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所属成套资源：2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（浙江专用）
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必刷卷03——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（浙江宁波专用）
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这是一份必刷卷03——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（浙江宁波专用），文件包含必刷卷032023年中考数学考前30天冲刺必刷卷浙江宁波专用解析版docx、必刷卷032023年中考数学考前30天冲刺必刷卷浙江宁波专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
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2023年中考数学考前信息必刷卷03
数 学（浙江宁波专用）
2023年宁波中考数学结构和分值没有变化，满分150分，题型仍然是10（选择题）+6（填空题）+8（解答题），但考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学
课改的要求，课程内容的学习，不会单纯考查学生死记硬背的机械记忆力，重视学生的数学活动，发展学生的情感、符号感、空间观念、统计观念以及推理能力。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，探究规律，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，直线型的相关性质，仍将是考试的重点。对于函数侧重考查一次函数、反比例函数的性质以及函数的应用、函数与方程不等式之间的联系，二次函数的综合问题常以解答的形式出现；对三角形的全等、相似的证明，特殊四边形的判定及性质的应用，也将以解答题的形式出现。此外，统计与概率也是必考内容。对圆的知识考查，尤其是切线的判定，强化数学意识的转化和应用能力。
通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度..同时应加强学生的画图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 对于选择题1-5题考查的是科学记数法、幂的运算及整式的运算，二次根式有意义的条件，倒数，加权平均数；第6题是一元一次不等式的应用。第7题是三视图，第8题是一次函数的图象与坐标轴的面积。第9题是圆中阴影部分面积的计算，第10题是四边形综合问题；对于填空题第11-13题考查的是因式分解、实数的性质、概率公式，第14题考查的是反比例函数的图象，第15题考查的是圆的切线的存在性问题，第16题考查的是正方形与旋转的最值问题；对于解答题，第17题考查分式的加减、二元一次方程组的解，第18题考察的是基本作图与命题，第19题
考查解直角三角形的应用，第20题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，第21题考查待定系数法求二次函数、以及二次函数的性质，第22题考查了反比例函数的实际应用，第23题
考查了正方形的性质，全等三角形的判定的性质，相似三角形的判定和性质；第24题是圆的综合问题，
考查了圆周角定理，圆的有关性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近1100万人，将数据1100万用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×108 B．1.1×107 C．1.1×108 D．11×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：1100万＝1100 0000＝1.1×107，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a6÷a3＝a3
【分析】根据同底数幂乘法、除法法则，合并同类项法则求解即可．
【详解】解：A． a2+a2＝2a2，故A不符合题意；
B． a3﹣a2＝a2（a﹣1），故B不符合题意；
C． a3•a2＝a5，故C不符合题意；
D． a6÷a3＝a3．故D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了同底数幂乘法、除法法则，合并同类项法则，熟记这些法则是解题的关键．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，x≥0，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
4．与互为倒数的是（ ）
A． B．3×4 C． D．﹣3×4
【分析】先根据有理数减法的法则计算＝﹣，再求倒数即可．
【详解】解：＝，
∴与互为倒数的是﹣12．
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数以及有理数的减法和乘法运算法则，熟记概念和相关运算法则是解题的关键，倒数：乘积是1的两数互为倒数．
5．某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、94分、92分，综合成绩中笔试占30%，试讲占50%，面试占20%，则该名志愿者的综合成绩为（ ）
A．92分 B．92.4分 C．90分 D．94分
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】解：该名志愿者的综合成绩为90×30%+94×50%+92×20%＝92.4（分），
故选：B．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
6．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90 B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90 D．10x﹣（19﹣x）＞90
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：﹣5（19﹣x），不等关系：小聪得分超过90分．
【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x﹣5（19﹣x）＞90．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
7．把7个同样大小的正方体形状的积木堆放在桌子上，从前、后、左、右四个方向看，所看到的都是如图所示的同样的图形，则其从上面看到的形状图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由从前、后、左、右四个方向看可得俯视图有三行三列，依此找到不符合的从上面看到的形状图即可求解．
【详解】解：由从前、后、左、右四个方向看，所看到的都是如图：所示的同样的图形，
可知从上面看到的形状图有三行三列，且左视图最左边有两个罗列．
只有选项C不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了从不同的方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力．
8．在同一个平面直角坐标系中一次函数y＝x+b图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，若原点为O点，连接过OA、OB、AB．若△AOB面积为4，则b的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．±1 D．±2
【分析】设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2）．x1和x2是方程x2+bx﹣3＝0的两个解．由韦达定理可得x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣3，|x1﹣x2|＝＝．由一次函数得出点C的坐标，利用三角形的面积公式可求出b的值．
【详解】解：设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2）．
令x+b＝，得x2+bx﹣3＝0，
则x1和x2是方程x2+bx﹣3＝0的两个解，
∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣3，
∴|x1﹣x2|＝＝．
∵y＝x+b与y轴交于点C，
∴C（0，b），
∴OC＝|b|．
∵△AOB面积为4，
∴|b|•|x1﹣x2|＝4，即|b|•＝4，
