2023年河南省南阳市方城县中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市方城县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“方”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 建 B. 设 C. 美 D. 丽

3.  据央视月初报道，电信技术赋能千行百业，打造数字经济底座．牌照发放三年来，三大电信运营商共投资亿元．把数字亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，，，，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  对于二次函数，下列结论错误的是(    )

A. 它的图象与轴有两个交点 B. 方程的两根之积为
C. 它的图象的对称轴在轴的右侧 D. 时，随的增大而减小

7.  由个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点，，都在格点上，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，点、，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  图是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点的压强单位：与其离水面的深度单位：的函数解析式为，其图象如图所示，其中为青海湖水面大气压强，为常数且计算结果保留一位小数根据图中信息分析，下列结论正确的是(    )
 

A. 青海湖水深处的压强为
B. 青海湖水面大气压强为
C. 函数解析式中自变量的取值范围是
D. 与的函数解析式为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．

12.  已知点在第四象限，则的取值范围是______ ．

13.  如图是根据甲、乙两城市一周的日均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本周的日平均气温较稳定的城市是______选填“甲”或“乙”

14.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为          结果保留．

15.  定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为，中心为，在正方形外有一点，，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
每年的月日为“全国爱眼日”某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．
一、确定调查对象
有以下三种调查方案：
方案一：从七年级抽取名学生，进行视力状况调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取名生，进行视力状况调查；
方案三：从全校名学生中随机抽取名学生，进行视力状况调查．
其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是______；
二、收集整理数据
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为，，，四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．
抽取的学生视力状况统计表

三、分析数据，解答问题
调查视力数据的中位数所在类别为______类；
该校共有学生人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；
为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．

18.  本小题分
如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼的高度进行测量，从小敏家阳台测得点的仰角为，测得点的俯角为，已知观测点到地面的高度，求居民楼的高度结果保留整数．参考数据：，，．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
 

求的值；

若将菱形沿轴正方向平移，当菱形的顶点落在函数的图象上时，求菱形沿轴正方向平移的距离．

20.  本小题分
如图，和它的外接，直径是．
请用尺规作图，作的角平分线，交于；
连接、、，当______时，四边形是菱形；
在的条件下，若，，求的长．

21.  本小题分
某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植、两种花卉，已知盆种花卉和盆种花卉的种植费用为元，盆种花卉和盆种花卉的种植费用为元．
每盆种花卉和每盆种花卉的种植费用各是多少元？
若该景区今年计划种植、两种花卉共盆，相关资料表明：、两种花卉的成活率分别为和，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．

22.  本小题分
掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

求关于的函数表达式．
根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准女生，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

23.  本小题分
综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片折叠，使边、都落在对角线上，展开得折痕、，连接，如图．

______ ，写出图中两个等腰三角形：______ 不需要添加字母；
转一转：将图中的绕点旋转，使它的两边分别交边、于点、，连接，如图．
线段、、之间的数量关系为______ ；不说明理由
连接正方形对角线，若图中的的边、分别交对角线于点、点如图，求的值；
剪一剪：将图中的正方形纸片沿对角线剪开，如图．
若，，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：由正方体的展开图可知：美和建是相对面，方和设是相对面，城和丽是相对面，
故与“方”字所在面相对的面上的汉字是“设”．
故选：．
根据正方体展开图的特征判断相对面即可．
此题考查的是根据正方体的展开图，判断一个面的相对面，掌握正方体相对面的判断方法是解决此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿，
亿，
故选：．
科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
本题考查了用科学记数法表示较大的数，解题关键在于正确换算单位．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得出，根据垂直的定义得出，进而即可求解．
本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角度的计算，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
直接利用二次函数与轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．
【解答】
解：、，
二次函数的图象与轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
B、方程的两根之积为：，故此选项正确，不合题意；
C、的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；
D、，对称轴，
时，随的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：如图，延长于点，

网格是由个形状相同，大小相等的菱形组成，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
故选：．
延长于点，根据菱形的性质可得：是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，进而可得，进而可得的值．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果有种，
两次都摸到相同颜色的小球的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，如图，

点、，
，．
线段平移得到线段，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
，．
，
．
，，
．
，
∽．
．
，，
，
．
故选：．
过点作轴于点，利用点，的坐标表示出线段，的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段，的长，进而得到的长，则结论可得．
本题主要考查了图形的变化与坐标的关系，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，直线过点和，
，
解得．
直线解析式为：故D错误，不符合题意；
青海湖水面大气压强为，故B错误，不符合题意；
根据实际意义，，故C错误，不符合题意；
将代入解析式，
，即青海湖水深处的压强为，故A正确，符合题意．
故选：．
由图象可知，直线过点和由此可得出和的值，进而可判断，；根据实际情况可得出的取值范围，进而可判断；将代入解析式，可求出的值，进而可判断．
本题主要考查一次函数的实际应用，涉及一次函数的图象和性质，待定系数法等知识．关键是计算过程中需要结合实际意义．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在第四象限，
，
解得，
故答案为：．
根据第四象限点的特点，，，可得答案．
本题主要考查坐标系内点的坐标符号特点及解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

