2023年高考数学押题卷01（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省新高考专用）（含考试版、全解全析、参考答案、答题卡）

2023年高考押题预测卷01【云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省专用】

数学•全解全析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.

【详解】集合，.

要使，只需，解得：.

故选：A

2．设i为虚数单位，且，则的虚部为（    ）

A． B．2 C．2i D．

【答案】B

【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出，即可求出的虚部.

【详解】由可得：，

则，所以的虚部为2.

故选：B.

3．设向量，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先根据，求的值，再判断充分，必要条件.

【详解】由条件可知，，

得，化简得，

得或，

即或

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（    ）

A．24 B．25 C．26 D．27

【答案】A

【分析】由二项分布及其期望计算即可.

【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；

设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．

X所有可能的取值为0，1，2，，n，则，；

Y所有可能的取值为0，1，2，，32-n，则，，

所以获胜的业余棋手总人数的期望，解得．

故选：A．

5．若，则（    ）

A． B．1 C．15 D．16

【答案】C

【分析】利用赋值法结合条件即得.

【详解】因为，

令得，，

令得，，

所以，．

故选：C.

6．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数只有1为公约数，则称互质，对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，.记为数列的前项和，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意分析可得，结合等比数列求和公式运算求解.

【详解】由题意可知：若正整数与不互质，则为3的倍数，共有个，

故，

∵，即数列是以首项，公比的等比数列，

故.

故选：D.

7．已知函数，，下列命题中：

①的最小正周期是，最大值是；

②；

③的单调增区间是（）；

④将的图象向右平移个单位得到的函数是偶函数，

其中正确个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】化简可得，即可求出周期、最大值，得出①；代入化简，即可得出②；解，即可得出③；根据图象平移，得出，求出即可判断④.

【详解】.

对于①，，

因为，所以的最大值为，故①正确；

对于②，

，故②正确；

对于③，由可得，

，

所以，的单调增区间是（），故③正确；

对于④，将的图象向右平移个单位得到的函数为

，

，故④错误.

综上所述，①②③正确.

故选：C.

8．已知是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意不等式等价于，再根据函数的单调性分和两种情况讨论即可得解.

【详解】因为是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，

所以在上单调递增，

由，得，

当时，由，得，

当时，由，得，

所以原不等式的解集为.

故选：A.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知点，，点P为圆C：上的动点，则（    ）

A．面积的最小值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】BCD

【分析】对于A，点P动到圆C的最低点时，面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到点时，取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当运动到与圆C相切时，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.

【详解】，

圆C是以为圆心，为半径的圆.

对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，

，故选项A错误；

对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确；

对于C，当运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，，

，故选项C正确；

对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确；

故选：BCD.

10．如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（    ）

A．

B．直线PC与直线异面

C．存在点P使得PC与所成的角为60°

D．存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°

【答案】ABD

【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；证明平面，PC平面，可判断B；求出PC与所成的角的最大值恒小于60°可判断C；求出PC与底面ABCD所成的角为60°时，的长度可判断D.

【详解】对A，在正方体中，易得，底面，

平面，，

，平面，则平面，

因为平面，所以，故A正确；

对B，因为平面，平面，平面，且，

所以直线PC与直线异面，故B正确；

对C，因为，所以PC与所成的角即为PC与所成的角，

由图可知，当点位于点处时，最大，此时，

所以PC与所成的角恒小于60°，故C不正确；

对D，过点作平面交直线于点，则，

设正方体的边长为，PC与底面ABCD所成的角即为，

若，则，

则，所以存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°.

故D正确.

故选：ABD.

11．以下说法正确的是（    ）

A．89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95

B．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点

C．相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强

D．已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥

【答案】ACD

【分析】对于A选项：结合百分位数的定义即可求解；

对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；

对于C选项：根据相关系数的性质即可判断；

对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.

【详解】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则不是整数，则第75百分位数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95，所以A选项正确；

对于B选项：线性回归方程不一定经过点，，，中的任何一个点，但一定经过样本的中心点即，所以B选项错误；

对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于，所以C选项正确；

对于D选项：因为，则，

则事件与相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确；

故选：ACD.

12．已知函数满足：①为偶函数；②，．是的导函数，则下列结论正确的是（    ）

A．关于对称 B．的一个周期为

C．不关于对称 D．关于对称

【答案】ABD

【分析】A选项，对两边求导可判断选项正误；

B选项，由①②可知的一个周期为，即可判断选项正误；

C选项，验证是否等于2d即可判断选项正误；

D选项，验证是否成立可判断选项正误.

【详解】A选项，由两边求导得，即关于对称，故A正确；

B选项，由为偶函数，知.

又，

则

，即的一个周期为，则的一个周期为，故B正确；

C选项，注意到当时，.

则，即此时

关于，即对称，故C错误；

D选项，由为偶函数，知关于对称，即，则，即关于对称，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知 ，若对任意，都有，则的最大值为________.

【答案】/0.5

【分析】运用整体法，根据正弦型函数的图像求解.

【详解】由题意， ， ，又， ，

由正弦函数的单调性和周期性可知： ；

故答案为： .

14．平面四边形中，，，，，，点在直线上，点在直线上，且，，，则的最小值为______.

【答案】

【分析】过点作于点，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知得出点以及向量的坐标，根据，得出，然后根据基本不等式“1”的代换，即可得出答案.

【详解】过点作于点.

因为，，

所以，，.

如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，，，

所以，，，

所以，，.

因为，

所以有，

所以，所以，

所以，，

当且仅当，即，时等号成立.

故答案为：.

15．如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：

①当为的中点时，平面；

②存在点，使得；

③三棱锥的体积为定值；

④三棱锥的外接球的体积为.

其中正确的结论序号为__________.

【答案】③

【分析】根据线面平行的判定定理，及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.

