2022-2023学年安徽省马鞍山市花山区成功学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省马鞍山市花山区成功学校八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  使二次根式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

4.  一个正多边形的每一个外角都是，则它是(    )

A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，，是的三边长，且满足，则是(    )

A. 以为斜边的直角三角形 B. 以为斜边的直角三角形
C. 以为斜边的直角三角形 D. 以为底边的等腰三角形

7.  已知关于的方程的一个根为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品该商品可以自行定价据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的，如果商店计划要获利元则每件商品的售价应定为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

9.  如图，在中，，，将折叠，使点恰好落在边上与点重合，为折痕，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则的值是(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  当时，二次根式的值是______．

12.  已知，，则 ______ ．

13.  若是关于的一元二次方程，则的值是______．

14.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______ ．

15.  埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______ ．

16.  已知是方程的一个根，且，则的值等于______ ．

17.  在中，，，，交直线于点，若，，则
的长为______ ；
的长为______ ．

18.  如图，在等腰中，，点是内一点，且，，，以为直角边，点为直角顶点，作等腰．
线段的长度为______ ；
的面积为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解一元二次方程：．

21.  本小题分
观察以下等式：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：        ；
写出你猜想的第个等式：        用含的等式表示，为正整数，并证明其正确性．

22.  本小题分
已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

23.  本小题分

某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元，每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销经调查，若该商品每降价元，每天可多销售件，那么每天要想获得元的利润，每件应降价多少元？

24.  本小题分
如图，在等腰直角三角形中，是三角形内一点，，．
求证：；
若，，，求的长度；
在的条件下，求的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
解得．
故选：．
二次根式的被开方数是非负数，即．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，四个选项中只有与被开方数相同，是同类二次根式．
故选：．
先把二次根式与化为最简二次根式，再进行判断即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
方程没有实数根．
故选：．
先计算根的判别式，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个正多边形的边数：，
故选：．
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，计算即可求解．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式乘法运算法则判断和，根据二次根式的性质判断，根据二次根式减法运算法则判断．
本题考查二次根式的运算，理解二次根式的性质和二次根式乘法运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，，
解得，，，
，
，
．
故选：．
根据非负数的性质列方程求出、、的值，然后利用勾股定理逆定理判断即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为还考查了勾股定理逆定理，关键是由非负数性质，求出三角形三边之长．
 

7.【答案】 

【解析】解：是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得，
解此方程得到．
故选A．
根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
本题考查的是一元二次方程的解的定义，属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的，
售价不能超过元．
．
故选：．
利用商店销售该商品获得的利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的，即可确定每件商品的售价．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
，
由翻折不变性可知：，，
设，
在中，根据勾股定理得：
，
，
则的长为．
故选D．
由翻折不变性可知：，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：若，即，则，解得负值舍去；
若，即，则，解得正值舍去；
故选：．
根据新定义分和列出方程，再分别求解可得．
本题主要考查了新定义和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次根式的化简求值，比较简单．
把代入二次根式，即可得解．
【解答】
解：当时，二次根式，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
故答案为：．
先求出、，再把原式利用平方差公式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得．
故答案为：．
直接利用一元二次方程的定义得出关于的等式，进而得出答案．
本题考查了一元二次方程的定义．掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
所以实数的取值范围为是且．
故答案为且．
根据根的判别式符号和一元二次方程的定义解答．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，
又，
所以．
故答案为：．
先估算出的大小，再估算的大小，即可得出整数的值．
本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是估算出的大小．
 

16.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
先利用一元二次方程的解的定义得到，则由得到，然后解关于的一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

17.【答案】 或 

【解析】解：如图，
在中，，，
，

故答案为：；
，
，
，
，
，
，
，
当点在线段上时，，
当点在的延长线上时，，
故答案为：或．
利用含角的直角三角形的性质，直接得出答案；
首先利用含角的直角三角形的性质得出，再分点在线段上或点在的延长线上，分别利用勾股定理求出答案．
本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握含角的直角三角形的三边关系是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图，连接，

，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，且，
，
，
故答案为：；
，
故答案为：．
连接，证明≌，得到，再证，利用勾股定理求得；
利用三角形的面积公式直接求得结果．
该题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点，作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
．
原式
． 

【解析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 

【解析】方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：根据前几个式子的规律可知，
第个等式为，
故答案为：；
，
证明：

，
，
故答案为：．
根据前几个式子的规律直接解答即可；
根据前几个式子的规律即可写出第个等式．
本题主要考查数字的变化类，明确题意，发现数字的变化规律是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：为等腰三角形，理由如下：
把代入方程得，则，所以为等腰三角形；
为等腰三角形，理由如下：
根据题意得，即，所以为直角三角形；
为等边三角形，
，
方程化为，即，解得，． 

【解析】把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状；
根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

23.【答案】解：每件商品应降价元，
由题意，得，
解得：，，
有利于减少库存，
．
答：每天要想获得元的利润，每件应降价元． 

【解析】设每天要想获得元的利润，且更有利于减少库存，设每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
 

24.【答案】证明：是等腰直角三角形，，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：连接，如图：

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
由知，
，
，
在中，
；
解：在延长线上取点，使，过作，交延长线于，如图：

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，
． 

【解析】根据是等腰直角三角形，，可得，即可由得≌，故BD；
连接，由是等腰直角三角形，，可得，而，知，由，得，在中，即得；
在延长线上取点，使，过作，交延长线于，可证≌，得，，从而是等腰直角三角形，得，，在中，即得．
本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．