13.【答案】乙 

【解析】解：由图知，乙的气温波动较小，故本周的日平均气温稳定的是乙城市．
故答案为：乙．
根据方差的性质：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．据此判断即可．
本题主要考查了方差的性质，掌握利用方差判断稳定性是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
      连接，由扇形面积三角形面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接，

，
，
，
为等边三角形，
，，

，
阴影部分的面积为．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图：设的中点是，过点时，点与边上所有点的连线中，最小，此时最大，过顶点时，点与边上所有点的连线中，最大，此时最小，

如图：正方形边长为，为正方形中心，
，，，
，
，
；
如图：正方形边长为，为正方形中心，
，，，
，
，
；
的取值范围为．
故答案为：．
由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，最大，过正方形的顶点时，最小，分别求出的值即可得出答案．
本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出最大、最小时点的位置是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先化简立方根，零指数幂以及负指数幂，再根据有理数运算法则计算即可；
先因式分解，再根据分式的运算法则计算化简即可．
本题主要考查立方根，零指数幂，负指数幂以及分式的化简，熟练掌握立方根，零指数幂，负指数幂以及分式的化简计算方法是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：方案三  ；；
调查的总人数为：人，
由题意可知，人，
人，
人，
所以该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为人；
该校学生近视程度为中度及以上占，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控答案不唯一． 

【解析】解：根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校名学生中随机抽取名学生，进行视力状况调查，作为样本进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
由题意可得，调查视力数据的中位数所在类别为类；
故答案为：；
调查的总人数为：人，
由题意可知，人，
人，
人，
所以该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为人；
该校学生近视程度为中度及以上占，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控答案不唯一．
根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
根据中位数的定义解答即可；
利用样本估计总体即可；
根据数据提出一条建议即可．
本题考查扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
 

18.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
由题意得，，，，
在中，，
，
在中，，，
，
，
答：居民楼的高度约为． 

【解析】通过作高，构造直角三角形，在两个直角三角形中用直角三角形的边角关系可求出、即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

19.【答案】解：过点作轴的垂线，垂足为，
点的坐标为，
，，
，
，
点坐标为，
，
；
将菱形沿轴正方向平移，使得点落在函数的图象点处，
过点做轴的垂线，垂足为．
，
，
点的纵坐标为，
点在的图象上
，
解得：，
即，
，
菱形平移的距离为． 

【解析】过点作轴的垂线，垂足为，首先得出点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可；
将菱形沿轴正方向平移，使得点落在函数的图象点处，得出点的纵坐标为，求出其横坐标，进而得出菱形平移的距离．
此题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数图象上点的坐标性质，得出点坐标是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图所示，射线即为所求；

当时，四边形是菱形，理由如下：
连接交于，
是的直径，
，
，
平分，
，
，
，
和是等边三角形，
，
四边形是菱形；
连接，
是的直径，

，
在中，，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
在中，
．
根据角平分线的作法即可作出射线；
当时，四边形是菱形，证得和是等边三角形即可；
连接，根据勾股定理求出，由等腰三角形的判定和平行线的判定证得，由三角形中位线定理求出，进而求出，根据勾股定理求出，．
本题主要考查了基本作图，菱形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定，圆周角定理，解决问题的关键：熟练掌握角平分线的作法和菱形的判定方法；根据圆周角定理证得和是直角三角形．
 

21.【答案】解：设每盆种花卉种植费用为元，每盆种花卉种植费用为元，根据题意，
得：，
解得：，
答：每盆种花卉种植费用为元，每盆种花卉种植费用为元；
设种植种花卉的数量为盆，则种植种花卉的数量为盆，种植两种花卉的总费用为元，
根据题意，得：，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，的最小值，
答：种植、两种花卉各盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为元． 

【解析】设每盆种花卉种植费用为元，每盆种花卉种植费用为元，根据题意列出关于的二元一次方程组，求解即可；
设种植种花卉的数量为盆，则种植种花卉的数量为盆，种植两种花卉的总费用为元，由题意：这两种花卉在明年共补的盆数不多于盆，列出一元一次不等式，解得，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：设关于的函数表达式为．
把代入解析式，得，
解得．
．
该女生在此项考试中是得满分．
理由：令，即，
解得，舍去．
该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为，大于．
该女生在此项考试中是得满分． 

【解析】根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
 

23.【答案】  ，   

【解析】解：由翻折的性质可知：，，
四边形为正方形，
，，
，为等腰三角形，
，
，
，
，
故答案是：；，；

结论：理由如下：
如图中，延长到，使得．

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
．
故答案为：．

，为正方形对角线，
，
，，
，
，，
，
∽，
；

如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接．

，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，，
．
，，
．
由翻折的性质可知：，，，根据正方形的性质：，，则，，为等腰三角形；
结论：如图中，延长到，使得证明≌，可得结论．
证明∽即可得出结论；
如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接证明≌，，可得结论．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键．