【详解】①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，如下所示：

因为分别为的中点，故可得//，，

根据已知条件可知： //，故//，

故四边形为平行四边形，则//，显然与面，

故与面相交，即不平行，故①错误；

②：因为面面，故，

又四边形为矩形，故，则两两垂直，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：

则，设，，

所以，故不垂直，故②错误；

③：，因为均为定点，故为定值，

又//面面，故//面，

又点在上运动，故点到面的距离是定值，

故三棱锥的体积为定值，则③正确；

④：取△的外心为，过作平面的垂线，

则三棱锥的外接球的球心一定在上，

因为面，面面，则，又，

面，故面,即面，

则//，故在同一个平面，过作，连接如图所示.

在△中，容易知，

由余弦定理得，故，

由正弦定理得；

设三棱锥的外接球半径为，则，且P为BC中点，

在△中，，又，

由勾股定理知：，即，

该棱锥外接球的体积，故④错误.

故答案为：③.

16．已知双曲线C：的左顶点为A，P为C的一条渐近线上一点，AP与C的另一条渐近线交于点Q，若直线AP的斜率为1，且A为PQ的三等分点，则C的离心率为______．

【答案】

【分析】写出直线的方程为，将其分别与双曲线渐近线联立解出的纵坐标，根据为的三等分点，得到关于的方程，最后化为关于的齐次方程，即可得到离心率.

【详解】不妨设点在第二象限，直线的方程为，

联立，得点的纵坐标;

联立，得点的纵坐标.

由为的三等分点,可知，则有，整理得,

则，则，故的离心率.

故答案为：.

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求A；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系得，根据余弦定理求的余弦值，进而确定其大小；

（2）由已知和余弦定理得，再由求面积最大值，注意取值条件.

【详解】（1）由已知，

即，由正弦边角关系得，

所以，又，所以.

（2）由余弦定理，得，又，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，故的面积的最大值为.

18．（12分）已知数列中，，．

(1)记，证明：数列为等比数列；

(2)求数列的通项公式；

(3)记，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由已知可推出，即可得出证明；

（2）求出，写出的通项公式，即可得出；

（3）将的表达式代入，裂项可推得，然后求和即可得出答案.

【详解】（1）因为，

故数列是公比为2的等比数列.

（2）因为，

所以，

所以，

所以.

（3）因为，

所以

．

19．（12分）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：在等腰梯形中，，，，

过点C作于E，则，可知，

由余弦定理知，

则，所以.

又，，，平面，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）解：因为平面，，所以C为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系.

则，，，，

，，.

设平面的法向量为，

则，令，则，即.

设直线与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为.

20．（12分）今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段所占百分比如图所示：

年龄在19-35岁的人群称为青年人群，已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的青年游客概率为.

(1)请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否为青年有关；

(2)按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人是青年人的概率.

附：①，其中.

②

【答案】(1)列联表答案见解析，能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否青年有关

(2)

【分析】（1）先求出青年游客预订旅游人数，再求出青年游客不预订旅游的人数，从而得到列联表，再利用列联表求出的值，从而得到结论；

（2）先求出每层抽取的人数，再求出基本事件的个数和事件包含的个数，利用古典概率公式即可求出结果.

【详解】（1）200名有预订的游客中，青年游客人数为，

200名不预订的游客中，青年游客人数为，

可知列联表如下

所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否青年有关.

（2）按分层抽样，从预定游客中选取5人，

其中青年游客的人数为人，非青年游客2人，

所以从5人中任取3人，其中至少有2人是青年人的概率为

.

21．（12分）已知椭圆经过点，离心率为，与轴交于两点，，过点的直线与交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为原点，当点异于点时，求证：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由椭圆过点及离心率，可得椭圆方程；

（2）法一：设直线方程，联立方程组确定点，联立直线，方程可得，从而确定；法二：设，分别表示直线，，进而表示点，即可确定，若直线过点，可得，当直线不过点时，要证，即证，化简即可得证；法三：设，分别表示直线，，进而表示点，即可确定，化简即可.

【详解】（1）由题意得，

又因为，解得，，

所以的方程为；

（2）

法一：

若的斜率不存在，则，

此时，，不符合题意，

若的斜率存在，则设的斜率为，则的方程为，

 联立方程，得，

解得，，

所以，

所以，

，

则，

又，

，

联立，的方程，解得：，，

所以点坐标为，

直线，令，解得：，

所以，

所以为定值.

法二：

若在轴上，则，

此时，，不符合题意，

设， 则，且，，

，，，

，，

消去得，

，

解得，

，，

令，解得，

，

特别地，当过点时，，，此时，

要证恒成立，即恒成立，

只需证，

即证，

即证，

即，

上式显然成立，

所以.

法三：

若在轴上，则，

此时，，不符合题意，

设， 则，且，，

，，，

，，

消去得，

，

解得，

，，

令，解得，

所以为定值.

22．（12分）已知函数，为的导数．

(1)讨论的单调性；

(2)若直线与曲线有两个交点，求a的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）设，对求导，分和讨论即可；

（2）分离参数得，设，利用导数研究其值域与图像即可.

【详解】（1）设的定义域为,.

当时,在上为增函数,在上单调递增;

当时,令,得.

若,则单调递增,

若,则单调递减.

综上,当时,在上单调递增;

当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.

（2）直线与曲线有两个交点,即关于的方程有两个解,

整理方程,得.

令,其中,

则.

令，则.

当时, ,此时函数单调递增,

当时, ,此时函数单调递减.

由,

得时,,则,

当时,,则,

当时,,则,

则函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,

则.

当趋近于时,趋近于0,即当时,;

当趋近于0时,趋近于,

作出如图所示图象：

故要使直线与曲线有两个交点,则需,

即的取值范围是.