数学（天津B卷）-学易金卷：2023年高考第一模拟考试卷

2023年高考数学第一次模拟考试卷（天津B卷）

数学·全解全析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷

一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）

1．（2022·云南·建水实验中学高一阶段练习）设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：由题得，

所以.

故选：B

2．（2022·福建福州·高一期中）不等式成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【详解】不等式即，即 ，

对于A,因为，故是成立的一个必要不充分条件，A正确；

而不是集合，的真子集，故错误，

故选：A

3．（2022·江西·高三阶段练习（理））函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】 ， 是奇函数，排除A；

当 时， ，

当 时， ，

故选：C.

4．（2022·云南昆明·高一期末）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale 1820-1910）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是（    ）

A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加

B．2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多

C．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

D．2016年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增

【答案】D

【详解】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A正确；

对于BD，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，；

2017年，；2018年，；2019年，；

2020年，； 2021年，；2022年，，

可知知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，故B正确，D错误；

对于C，由，即2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故C正确；

故选：D

5．（2022·山东菏泽·高三期中）设，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵，，

令，则，，，

，当时，，

即在上单调递减.

∵，

∴，

即.

故选：D.

6．（2022·全国·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为120°的等腰三角形，母线长为4，过圆锥轴的中点作与底面平行的截面，则截面与底面之间的几何体的外接球的表面积为（    ）

A．64π B．96π C．112π D．144π

【答案】C

【详解】第一步：确定截面与底面之间的几何体的结构特征如图，

等腰三角形SAB是圆锥的轴截面，SE是圆锥的轴，截面圆、底面圆的半径之比为1：2．

设截面圆、底面圆的半径分别为r，2r，

因为轴截面是顶角为120°的等腰三角形，母线长为4，且由题意知截面与底面之间的部分为圆台，

所以圆台的高为，，．

第二步：求外接球的半径

易知球心在直线SE上，设圆台外接球的半径为R，球心到圆台下底面的距离为x，

若球心在圆台两底面之间，如图点M的位置，则，无解；

若圆台两底面在球心同侧，则球心在如图点O的位置，，

解得，则，

第三步：求外接球的表面积

则该圆台外接球的表面积为.

故选：C．

7．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】如图所示

设，，，，则，，

在中由余弦定理得①，

在中由余弦定理得②，

得③，

在中由余弦定理得④，

③④联立消去得，

因为，当面积最大时即最大，

由均值不等式可得，

当且仅当即时等号成立，取得最大值，

此时由④解得，所以，

所以，即为直角三角形，且，

所以在中，解得，

由双曲线的性质可得，解得，

所以双曲线的方程为，

故选：C

8．（2022·上海市嘉定区第二中学高三期中）在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似的模拟某种信号的波形，则下列判断中不正确的是（    ）

A．函数为周期函数，且为其一个周期

B．函数的图象关于点对称

C．函数的图象关于直线对称

D．函数的导函数的最大值为4.

【答案】A

【详解】依题意，

A选项，

，

所以不是的周期，A选项错误.

B选项，

，

，

所以，所以的图象关于点对称，B选项正确.

C选项，

.

.

所以，所以的图象关于直线对称，C选项正确.

D选项，，

由于，

所以，且，

所以的最大值是，D选项正确.

故选：A

9．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）设函数

①若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是

②若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是

③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是

④方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6

四个结论中，正确的结论个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】解：对于①：作出的图像如下：

若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设，

则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根，

所以，，所以，所以，

所以，故①正确；

对于②：由上可知，，，且，

所以，

所以，，

所以，

所以，故②错误；

对于③：方程的实数根的个数，即为函数与的交点个数，

因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，

当与相切时，设切点为，

即，所以，解得，所以，所以，

所以当与相切时， 即时，此时有4个交点，

若有4个实数根，即有4个交点，

当时由图可知只有3个交点，当时，

令，，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，

所以当时，函数取得极大值即最大值，，

又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故③错误；

对于④：，

所以，

所以或，

由图可知，当时，的交点个数为2，

当，0时，的交点个数为3，

当时，的交点个数为4，

当时，的交点个数为1，

所以若时，则，交点的个数为个，

若时，则，交点的个数为3个，

若，则，交点有个，

若且时，则且，交点有个，

若，交点有1个，

综上所述，交点可能有1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故④正确；

故选：B．

第Ⅱ卷

二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写在答题纸上.13题和15题第一空2分，第二空3分，全部答对得5分.

10．（2022·上海市浦东中学高一期末）是虚数单位，复数_______．

【答案】

【详解】，

故答案为：

11．（2022·河南·鹤壁高中高二阶段练习）直线l： 截圆 的弦为，则的最小值为_____________ .

