，，
，
，
，，
，
即，正确；

，，
，
，
，，
，正确，
与上同理，，
，
，正确，
由题意，不一定正确，
正确，
故选：．
分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答．
本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了算术平方根的定义，注意要首先计算的值．
首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】
解：因为，
所以的算术平方根是．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
，
，
点坐标为，
故答案为：．
根据点在轴上，可得，求出的值，进一步可得点坐标．
本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据绝对值和二次根式的非负性，求得，，从而求出，再求出的立方根即可．
本题考查绝对值和二次根式的非负性及立方根，熟练掌握绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：将代入方程可得，，
原式
；
故答案为：．
先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可．
本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，解题关键是运用整体代入的思想方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据两直线平行，同旁内角互补，即可求出，再根据垂直的定义，求出，然后根据，代入数据计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，垂直的定义的应用，熟记平行线的性质并准确识图是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：关于，的方程组有无数多组解，
，
，，





，
故答案为：．
关于，的方程组有无数多组解，得出，进而求得，，再代入求值即可．
本题考查了二元一次方程组的解和求代数式的值，根据题意求出、的值是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

；
，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】先将算术平方根，立方根，绝对值化简，再进行计算即可；
用加减消元法，求出的值，再将的值代入求出的值即可．
本题主要考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握实数混合运算的运算顺序以及解二元一次方程组的方法和步骤．
 

19.【答案】解：，
，
，
或．
．
，
，
，
． 

【解析】根据平方根、立方根的定义，即可解答．
本题主要考查了求一个数的立方根、平方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方，由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
 

20.【答案】垂直的定义    两直线平行，同位角相等  垂直的定义      内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等  邻补角互补 

【解析】证明：已知，
垂直的定义，
已知，
两直线平行，同位角相等，
已知，
垂直的定义，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
邻补角互补，
等量代换，
故答案为：垂直的定义；；两直线平行，同位角相等；垂直的定义；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；邻补角互补．
由垂直的定义以及平行线的性质，不难得到，再由，可求得，从而有，再结合，即可得证．
本题主要考查三角形的内角和定理以及平行线的判定与性质，结合图形分析清楚角之间的关系是解答的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，三角形即为所求；
如图，点即为所求，点的坐标是；
三角形的面积．

利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
根据垂线段最短，作出图形，可得结论；
利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：由题可知，矿物质的质量为．
碳水化合物的质量为．

，
解得．
蛋白质质量为．
碳水化合物质量为，
脂肪质量为，矿物质质量为． 

【解析】设其中蛋白质含量是脂肪含量是，根据“矿物质的含量是脂肪含量的倍，蛋白质和碳水化合物含量占”解答；
设其中蛋白质含量是脂肪含量是，由题意得等量关系：蛋白质的质量脂肪的质量，蛋白质含量矿物质的质量，列出方程组，再解即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，表示出碳水化合物的质量，矿物质的质量，脂肪的含量，蛋白质的质量，再列方程．
 

23.【答案】解：，都有意义，
，解得：，
，；
证明：由可得：，，
，，则，
，
，
，
，
． 

【解析】根据，都有意义，得出，即可求出和的值；
根据得，则，得出，进而得出，即可求证．
本题主要考查了算术平方根的定义，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握算术平方根的被开方数为非负数；同位角相等，两直线平行；两直线平行内错角相等．
 

24.【答案】   

【解析】解：，即：，
，，
，；
故答案为：；
由题意，得：


，
，，
解得：；
无理数为正整数的整数部分为，
的整数部分为：，
的小数部分为．
先确定的范围，确定和的整数部分，再用原数减去整数部分，即为小数部分；
将，的值代入，进行求解即可；
根据无理数为正整数的整数部分为，得到的整数部分为：，再利用原数减去整数部分即为小数部分．
本题考查求无理数的整数部分和小数部分．理解并掌握无理数的估算方法，是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：，
，
是的外角，
，
，
故答案为：；
，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，延长交边于，如图，

，
，
，
，
，
当绕点旋转时，，
秒；
当时，如图，

，，
，
当绕点旋转时，，
秒；
当时，即与在同一直线上时，

，
当绕点旋转时，，
秒；
当时，

，
，
当旋转时，，
秒
当时，

，，
，
当旋转时，，
秒，
综上所述，当的其中一边与的某一边平行时，的值为，，，，．
根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；
根据，分别表示出、、，再由，可得的度数，从而可得、的度数，再由即可求解；
结合，分以下几种情况求解：当时，延长交边于，当时，当时，即与在同一直线上时，当时，当时．
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键．