解得b2＝4或b2＝﹣16（舍去），
∴b＝±2．
故选：D．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
9．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BC，OC，OC交BD于W，根据对称求出BC＝OB，求出△COB是等边三角形，求出∠COB＝60°，根据弧长公式求出OB＝3，求出∠AOC＝30°，求出DW，再求出答案即可．
【详解】解：连接BC，OC，OC交BD于W，
∵点C，O关于直线BD对称，
∴∠DWO＝90°，OW＝CW，BC＝OB，
∵OC＝OB，
∴OC＝BC＝OB，
即△OCB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵的长为π，
∴＝π，
解得：OB＝3，
即OC＝OB＝3，
∴OW＝CW＝1.5，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝30°，
∴OD＝2DW，
由勾股定理得：OD2＝DW2+OW2，
即（2DW）2＝DW2+1.52，
解得：DW＝（负数舍去），
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOC﹣S△DOC＝﹣＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，扇形面积的计算，弧长公式的计算，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
10．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N．下列结论：
①DE＝CN；
②；
③S△DEC＝3S△BNH；
④∠BGN＝45°；
⑤．
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据题目已知△NBC≌△ECD，可以判断①正确；
②证明△NBH∽△CDH可以判断②正确；
③过点H作AD的平行线，根据线段比例关系，得出面积比可以判断③正确；
④过点B作两条垂线，利用三角形全等可以判断④正确；
⑤连接NE，结合勾股定理和相似可以求出BG、BF的长，判断⑤正确．
【详解】解：①在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，
∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，
∵CG⊥DE，
∴∠CDG+∠GCD＝90°，
∴∠BCN＝∠CDG，
∴△NBC≌△ECD（ASA），
∴DE＝CN，
故①正确；
②在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴△NBH∽△CDH，
∴，
∵△NBC≌△ECD（ASA），E为BC的中点，四边形ABCD是正方形，
∴NB＝BC＝CD，
∴＝，
∴＝，
故②正确；
③如下图所示，过H点作IJ∥AD，
∵△NBH∽△CDH，
∴IJ＝HJ，
∴HI＝IJ＝DC，
∴S△DEC＝EC•DC，S△BNH＝BN•HI＝EC×DC＝×（×EC•DC），
∴S△DEC＝3 S△BNH，
故③正确；
④过点B作BP⊥CN于点P，BQ⊥DG交DE的延长线上于点Q，
∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NBP＝∠QBE，
由①得△NBC≌△ECD，
∴EC＝BN，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∴BE＝BN，
∵∠BPN＝∠BQE＝90°，
∴△BPN≌△BQE（AAS），
∴BP＝BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE＝45°，
故④正确；
⑤如图所示，连接NE，
设BN＝x，则BE＝EC＝x，BC＝2x，
∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，
∴CN＝＝＝x，
EN＝＝＝x，
由△ECN面积可得CN•GE＝EC•BN，
∴GE＝x，
∴GN＝＝x，
∴GN+GE＝x+x＝x，
∴GC＝CN﹣GN＝xx＝x，
∵AB∥CD，
∴△NGB∽△CGF，
∴＝，
∴BG＝FG，
∴BG＝BF，FC＝BN＝x，
∴BG＝×x＝x，
∴GN+GE＝BG，
故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，学生要有较强的综合知识，解决复杂问题的能力．
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
11．因式分解：n3﹣25n＝ n（n+5）（n﹣5） ．
【分析】先提取公因式n，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】解：n3﹣25n＝n（n2﹣52）＝n（n+5）（n﹣5）．
故答案为：n（n+5）（n﹣5）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法因式分解．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．＝ 3 ，﹣＝ ．
【分析】依据算术平方根、立方根的定义求解即可．
【详解】解：＝＝3．
﹣＝﹣（﹣）＝．
故答案为：3；．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
13．在一个不透明的布袋中装有18个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为 9 ．
【分析】设黑球的个数为x个，根据概率公式列出方程，求出x的值即可得出答案．
【详解】解：设黑球的个数为x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝9，
经检验x＝9是方程的解，
答：黑球的个数为9；
故答案为9．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．如图，点A、B分别是双曲线和第一象限分支上的点，且AB∥y轴，BC⊥y轴于点C，则AB•BC的值是 3 ．
【分析】延长AB交x轴于点D，过点A作AE⊥y轴于点E，利用k的几何意义，求得矩形ADOE的面积为4，矩形BDOC的面积为1，即可求得矩形ABCE的面积为3，据此求解即可．
【详解】解：延长AB交x轴于点D，过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AB∥y轴，BC⊥y轴，
∴四边形ADOE、ABCE、BDOC都是矩形，
∵点A、B分别是双曲线和第一象限分支上的点，
∴矩形ADOE的面积为4，矩形BDOC的面积为1，
∴矩形ABCE的面积为4﹣1＝3，
∴AB•BC＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义．根据面积关系得出AB•BC的值是解决问题的关键．
15．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC为8，以顶点D为圆心，2为半径画圆，点P在对角线上运动，当射线BP与圆D相切时，AP的长是 4﹣或4+ ．
【分析】连接BD交AC于点H，当射线BP与⊙D相切于点E时，连接DE，分两种情况，当射线BP与⊙D相切于点E，当射线BP与⊙D相切于点F时，然后利用菱形的性质，以及相似三角形的判定与性质进行计算即可解答．
【详解】解：连接BD交AC于点H，当射线BP与⊙D相切于点E时，连接DE，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝5，AC⊥BD，AH＝AC＝4，BD＝2BH，
在Rt△ABH中，BH＝＝＝3，
∴BD＝2BH＝6，
∵射线BP与⊙D相切于点E，
∴∠DEB＝90°，
∴BE＝＝＝4，
∵∠DEB＝∠BHP＝90°，∠PBH＝∠DBE，
∴△BHP∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∴PH＝，
∴AP＝AH﹣PH＝4﹣，
当射线BP与⊙D相切于点F时，如图：
同理可得：PH＝，
∴AP＝AH+PH＝4+，
综上所述，当射线BP与圆D相切时，AP的长是4﹣或4+，
故答案为：4﹣或4+．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，分两种情况进行计算即可解答．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，正方形CEFG的边长为，将正方形CEFG绕点C旋转，BG和DE相交于点K，则AK的最大值是 4 ，连结BE，当点C正好是△BKE的内心时，CK的长是 ．
