2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（天津B卷）（参考答案）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

 数学·参考答案

10．.   11．240   12．   13．   14．；.   15．，

三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）

16．（14分）

【详解】（1）在中，由正弦定理，，，

可得，

因为，所以，即，

解得．……4分

（2）在中，由余弦定理，

得，解得或．

由已知互不相等，所以 ．……9分

（3）因为，所以，

所以，，

所以……14分

17．（15分）

【详解】（1）在直三棱柱中，，

解得，

由等边三角形的面积为，可得，

在直三棱柱中，取中点，

以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系．

则

则，平面的法向量为

所以，又因为平面

所以.……5分

（2），，，

设平面的法向量为，则    

，

令，则，，∴．

记直线与平面所成角为，

∴，

∴直线与平面所成角的正弦值……10分

（3）由（2）得：平面的法向量为，

易得，，

设平面的法向量为，则，

令，则，，∴．   

记平面与平面的夹角为，

∴，

∴平面与平面的夹角的余弦值．……15分

18．（15分）

【详解】（1）由题意可知，椭圆的焦点位于轴上，即椭圆的左焦点为，

因为左焦点到的距离为，

所以，即，解得或（舍），

又因为椭圆的离心率为，

所以，即，解得，

所以，

故所求椭圆E的方程为.……4分

（2）由题可得，设，

由，消去，得，

所以，即，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以，即，解得或，满足，

当时，过点，不合题意，

所以，……10分

又直线与以原点为圆心半径为的圆相切，

所以，

联立，解得或，

所以直线的方程为或.……15分

19．（15分）

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

由已知，得，

而，所以．

又因为，解得．所以．

由，可得．

由，得，

解得，由此可得．

所以，的通项公式为，的通项公式为．……5分

（2）由，得，

所以，

则，

两式相减，得，

即．

得．

所以，数列的前n项和为.……10分

（3）证明：由（1）得，所以：

当时，，不等式成立；

当时，，所以，不等式成立；

当时，，

所以，

，

所以，得证．……15分

20．（16分）

【详解】（1），定义域为，

所以，

当时，，故在上单调递增，

当时，由，得；由，得，

故在上单调递增，在上单调递减，

综上：当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减．……4分

（2）因为，曲线在处的切线垂直于直线，

则在处的切线的斜率为，即，解得：，

则.

对任意恒成立，即对任意，

即对任意恒成立，

令，

，令，得，

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

，

，则实数b的最大值．……9分

（3）函数，

因为为函数的极值点，所以，所以，

要证明不等式：成立，只需证，

令，

当时，单调递增；当时，，单调递减，

所以，即，所以，

当时，因为，所以．

当时，因为，所以，所以，

要证成立，只需证，

即证对成立．

令，因为，

当时，单调递增；当时，单调递减，

所以，即时，成立．

综上所述，原不等式成立．……16分