【答案】2

【详解】对于直线l： ，显然过定点 ；

对于圆： ，配方后有： ，

圆心为 ，半径为3，点A到圆心的距离为 ，

所以A点在圆内，当A点为MN的中点时， 最短，此时 ；

故答案为：2.

12．（2022·全国·高三专题练习）将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.

【答案】691200

【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有种方法，还剩5本书横放，有种方法，

故不同的摆放方法种数为.

故答案为：691200

13．（2022·天津·南开中学模拟预测）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定两位同学每天到校情况相互独立．用X表示甲同学上学期间的某周五天中7：30之前到校的天数，则______，记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学恰好多3天”为事件M，则______．

【答案】         

【详解】由题意知，它的分布列为，k＝0，1，2，3，4，5，

所以．

设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y，则，它的分布列为，

且事件，

又事件，，之间互斥，且X与Y相互独立，

所以．

故答案为：；.

14．（2022·全国·高二专题练习）若各项均为正数的有穷数列满足，（）,则满足不等式的正整数的最大值为 __．

【答案】109

【详解】解：因为，

所以，

，

，

所以，

故= ，

因为，

所以，

则，

要使不等式成立，

只要即可，

而，

所以，

因为，

当且仅当，即时，取等号，

又因，

当时，，

当时，，

所以，

所以，

所以正整数，

即正整数的最大值为109．

故答案为：109．

15．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________．

【答案】         

【详解】解：因为，

所以，

所以四边形为平行四边形，

所以且，

则可设，

故，

因为共线，

所以，解得，

所以，

因为，

所以，

所以；

因为，

所以，

所以，

又，所以，

因为，所以，

如图以点为原点建立平面直角坐标系，

则，

设，

故，

则，

当时，取得最小值.

故答案为：；.

三、解答题（本题共5小题，共75分）

16．（2022·河南新乡·一模（文））在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，点D是BC的中点，求AD的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，

所以．

因为，，

所以．

因为，所以．

因为，所以，

所以．

（2）因为点D是BC的中点，

所以，

所以，

所以．

因为，

所以．

因为，所以，

所以．

17．（2022·河北·高三阶段练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.

(1)证明：平面平面.

(2)若，求二面角的余弦值的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)

【详解】（1）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以，

因为为等边三角形，且D为AB的中点，所以，

又因为，且平面，平面，

所以平面，因为平面，

所以平面平面.

（2）

以D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设，

因为，所以，，，，

，，，，

设平面的一个法向量，平面的一个法向量，

则，取，

，取，

所以，

因为，，

因为二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值的取值范围为.

18．（2022·贵州毕节·高三期中（文））已知函数.

(1)当时，求的最小值；

(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.

【答案】(1)；

(2)1

【详解】（1）当时，，则，

令得.

若，则；若，则.

所以；

（2）（法一）由，可得在上恒成立.

令，则，

令，则，因此在上为减函数.

而，可知在区间上必存在，使得满足，且在上单调递增，在上单调递减.

由于，而，故，

由，可知，

所以，因此整数a的最小值为1.

（法二）由，可得，当时，，则，即.

当时，令，则，

则在上单调递增，所以，所以成立.

因此整数a的最小值为1.

19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知平面直角坐标系中，点到抛物线准线的距离等于5，椭圆的离心率为，且过点

(1)求的方程；

(2)如图，过点作椭圆的切线交于两点，在轴上取点，使得，试解决以下问题：

①证明：点与点关于原点中心对称；

②若已知的面积是椭圆四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线的方程.

【答案】(1)，

(2)

【详解】（1）解：因为点到抛物线的准线的距离等于5，

所以，解得，所以抛物线的方程为；

因为椭圆的离心率为，且过点，

所以 ，解得，

所以椭圆的方程为；

（2）解：①因为，且直线与椭圆相切，

所以直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立，得，

因为直线与椭圆相切，

所以，即，

联立，得，

设，，则；

设，因为，所以，

则，即，

即，

又，所以，即，

即点与点关于原点中心对称；

②椭圆四个顶点所围成菱形面积为，

所以的面积为，

则

，

令，即，

即，即，

即，

即，

因为，所以，，；

所以直线的方程为.

20．（2022·天津·高三专题练习）在数列中，，其中．

(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；

(2)设，数列的前n项和为，求；

(3)已知当且时，，其中，求满足等式的所有n的值之和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)5

(1)

证明：因为，

所以

，

所以数列是以1为公差，1为首项的等差数列

(2)

由（1）可得，

所以，

所以

，

所以

，

所以

(3)

由（1）将化为，

即，

所以，

因为当且时，，

所以，，……，，

所以，

所以当时，，

当时，，当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以满足的所有和3，其和为5