【分析】证明∠DKB＝90°，从而确定点K在以BD为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到BE的距离，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
连接AC，BD，CF和EG，AC，BD交于点O，DC，BG交于点M，作CQ⊥BE于Q，作CR⊥BK于R，
∵四边形ABCD和四边形EFGC是正方形，
∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∠ECF＝45°，AC＝，EN＝CN＝，
∴∠BCD+∠DCG＝∠ECG+∠DCG，
∴∠BCG＝∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠BGC＝∠CDE，
∵∠BMC＝∠DMK，
∴∠BKD＝∠BCD＝90°，
∴点K在以BD为直径的圆O上运动，
∴当AK为圆O直径时，AK最大，此时点K于点C重合，
∴AK最大＝AC＝＝4，
当点C为△BEK的内心时，
BC，CE，CK分别平分∠KBE，∠BEK和∠BKE，
∴CR＝CQ，
∵∠BKE＝90°，
∴∠BKC＝，＝，
∴∠ECF＝∠CBE+∠BEC，
∴点B、C、F共线，
∴BN＝BC+CN＝4+2＝6，
∴BE＝＝＝2，
∵sin∠NBE＝，
∴，
∴CR＝CQ＝，
∴CK＝＝＝，
故答案为：4，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先因式分解、再通分、最后化简即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝；
（2），
②×3得，3x+9y＝6③，
③﹣①得，y＝，
将y＝代入②得，x＝﹣，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查分式的加减、二元一次方程组的解，熟练掌握分式的化简方法，掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18．如图1是由边长为1的正方形构成的6×5的网格图，四边形ABCD的顶点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的对角线AC的长；
（2）命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图2中画一个顶点都是格点的四边形说明；如果是真命题，请进行证明．
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，画出图形即可．
【详解】解：（1）由题意可知，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∴AC的长为5；
（2）对角线相等的四边形不一定是矩形，故命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是假命题，如图：
在四边形ABCD中，AC＝BD，但四边形ABCD为等腰梯形．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握绝对值的意义、对顶角的性质、余角的性质等知识是解题的关键．
19．如图（1）是一种迷你型可收缩式乐谱支架，图（2）是其侧面示意图，其中AB＝BC＝CD＝24cm，DB⊥BA，Q是CD的中点，P是眼睛所在的位置，PM⊥BA于点M，AM＝12cm，当PQ⊥CD时，P为最佳视力点．
（1）若∠ABC＝α，则∠DCB＝ 2α ；
（2）当∠ABC＝37°且PM＝53cm时，请通过计算说明点P是不是最佳视力点．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan53°≈）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可求出答案；
（2）通过作平行线，由（1）可求出∠C，再根据锐角三角函数的定义求出∠PQF即可．
【详解】解：（1）∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AB，即∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠ABC
＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB
＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）
＝2α，
故答案为：2α；
（2）如图，过点Q作EF∥AB，交PM、BD分别于F、E，则EF⊥BD，EF⊥PM，
∵∠ABC＝37°，
∴∠CBD＝∠CDB＝90°﹣37°＝53°，
∴∠DQE＝∠CQF＝90°﹣53°＝37°，
在Rt△DEQ中，DQ＝CD＝12，∠EDQ＝53°，
∴EQ＝DQ•sinD
≈12×
＝9.6，
DE＝DQ•cosD
≈12×
＝7.2，
∴QF＝24+12﹣9.6＝26.4，
过点C作CH⊥BD于H，则BH＝DH，
∵Q是CD的中点，QD∥CH，
∴DE＝EH，
∴BE＝3DE＝21.6＝FM，
∴PF＝53﹣21.6＝31.4，
∴tan∠PQF＝＝≈1.19≠，
∴∠PQF≠53°，
∴∠PQC＝∠PQF+∠CQF≠90°，
即PQ与CD不垂直，
∴不是最佳视力点．
【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
20．某校为进一步提高教职工的身体素质，提倡“每天一万步”活动，校工会随机抽取20名教职工一天行走的步数，对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
组别
步数分组
频数
频率
A
5500≤x＜6500
2
0.1
B
6500≤x＜7500
10
0.5
C
7500≤x＜8500
a
m
D
8500≤x＜9500
3
0.15
E
9500≤x＜10500
b
0.15
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ 2 ，b＝ 3 ，m＝ 0.1 ，并补全频数分布直方图；
（2）这20名教职工一天行走步数的中位数落在 B 组；
（3）若该校教职工共有320人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数．
【分析】（1）由A组频数及频率得出样本容量，再用样本容量乘以E组频率得出其频数b，根据频数之和等于总人数得出a的值，继而可得m的值；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）总人数乘以样本中C、D、E组频率之和即可得出答案．
【详解】解：（1）样本容量为2÷0.1＝20，
∴b＝20×0.15＝3，
则a＝20﹣（2+10+3+3）＝2，
∴m＝2÷20＝0.1，
补全图形如下：
故答案为：2、3、0.1；
（2）这20名教职工一天行走步数的中位数是第10、11个数据的平均数，而这两个数据均落在B组，
所以这20名教职工一天行走步数的中位数落在B组，
故答案为：B．
（3）估计其中一天行走步数不少于7500步的有320×（0.1+0.15+0.15）＝128（人）．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象经过点A（﹣3，0）、B（0，3）、C（﹣2，m）三点．
（1）若点A为该函数图象的顶点，求m的值；
（2）若该函数图象关于直线x＝n对称，当﹣3＜n＜﹣2时，m的取值范围为 ；
（3）该函数图象所经过的象限随着m值的变化而变化，写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围．
【分析】（1）设抛物线为顶点式y＝a（x+3）2，将B（0，3）代入，即可求解．
（2）先找到a、b的关系式，利用对称轴的范围即可求解．
（3）分类讨论，开口向上和向下两种情况．结合图象其中开口向上还要在分类讨论．
【详解】解：（1）根据题意，顶点（﹣3，0）．
∴设抛物线为：y＝a（x+3）2．
将B（0，3）代入，得：3＝a（0+3）2．
∴a＝．
∴y＝（x+3）2．
当x＝﹣2时，y＝．
∴m＝．
（2）将A（﹣3，0）、B（0，3）代入抛物线得：．
∴b＝3a+1．
当x＝﹣2时，m＝4a﹣2b+c＝4a﹣2（3a+1）+3＝﹣2a+1．
抛物线的对称轴为：，则n＝．
∴．
解得：．
∵m＝﹣2a+1．
∴．
故答案为：．
（3）由（2）知：b＝3a+1，对称轴x＝．
∵二次函数中a≠0．
∴m＝﹣2a+1≠1
当二次函数开口向下，即：a＜0，函数图象过一、二、三、四象限，则m＝﹣2a+1＞1，即m＞1．
当二次函数开口向上，即：a＞0，此时m＝﹣2a+1＜1，分两种情况：
①二次函数与x轴只有一个交点，即对称轴为x＝﹣3，图象经过一、二象限．
此时a＝，m＝﹣2a+1＝．
②二次函数与x轴两个交点，即：，图象经过一、二、三象限，此时m＝﹣2a+1．
综上：当m＞1时，图象经过一、二、三、四象限；
当，图象经过一、二、三象限；
