2022-2023学年安徽省马鞍山七中八年级（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省马鞍山七中八年级（下）期中数学试卷(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省马鞍山七中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  函数的自变量的取值范围是(    )A.  B.  C. 或 D. 且2.  一元二次方程可以转化的两个一元一次方程正确的是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，3.  在中，，，，则点到斜边的距离是(    )A.  B.  C.  D. 4.  化简的结果是(    )A.  B.  C.  D. 5.  关于的一元二次方程有实数根的条件是(    )A.  B. ，且
C.  D. ，且6.  我国古代数学著作增删算法统宗记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边相距步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是(    )
 
 A.  B.
C.  D. 7.  给出下列命题：
在直角三角形中，已知两边长和，则第三边长为；
三角形的三边、、满足，则；
中，若：：：：，则是直角三角形；
中，若：：：：，则这个三角形是直角三角形；
其中，正确命题的个数为(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个8.  若，是方程的两个实数根，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，第行有个点，前行的点数和不能是以下哪个结果(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，，则图中阴影部分的面积是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.  的倒数是______ ．12.  关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为______ ．13.  若，则 ______ ．14.  某商品的价格为元，连续两次降价后价格是元，则______．15.  若关于的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为______ ．16.  已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以、为两边的直角三角形的第三边的长度是______ ．17.  如图，为正三角形内一点，，，，则 ______ ．
 18.  如图，矩形的边、是一元二次方程的两个解其中点在边上，连接，把沿折叠，点落在点处．当为直角三角形时，则的长是______．
 三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：
；
．20.  本小题分
解方程：
；
 21.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：对于任意给定的实数，方程恒有两个实数根；
若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．22.  本小题分
如图，在中，为边上的中线，，，，求证：．
23.  本小题分
机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到千克，用油量的重复利用率仍然为问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是______ 千克．
乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到千克，问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？24.  本小题分
问题探究
如图，在直角中，，，，是边上一点，连接，则的最小值为______．
如图，在等腰直角中，，，求边的长度用含的代数式表示．
问题解决
如图，在等腰直角中，，，是边的中点，若是边上一点，试求：的最小值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：函数中，的取值范围是：且，
解得：且．
故选：．
直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查函数自变量的取值范围，正确把握定义是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
或，
故选：．
先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：在中，，，，
，
设点到斜边的距离是，
则：，即：，
；
点到斜边的距离是；
故选：．
利用勾股定理求出的长，等积法求出点到斜边的距离即可．
本题考查勾股定理，等积法求线段的长度．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：有意义，
，
，



．
故选：．
由有意义，得到，因此，于是即可化简．
本题考查二次根式的性质与化简，关键是掌握二次根式的性质；
 5.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得，且，
故选：．
根据一元二次方程根的判别式及定义，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
 6.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．
直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．
【解答】
解：设正方形的边长是步，则列出的方程是：．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：在直角三角形中，已知两边长为和，则第三边长为或，是假命题；
三角形的三边、、满足，则是为直角的直角三角形，是假命题；
中，若：：：：，则是直角三角形，是真命题；
中，若：：：：，则这个三角形是直角三角形，是真命题，
故选：．
根据勾股定理、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 8.【答案】 【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故选：．
先根据根与系数的关系求出与的值，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：通过观察图形可知：第一行有个点，第二行有个点第行有个点，
前行共有个点，其中为正整数．
当时，解得：舍去，；
当时，解得：舍去，；
当时，解得：舍去，舍去，即前行的点数和不能是；
当时，解得：舍去，．
故选：．
由于第一行有个点，第二行有个点第行有个点，则前行共有个点，然后根据选项分别求出的值，即可作出判断．
本题主要考查的是探究图形的规律，一元二次方程的解．正确得到前行的点数和的式子是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：如图，
四边形是正方形，
，

，
≌，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积；
故选：．
根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到可得，，可得，再由倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和，即可得出结论．
本题考查勾股定理的相关知识，有一定难度；解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
 11.【答案】 【解析】解：由题意得：的倒数是．
故答案为：．
根据倒数的定义并进行化简即可求解．
本题考查了倒数的定义和二次根式的化简，掌握定义和化简方法是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：根据一元一次方程的定义可得：，
，
故答案为：．
根据定义可得二次项系数为零，一次项系数不等于，解之即可．
本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
故答案为：．
先利用完全平方公式对代数式变形，然后代值求解即可．
本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够利用完全平方公式对代数式进行变形求解．
 14.【答案】 【解析】解：依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：一元二次方程变形为，
所以此方程可看作关于的一元二次方程，
因为关于的一元二次方程的一个根，
所以关于的一元二次方程的一个根是，
，
解，
所以一元二次方必有一根为，
故答案为：．
一元二次方程变形为，由于关于的一元二次方程的一个根是，则关于的一元二次方的一个根，据此即可解答．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 16.【答案】或 【解析】解：，是的整数部分，
，
，其中是整数，且，
，
当，为直角边时，第三边长为：，
当为斜边时，第三边长为：，
故答案为：或．
先根据无理数的估算求得，的值，然后根据勾股定理即可求解．
本题考查了无理数的估算，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：将绕点逆时针旋转至，接，
≌，，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，


．
故答案为：．
将绕点逆时针旋转至，接，可证为等边三角形，得出，利用勾股定理逆定理可求出，利用角的性质求出，即可求解．
此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．
 18.【答案】或 【解析】解：，
，
则或，
解得或，
，
，，
四边形是矩形，
，，，
由折叠知，，，
若，且，
四边形是矩形，且，
四边形是正方形，
，
，
；
若，且，
，
点，点，点三点共线，
在中，，
；
综上，的长是或．
故答案为：或．
由矩形的性质和折叠的性质可得，，，分，两种情况讨论，由勾股定理可求的长．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 19.【答案】解：

；


． 【解析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
分别根据二次根式的计算法则、零指数幂的计算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．
 20.【答案】解：，
，
，
，；

，，，
，
，
． 【解析】根据直接开平方法可进行求解；
根据公式法可进行求解．
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
 21.【答案】解：，
方程总有两个实数根．
方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知：，，
，
联立得，
解得，
，
． 【解析】由根的判别式，即可判断；
利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
 22.【答案】证明：如图，延长至点，使得，连接，
为边上的中线，
，
又，，
≌；
，
又，，
，
，
，
． 【解析】根据可证明≌，证明，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 23.【答案】 【解析】解：千克．
故答案为：．
设乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是千克，由题意得，
化为，
解得，舍，
答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是千克．
根据题意，实际耗油量用油量重复利用率，代入数据计算即可．
“在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少千克，用油的重复利用率将增加”，故若用油量设为千克，则耗油量为，相乘即得实际耗油量，解出后即可求的重复利用率．
本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握列方程是解题的关键．
 24.【答案】 【解析】解：如图中，作于．

在中，，，，
，
，
，
根据垂线段最短可知当与重合时，的值最小，最小值为，
故答案为．

如图中，

，，
，
，
或舍弃，


如图中，作，于，于交于．

是等腰直角三角形，，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
根据垂线线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为的长．
如图中，作于解直角三角形求出，根据垂线段最短即可解决问题．
利用勾股定理即可解决问题．
如图中，作，于，于交于因为，根据垂线线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为的长．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考压轴题．