当m＝时，图象经过一、二象限．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数、以及二次函数的性质、图象特征．关键在于掌握好各个知识点，加一灵活运用．
22．如图是一次药物临床试验中受试者服药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与用药的时间x（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段OA和部分双曲线AB：y＝组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段BC和部分曲线CD：y＝+m组成，其中OA与BC平行，血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效．
（1）分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度；
（2）受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗？
（3）若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药？
【分析】（1）先待定系数法求出AB段和OA段的解析式，然后根据OA与BC平行，可确定BC段的解析式，然后求解即可；
（2）分别求出OA段和AB段y＝5时的x的值，进一步比较即可确定；
（3）先求出CD段解析式，然后令y＝4求出x的值，进一步求解即可．
【详解】解：（1）将点A（6，8）代入y＝，
得k＝6×8＝48，
∴y＝，
当x＝16时，y＝3，
∴B（16，3），
设OA的解析式：y＝ax，
代入A（6，8），
得6a＝8，
解得a＝，
∴OA的解析式：y＝x，
∵OA与BC平行，
设BC的解析式：y＝x+b，
代入B（16，3），
得，
解得b＝，
∴BC的解析式：y＝x，
当x＝22时，y＝11，
∴C（22，11），
∴第16小时血液中的药物浓度为3微克/毫升，第22小时血液中的药物浓度为11微克/毫升；
（2）当y＝x＝5，解得x＝，
当y＝＝5，解得x＝，
∵﹣＝＜6，
∴有疗效的持续时间未达到6小时；
（3）将点C（22，11）代入y＝+m，
得8+m＝11，
解得m＝3，
∴CD段函数解析式：，
当y＝4时，x＝64，
∴64﹣16＝48（小时），
∴受试者第二次服药后至少经过48小时可进行第三次服药．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意并求出各段的函数解析式是解题的关键．
23．如图，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的一个动点，连结DE与对角线AC交于点F，过点A作AG∥DE，并且DG⊥AG．
（1）如图1，若AB＝4，cos∠DAG＝，求DF；
（2）如图2，若延长AG与CD交于点H，并延长AD至点M，连结MF，使得HD＝AM，求证：MF+DF＝AH；
（3）如图3，连结AE，此时将△ADF的面积记为S1，△AFE和△AEB的面积分别记为S2和S3，若S2+S3＝kS1（k为常数），求k的最大值．
【分析】（1）在直角三角形ADG中，求出∠ADG（∠CDE）的正切值，进而解斜三角形CDF；
（2）作HN∥AC交FD的延长线于N，证明△DNH≌△MFA；
（3）设AB＝BC＝CD＝AD＝a，CE＝x，表示出三角形CEF的面积，从而表示出S1+S2+S3和S1，从而表示出k的函数关系式，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
作FH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝4，
∵∠DAC＝90°，
∵∠DCF＝45°，
∵DE∥AG，AG⊥DG，
∴DE⊥DG，
∴∠EDG＝90°，
∴∠EDG＝∠ADC，
∴∠EDG﹣∠ADE＝∠ADC﹣∠ADE，
∴∠ADG＝∠CDF，
∵cos∠DAG＝，
∴设AG＝3x，AD＝5x，
∴DG＝4x，
∴tan∠ADG＝，
∴tan∠CDF＝，
设FH＝3k，DH＝4k，则DF＝5k，
∵tan∠DCF＝，
∴tan45°＝，
∴CH＝3k，
由CH+DH＝CD得，
∴3k+4k＝4，
∴k＝，
∴DF＝5×＝；
（2）证明：如图2，
作HN∥AC交FD的延长线于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∵AG∥DB，
∴四边形AHNF是平行四边形，∠NHD＝∠ACD＝45°，
∴HN＝AF，NF＝AH，∠NHD＝∠DAC，
在△DNH和△MFA中，
，
∴△DNH≌△MFA（SAS），
∴DN＝MF，
∴AH＝NF＝DN+DF＝MF+DF，
即：MF+DF＝AH；
（3）如图3，
作FT⊥CD于T，作FR⊥BC，
设AB＝BC＝CD＝AD＝a，CE＝x，
∴S1+S2+S3＝S正方形ABCD﹣S△CDE＝a2﹣，
∵AC平分∠BCD，
∴FT＝FR，
∴＝，
∴S△CEF＝•S△CDE＝，
∵BC∥AD，
∴△CEF∽△ADF，
∴＝（）2，
∴＝，
∴S1＝，
∴S1+S2＝a2﹣﹣
∴k＝＝＝﹣1＝﹣1，
∴当x＝时，k最大＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24．如图1，△ABC中，BC边上的中线AM＝AC，延长AM交△ABC的外接圆于点D，过点D作DE∥BC交圆于点E，延长ED交AB的延长线于点F，连接CE．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝4，求MD和DF的长；
（2）①求证：BC＝2CE；
②设tan∠ACB＝x，＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）如图2，作NC⊥AC交线段AD于N，连接EN，当△ABC的面积是△CEN面积的6倍时，求tan∠ACB的值．
【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质，和直角三角形的判定与性质以及圆周角定理得到点M为圆心，则结论可求；
（2）①连接BD，利用平行弦所夹的弧相等，圆周角定理，等腰三角形的性质解答即可；
②过点A作AH⊥CM于点H，通过证明△AMC∽△BMD和平行线分线段成比例定理得到y＝＝＝＝，设CM＝2a，则BM＝CM＝2a，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，代入即可得出结论；
（3）连接ME，设ME与CN交于点K，在（2）的基础上，通过证明△BDM≌△CEM和△CMN≌△CEN，利用等高的三角形的面积比等于底的比，得出AM＝3DN，利用平行线分线段成比例定理可以求得＝，则得到y＝，IE关于x的方程即可求得结论．
【详解】（1）解：∵AM＝AC，∠ACB＝60°，
∴△AMC为等边三角形，
∴AM＝AC＝MC．
∵M是BC的中点，
∴CM＝BM＝BC＝2．
∴AM＝AC＝CM＝2，
∴AM＝BC，
∵BM＝MC，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
∴点M为圆心，即AD为直径，
∴DM＝AM＝2；
∵DE∥BC，M为AD在中点，
∴BM为△AFD的中位线，
∴FD＝2BM＝4；
（2）①证明：连接BD，如图，
∵DE∥BC，
∴，
∴BD＝EC．
∵AM＝AC，
∴∠ACM＝∠AMC，
∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，
∴∠BDM＝∠BMD，
∴BD＝BM，
∴BM＝CE，
∵BC＝2BM，
∴BC＝2EC；
②解：过点A作AH⊥CM于点H，如图，
∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，
∴△AMC∽△BMD，
∴，
∵DE∥BC，
∴．
∵CM＝MB，
∴y＝＝＝＝，
设CM＝2a，则BM＝CM＝2a，
∵AM＝AC，AH⊥CM，
∴CH＝MH＝a，
∵tan∠ACB＝x＝，
∴AH＝ax，
∴AM＝AC＝＝＝a
∴＝，
∴y＝＝，
∴y关于x的函数表达式为：y＝；
（3）连接ME，设ME与CN交于点K，如图，
∵DE∥BC，
∴，
∴，BD＝EC，
∴∠CBD＝∠BCE，
在△BDM和△CEM中，
，
∴△BDM≌△CEM（SAS）．
∴DM＝CE．
∵NC⊥AC，
∴∠MCN＝90°﹣∠ACM，
∵AH⊥CM，
∴∠ACM＝90°﹣∠CAH＝90°﹣∠CAM，
∴∠MCN＝∠CAM，
∵∠CAM＝∠CBD，∠CBD＝∠BCD，
∴∠MCN＝∠MCE，
即：∠MCN＝∠ECN，
由（2）知：CM＝BM＝BD，
∵CE＝BD，
∴CM＝CE，
在△CMN和△CEN中，
，
∴△CMN≌△CEN（SAS）．
∴MN＝NE．
∵CM＝CE，
∴CN是ME的垂直平分线，
∴ME⊥CN，MK＝KE，
∵NC⊥AC，
∴ME∥AC．
∴，
∵△ABC的面积是△CEN面积的6倍，S△ABM＝S△ACM，
∴△ACM的面积是△CEN的3倍，
∵S△CEN＝S△CMN，
∴△ACM的面积是△CMN的3倍，
∴AM＝3MN，
∴，
∴＝，
∴＝，
∵ME＝MD，AC＝AM，
∴，
∴y＝，
∴，
解得：x＝，
∴tan∠ACB＝x＝．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的有关性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线，熟练掌握圆的有关性质恰当的添加辅助线是解题的关键．
绝密★启用前
2023年中考数学考前信息必刷卷03
数 学（浙江宁波专用）
2023年宁波中考数学结构和分值没有变化，满分150分，题型仍然是10（选择题）+6（填空题）+8（解答题），但考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学
课改的要求，课程内容的学习，不会单纯考查学生死记硬背的机械记忆力，重视学生的数学活动，发展学生的情感、符号感、空间观念、统计观念以及推理能力。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，探究规律，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，直线型的相关性质，仍将是考试的重点。对于函数侧重考查一次函数、反比例函数的性质以及函数的应用、函数与方程不等式之间的联系，二次函数的综合问题常以解答的形式出现；对三角形的全等、相似的证明，特殊四边形的判定及性质的应用，也将以解答题的形式出现。此外，统计与概率也是必考内容。对圆的知识考查，尤其是切线的判定，强化数学意识的转化和应用能力。
通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度..同时应加强学生的画图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 对于选择题1-5题考查的是科学记数法、幂的运算及整式的运算，二次根式有意义的条件，倒数，加权平均数；第6题是一元一次不等式的应用。第7题是三视图，第8题是一次函数的图象与坐标轴的面积。第9题是圆中阴影部分面积的计算，第10题是四边形综合问题；对于填空题第11-13题考查的是因式分解、实数的性质、概率公式，第14题考查的是反比例函数的图象，第15题考查的是圆的切线的存在性问题，第16题考查的是正方形与旋转的最值问题；对于解答题，第17题考查分式的加减、二元一次方程组的解，第18题考察的是基本作图与命题，第19题
考查解直角三角形的应用，第20题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，第21题考查待定系数法求二次函数、以及二次函数的性质，第22题考查了反比例函数的实际应用，第23题
考查了正方形的性质，全等三角形的判定的性质，相似三角形的判定和性质；第24题是圆的综合问题，
考查了圆周角定理，圆的有关性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近1100万人，将数据1100万用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×108 B．1.1×107 C．1.1×108 D．11×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：1100万＝1100 0000＝1.1×107，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a6÷a3＝a3
【分析】根据同底数幂乘法、除法法则，合并同类项法则求解即可．
【详解】解：A． a2+a2＝2a2，故A不符合题意；
B． a3﹣a2＝a2（a﹣1），故B不符合题意；
C． a3•a2＝a5，故C不符合题意；
D． a6÷a3＝a3．故D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了同底数幂乘法、除法法则，合并同类项法则，熟记这些法则是解题的关键．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，x≥0，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
4．与互为倒数的是（ ）
A． B．3×4 C． D．﹣3×4
【分析】先根据有理数减法的法则计算＝﹣，再求倒数即可．
【详解】解：＝，
∴与互为倒数的是﹣12．
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数以及有理数的减法和乘法运算法则，熟记概念和相关运算法则是解题的关键，倒数：乘积是1的两数互为倒数．
5．某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、94分、92分，综合成绩中笔试占30%，试讲占50%，面试占20%，则该名志愿者的综合成绩为（ ）
A．92分 B．92.4分 C．90分 D．94分
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】解：该名志愿者的综合成绩为90×30%+94×50%+92×20%＝92.4（分），
故选：B．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
6．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90 B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90 D．10x﹣（19﹣x）＞90
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：﹣5（19﹣x），不等关系：小聪得分超过90分．
【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x﹣5（19﹣x）＞90．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
7．把7个同样大小的正方体形状的积木堆放在桌子上，从前、后、左、右四个方向看，所看到的都是如图所示的同样的图形，则其从上面看到的形状图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由从前、后、左、右四个方向看可得俯视图有三行三列，依此找到不符合的从上面看到的形状图即可求解．
【详解】解：由从前、后、左、右四个方向看，所看到的都是如图：所示的同样的图形，
可知从上面看到的形状图有三行三列，且左视图最左边有两个罗列．
只有选项C不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了从不同的方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力．
8．在同一个平面直角坐标系中一次函数y＝x+b图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，若原点为O点，连接过OA、OB、AB．若△AOB面积为4，则b的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．±1 D．±2
【分析】设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2）．x1和x2是方程x2+bx﹣3＝0的两个解．由韦达定理可得x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣3，|x1﹣x2|＝＝．由一次函数得出点C的坐标，利用三角形的面积公式可求出b的值．
【详解】解：设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2）．
令x+b＝，得x2+bx﹣3＝0，
则x1和x2是方程x2+bx﹣3＝0的两个解，
∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣3，
∴|x1﹣x2|＝＝．
∵y＝x+b与y轴交于点C，
∴C（0，b），
∴OC＝|b|．
∵△AOB面积为4，
∴|b|•|x1﹣x2|＝4，即|b|•＝4，
解得b2＝4或b2＝﹣16（舍去），
∴b＝±2．
故选：D．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
9．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BC，OC，OC交BD于W，根据对称求出BC＝OB，求出△COB是等边三角形，求出∠COB＝60°，根据弧长公式求出OB＝3，求出∠AOC＝30°，求出DW，再求出答案即可．
【详解】解：连接BC，OC，OC交BD于W，
∵点C，O关于直线BD对称，
∴∠DWO＝90°，OW＝CW，BC＝OB，
∵OC＝OB，
∴OC＝BC＝OB，
即△OCB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵的长为π，
∴＝π，
解得：OB＝3，
即OC＝OB＝3，
∴OW＝CW＝1.5，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝30°，
∴OD＝2DW，
由勾股定理得：OD2＝DW2+OW2，
即（2DW）2＝DW2+1.52，
解得：DW＝（负数舍去），
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOC﹣S△DOC＝﹣＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，扇形面积的计算，弧长公式的计算，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
10．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N．下列结论：
①DE＝CN；
②；
③S△DEC＝3S△BNH；
④∠BGN＝45°；
⑤．
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据题目已知△NBC≌△ECD，可以判断①正确；
②证明△NBH∽△CDH可以判断②正确；
③过点H作AD的平行线，根据线段比例关系，得出面积比可以判断③正确；
④过点B作两条垂线，利用三角形全等可以判断④正确；
⑤连接NE，结合勾股定理和相似可以求出BG、BF的长，判断⑤正确．
【详解】解：①在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，
∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，
∵CG⊥DE，
∴∠CDG+∠GCD＝90°，
∴∠BCN＝∠CDG，
∴△NBC≌△ECD（ASA），
∴DE＝CN，
故①正确；
②在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴△NBH∽△CDH，
∴，
∵△NBC≌△ECD（ASA），E为BC的中点，四边形ABCD是正方形，
∴NB＝BC＝CD，
∴＝，
∴＝，
故②正确；
③如下图所示，过H点作IJ∥AD，
∵△NBH∽△CDH，
∴IJ＝HJ，
∴HI＝IJ＝DC，
∴S△DEC＝EC•DC，S△BNH＝BN•HI＝EC×DC＝×（×EC•DC），
∴S△DEC＝3 S△BNH，
故③正确；
④过点B作BP⊥CN于点P，BQ⊥DG交DE的延长线上于点Q，
∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NBP＝∠QBE，
由①得△NBC≌△ECD，
∴EC＝BN，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∴BE＝BN，
∵∠BPN＝∠BQE＝90°，
∴△BPN≌△BQE（AAS），
∴BP＝BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE＝45°，
故④正确；
⑤如图所示，连接NE，
设BN＝x，则BE＝EC＝x，BC＝2x，
∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，
∴CN＝＝＝x，
EN＝＝＝x，
由△ECN面积可得CN•GE＝EC•BN，
∴GE＝x，
∴GN＝＝x，
∴GN+GE＝x+x＝x，
∴GC＝CN﹣GN＝xx＝x，
∵AB∥CD，
∴△NGB∽△CGF，
∴＝，
∴BG＝FG，
∴BG＝BF，FC＝BN＝x，
∴BG＝×x＝x，
∴GN+GE＝BG，
故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，学生要有较强的综合知识，解决复杂问题的能力．
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
11．因式分解：n3﹣25n＝ n（n+5）（n﹣5） ．
【分析】先提取公因式n，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】解：n3﹣25n＝n（n2﹣52）＝n（n+5）（n﹣5）．
故答案为：n（n+5）（n﹣5）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法因式分解．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．＝ 3 ，﹣＝ ．
【分析】依据算术平方根、立方根的定义求解即可．
【详解】解：＝＝3．
﹣＝﹣（﹣）＝．
故答案为：3；．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
13．在一个不透明的布袋中装有18个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为 9 ．
【分析】设黑球的个数为x个，根据概率公式列出方程，求出x的值即可得出答案．
【详解】解：设黑球的个数为x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝9，
经检验x＝9是方程的解，
答：黑球的个数为9；
故答案为9．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．如图，点A、B分别是双曲线和第一象限分支上的点，且AB∥y轴，BC⊥y轴于点C，则AB•BC的值是 3 ．
【分析】延长AB交x轴于点D，过点A作AE⊥y轴于点E，利用k的几何意义，求得矩形ADOE的面积为4，矩形BDOC的面积为1，即可求得矩形ABCE的面积为3，据此求解即可．
【详解】解：延长AB交x轴于点D，过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AB∥y轴，BC⊥y轴，
∴四边形ADOE、ABCE、BDOC都是矩形，
∵点A、B分别是双曲线和第一象限分支上的点，
∴矩形ADOE的面积为4，矩形BDOC的面积为1，
∴矩形ABCE的面积为4﹣1＝3，
∴AB•BC＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义．根据面积关系得出AB•BC的值是解决问题的关键．
15．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC为8，以顶点D为圆心，2为半径画圆，点P在对角线上运动，当射线BP与圆D相切时，AP的长是 4﹣或4+ ．
【分析】连接BD交AC于点H，当射线BP与⊙D相切于点E时，连接DE，分两种情况，当射线BP与⊙D相切于点E，当射线BP与⊙D相切于点F时，然后利用菱形的性质，以及相似三角形的判定与性质进行计算即可解答．
【详解】解：连接BD交AC于点H，当射线BP与⊙D相切于点E时，连接DE，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝5，AC⊥BD，AH＝AC＝4，BD＝2BH，
在Rt△ABH中，BH＝＝＝3，
∴BD＝2BH＝6，
∵射线BP与⊙D相切于点E，
∴∠DEB＝90°，
∴BE＝＝＝4，
∵∠DEB＝∠BHP＝90°，∠PBH＝∠DBE，
∴△BHP∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∴PH＝，
∴AP＝AH﹣PH＝4﹣，
当射线BP与⊙D相切于点F时，如图：
同理可得：PH＝，
∴AP＝AH+PH＝4+，
综上所述，当射线BP与圆D相切时，AP的长是4﹣或4+，
故答案为：4﹣或4+．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，分两种情况进行计算即可解答．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，正方形CEFG的边长为，将正方形CEFG绕点C旋转，BG和DE相交于点K，则AK的最大值是 4 ，连结BE，当点C正好是△BKE的内心时，CK的长是 ．
【分析】证明∠DKB＝90°，从而确定点K在以BD为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到BE的距离，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
连接AC，BD，CF和EG，AC，BD交于点O，DC，BG交于点M，作CQ⊥BE于Q，作CR⊥BK于R，
∵四边形ABCD和四边形EFGC是正方形，
∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∠ECF＝45°，AC＝，EN＝CN＝，
∴∠BCD+∠DCG＝∠ECG+∠DCG，
∴∠BCG＝∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠BGC＝∠CDE，
∵∠BMC＝∠DMK，
∴∠BKD＝∠BCD＝90°，
∴点K在以BD为直径的圆O上运动，
∴当AK为圆O直径时，AK最大，此时点K于点C重合，
∴AK最大＝AC＝＝4，
当点C为△BEK的内心时，
BC，CE，CK分别平分∠KBE，∠BEK和∠BKE，
∴CR＝CQ，
∵∠BKE＝90°，
∴∠BKC＝，＝，
∴∠ECF＝∠CBE+∠BEC，
∴点B、C、F共线，
∴BN＝BC+CN＝4+2＝6，
∴BE＝＝＝2，
∵sin∠NBE＝，
∴，
∴CR＝CQ＝，
∴CK＝＝＝，
故答案为：4，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先因式分解、再通分、最后化简即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝；
（2），
②×3得，3x+9y＝6③，
③﹣①得，y＝，
将y＝代入②得，x＝﹣，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查分式的加减、二元一次方程组的解，熟练掌握分式的化简方法，掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18．如图1是由边长为1的正方形构成的6×5的网格图，四边形ABCD的顶点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的对角线AC的长；
（2）命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图2中画一个顶点都是格点的四边形说明；如果是真命题，请进行证明．
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，画出图形即可．
【详解】解：（1）由题意可知，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∴AC的长为5；
（2）对角线相等的四边形不一定是矩形，故命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是假命题，如图：
在四边形ABCD中，AC＝BD，但四边形ABCD为等腰梯形．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握绝对值的意义、对顶角的性质、余角的性质等知识是解题的关键．
19．如图（1）是一种迷你型可收缩式乐谱支架，图（2）是其侧面示意图，其中AB＝BC＝CD＝24cm，DB⊥BA，Q是CD的中点，P是眼睛所在的位置，PM⊥BA于点M，AM＝12cm，当PQ⊥CD时，P为最佳视力点．
（1）若∠ABC＝α，则∠DCB＝ 2α ；
（2）当∠ABC＝37°且PM＝53cm时，请通过计算说明点P是不是最佳视力点．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan53°≈）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可求出答案；
（2）通过作平行线，由（1）可求出∠C，再根据锐角三角函数的定义求出∠PQF即可．
【详解】解：（1）∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AB，即∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠ABC
＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB
＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）
＝2α，
故答案为：2α；
（2）如图，过点Q作EF∥AB，交PM、BD分别于F、E，则EF⊥BD，EF⊥PM，
∵∠ABC＝37°，
∴∠CBD＝∠CDB＝90°﹣37°＝53°，
∴∠DQE＝∠CQF＝90°﹣53°＝37°，
在Rt△DEQ中，DQ＝CD＝12，∠EDQ＝53°，
∴EQ＝DQ•sinD
≈12×
＝9.6，
DE＝DQ•cosD
≈12×
＝7.2，
∴QF＝24+12﹣9.6＝26.4，
过点C作CH⊥BD于H，则BH＝DH，
∵Q是CD的中点，QD∥CH，
∴DE＝EH，
∴BE＝3DE＝21.6＝FM，
∴PF＝53﹣21.6＝31.4，
∴tan∠PQF＝＝≈1.19≠，
∴∠PQF≠53°，
∴∠PQC＝∠PQF+∠CQF≠90°，
即PQ与CD不垂直，
∴不是最佳视力点．
【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
20．某校为进一步提高教职工的身体素质，提倡“每天一万步”活动，校工会随机抽取20名教职工一天行走的步数，对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
组别
步数分组
频数
频率
A
5500≤x＜6500
2
0.1
B
6500≤x＜7500
10
0.5
C
7500≤x＜8500
a
m
D
8500≤x＜9500
3
0.15
E
9500≤x＜10500
b
0.15
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ 2 ，b＝ 3 ，m＝ 0.1 ，并补全频数分布直方图；
（2）这20名教职工一天行走步数的中位数落在 B 组；
（3）若该校教职工共有320人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数．
【分析】（1）由A组频数及频率得出样本容量，再用样本容量乘以E组频率得出其频数b，根据频数之和等于总人数得出a的值，继而可得m的值；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）总人数乘以样本中C、D、E组频率之和即可得出答案．
【详解】解：（1）样本容量为2÷0.1＝20，
∴b＝20×0.15＝3，
则a＝20﹣（2+10+3+3）＝2，
∴m＝2÷20＝0.1，
补全图形如下：
故答案为：2、3、0.1；
（2）这20名教职工一天行走步数的中位数是第10、11个数据的平均数，而这两个数据均落在B组，
所以这20名教职工一天行走步数的中位数落在B组，
故答案为：B．
（3）估计其中一天行走步数不少于7500步的有320×（0.1+0.15+0.15）＝128（人）．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象经过点A（﹣3，0）、B（0，3）、C（﹣2，m）三点．
（1）若点A为该函数图象的顶点，求m的值；
（2）若该函数图象关于直线x＝n对称，当﹣3＜n＜﹣2时，m的取值范围为 ；
（3）该函数图象所经过的象限随着m值的变化而变化，写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围．
【分析】（1）设抛物线为顶点式y＝a（x+3）2，将B（0，3）代入，即可求解．
（2）先找到a、b的关系式，利用对称轴的范围即可求解．
（3）分类讨论，开口向上和向下两种情况．结合图象其中开口向上还要在分类讨论．
【详解】解：（1）根据题意，顶点（﹣3，0）．
∴设抛物线为：y＝a（x+3）2．
将B（0，3）代入，得：3＝a（0+3）2．
∴a＝．
∴y＝（x+3）2．
当x＝﹣2时，y＝．
∴m＝．
（2）将A（﹣3，0）、B（0，3）代入抛物线得：．
∴b＝3a+1．
当x＝﹣2时，m＝4a﹣2b+c＝4a﹣2（3a+1）+3＝﹣2a+1．
抛物线的对称轴为：，则n＝．
∴．
解得：．
∵m＝﹣2a+1．
∴．
故答案为：．
（3）由（2）知：b＝3a+1，对称轴x＝．
∵二次函数中a≠0．
∴m＝﹣2a+1≠1
当二次函数开口向下，即：a＜0，函数图象过一、二、三、四象限，则m＝﹣2a+1＞1，即m＞1．
当二次函数开口向上，即：a＞0，此时m＝﹣2a+1＜1，分两种情况：
①二次函数与x轴只有一个交点，即对称轴为x＝﹣3，图象经过一、二象限．
此时a＝，m＝﹣2a+1＝．
②二次函数与x轴两个交点，即：，图象经过一、二、三象限，此时m＝﹣2a+1．
综上：当m＞1时，图象经过一、二、三、四象限；
当，图象经过一、二、三象限；
当m＝时，图象经过一、二象限．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数、以及二次函数的性质、图象特征．关键在于掌握好各个知识点，加一灵活运用．
22．如图是一次药物临床试验中受试者服药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与用药的时间x（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段OA和部分双曲线AB：y＝组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段BC和部分曲线CD：y＝+m组成，其中OA与BC平行，血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效．
（1）分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度；
（2）受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗？
（3）若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药？
【分析】（1）先待定系数法求出AB段和OA段的解析式，然后根据OA与BC平行，可确定BC段的解析式，然后求解即可；
（2）分别求出OA段和AB段y＝5时的x的值，进一步比较即可确定；
（3）先求出CD段解析式，然后令y＝4求出x的值，进一步求解即可．
【详解】解：（1）将点A（6，8）代入y＝，
得k＝6×8＝48，
∴y＝，
当x＝16时，y＝3，
∴B（16，3），
设OA的解析式：y＝ax，
代入A（6，8），
得6a＝8，
解得a＝，
∴OA的解析式：y＝x，
∵OA与BC平行，
设BC的解析式：y＝x+b，
代入B（16，3），
得，
解得b＝，
∴BC的解析式：y＝x，
当x＝22时，y＝11，
∴C（22，11），
∴第16小时血液中的药物浓度为3微克/毫升，第22小时血液中的药物浓度为11微克/毫升；
（2）当y＝x＝5，解得x＝，
当y＝＝5，解得x＝，
∵﹣＝＜6，
∴有疗效的持续时间未达到6小时；
（3）将点C（22，11）代入y＝+m，
得8+m＝11，
解得m＝3，
∴CD段函数解析式：，
当y＝4时，x＝64，
∴64﹣16＝48（小时），
∴受试者第二次服药后至少经过48小时可进行第三次服药．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意并求出各段的函数解析式是解题的关键．
23．如图，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的一个动点，连结DE与对角线AC交于点F，过点A作AG∥DE，并且DG⊥AG．
（1）如图1，若AB＝4，cos∠DAG＝，求DF；
（2）如图2，若延长AG与CD交于点H，并延长AD至点M，连结MF，使得HD＝AM，求证：MF+DF＝AH；
（3）如图3，连结AE，此时将△ADF的面积记为S1，△AFE和△AEB的面积分别记为S2和S3，若S2+S3＝kS1（k为常数），求k的最大值．
【分析】（1）在直角三角形ADG中，求出∠ADG（∠CDE）的正切值，进而解斜三角形CDF；
（2）作HN∥AC交FD的延长线于N，证明△DNH≌△MFA；
（3）设AB＝BC＝CD＝AD＝a，CE＝x，表示出三角形CEF的面积，从而表示出S1+S2+S3和S1，从而表示出k的函数关系式，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
作FH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝4，
∵∠DAC＝90°，
∵∠DCF＝45°，
∵DE∥AG，AG⊥DG，
∴DE⊥DG，
∴∠EDG＝90°，
∴∠EDG＝∠ADC，
∴∠EDG﹣∠ADE＝∠ADC﹣∠ADE，
∴∠ADG＝∠CDF，
∵cos∠DAG＝，
∴设AG＝3x，AD＝5x，
∴DG＝4x，
∴tan∠ADG＝，
∴tan∠CDF＝，
设FH＝3k，DH＝4k，则DF＝5k，
∵tan∠DCF＝，
∴tan45°＝，
∴CH＝3k，
由CH+DH＝CD得，
∴3k+4k＝4，
∴k＝，
∴DF＝5×＝；
（2）证明：如图2，
作HN∥AC交FD的延长线于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∵AG∥DB，
∴四边形AHNF是平行四边形，∠NHD＝∠ACD＝45°，
∴HN＝AF，NF＝AH，∠NHD＝∠DAC，
在△DNH和△MFA中，
，
∴△DNH≌△MFA（SAS），
∴DN＝MF，
∴AH＝NF＝DN+DF＝MF+DF，
即：MF+DF＝AH；
（3）如图3，
作FT⊥CD于T，作FR⊥BC，
设AB＝BC＝CD＝AD＝a，CE＝x，
∴S1+S2+S3＝S正方形ABCD﹣S△CDE＝a2﹣，
∵AC平分∠BCD，
∴FT＝FR，
∴＝，
∴S△CEF＝•S△CDE＝，
∵BC∥AD，
∴△CEF∽△ADF，
∴＝（）2，
∴＝，
∴S1＝，
∴S1+S2＝a2﹣﹣
∴k＝＝＝﹣1＝﹣1，
∴当x＝时，k最大＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24．如图1，△ABC中，BC边上的中线AM＝AC，延长AM交△ABC的外接圆于点D，过点D作DE∥BC交圆于点E，延长ED交AB的延长线于点F，连接CE．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝4，求MD和DF的长；
（2）①求证：BC＝2CE；
②设tan∠ACB＝x，＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）如图2，作NC⊥AC交线段AD于N，连接EN，当△ABC的面积是△CEN面积的6倍时，求tan∠ACB的值．
【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质，和直角三角形的判定与性质以及圆周角定理得到点M为圆心，则结论可求；
（2）①连接BD，利用平行弦所夹的弧相等，圆周角定理，等腰三角形的性质解答即可；
②过点A作AH⊥CM于点H，通过证明△AMC∽△BMD和平行线分线段成比例定理得到y＝＝＝＝，设CM＝2a，则BM＝CM＝2a，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，代入即可得出结论；
（3）连接ME，设ME与CN交于点K，在（2）的基础上，通过证明△BDM≌△CEM和△CMN≌△CEN，利用等高的三角形的面积比等于底的比，得出AM＝3DN，利用平行线分线段成比例定理可以求得＝，则得到y＝，IE关于x的方程即可求得结论．
【详解】（1）解：∵AM＝AC，∠ACB＝60°，
∴△AMC为等边三角形，
∴AM＝AC＝MC．
∵M是BC的中点，
∴CM＝BM＝BC＝2．
∴AM＝AC＝CM＝2，
∴AM＝BC，
∵BM＝MC，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
∴点M为圆心，即AD为直径，
∴DM＝AM＝2；
∵DE∥BC，M为AD在中点，
∴BM为△AFD的中位线，
∴FD＝2BM＝4；
（2）①证明：连接BD，如图，
∵DE∥BC，
∴，
∴BD＝EC．
∵AM＝AC，
∴∠ACM＝∠AMC，
∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，
∴∠BDM＝∠BMD，
∴BD＝BM，
∴BM＝CE，
∵BC＝2BM，
∴BC＝2EC；
②解：过点A作AH⊥CM于点H，如图，
∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，
∴△AMC∽△BMD，
∴，
∵DE∥BC，
∴．
∵CM＝MB，
∴y＝＝＝＝，
设CM＝2a，则BM＝CM＝2a，
∵AM＝AC，AH⊥CM，
∴CH＝MH＝a，
∵tan∠ACB＝x＝，
∴AH＝ax，
∴AM＝AC＝＝＝a
∴＝，
∴y＝＝，
∴y关于x的函数表达式为：y＝；
（3）连接ME，设ME与CN交于点K，如图，
∵DE∥BC，
∴，
∴，BD＝EC，
∴∠CBD＝∠BCE，
在△BDM和△CEM中，
，
∴△BDM≌△CEM（SAS）．
∴DM＝CE．
∵NC⊥AC，
∴∠MCN＝90°﹣∠ACM，
∵AH⊥CM，
∴∠ACM＝90°﹣∠CAH＝90°﹣∠CAM，
∴∠MCN＝∠CAM，
∵∠CAM＝∠CBD，∠CBD＝∠BCD，
∴∠MCN＝∠MCE，
即：∠MCN＝∠ECN，
由（2）知：CM＝BM＝BD，
∵CE＝BD，
∴CM＝CE，
在△CMN和△CEN中，
，
∴△CMN≌△CEN（SAS）．
∴MN＝NE．
∵CM＝CE，
∴CN是ME的垂直平分线，
∴ME⊥CN，MK＝KE，
∵NC⊥AC，
∴ME∥AC．
∴，
∵△ABC的面积是△CEN面积的6倍，S△ABM＝S△ACM，
∴△ACM的面积是△CEN的3倍，
∵S△CEN＝S△CMN，
∴△ACM的面积是△CMN的3倍，
∴AM＝3MN，
∴，
∴＝，
∴＝，
∵ME＝MD，AC＝AM，
∴，
∴y＝，
∴，
解得：x＝，
∴tan∠ACB＝x＝．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的有关性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线，熟练掌握圆的有关性质恰当的添加辅助线是解题的关键．
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