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    2023年高考数学押题卷01(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省新高考专用)(含考试版、全解全析、参考答案、答题卡)
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    2023年高考押题预测卷01【云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省专用】

    数学全解全

    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

    1.已知集合,若,则实数的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.

    【详解】集合.

    要使,只需,解得:.

    故选:A

    2.设i为虚数单位,且,则的虚部为(    

    A B2 C2i D

    【答案】B

    【分析】由复数的乘法运算化简,再由复数相等求出,即可求出的虚部.

    【详解】由可得:

    ,所以的虚部为2.

    故选:B.

    3.设向量,则“”“”的(    

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】B

    【分析】首先根据,求的值,再判断充分,必要条件.

    【详解】由条件可知,

    ,化简得

    得或

    即或

    所以“”“”的必要不充分条件.

    故选:B

    432名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛,每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛,每盘比赛结果相互独立,若获胜的业余棋手人数不少于10名,则业余棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为,每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为,若业余棋手队获胜,则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为(    

    A24 B25 C26 D27

    【答案】A

    【分析】由二项分布及其期望计算即可.

    【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X,选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y

    设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n,则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n

    X所有可能的取值为012,,n,则,;

    Y所有可能的取值为012,,32-n,则

    所以获胜的业余棋手总人数的期望,解得.

    故选:A

    5.若,则    

    A B1 C15 D16

    【答案】C

    【分析】利用赋值法结合条件即得.

    【详解】因为

    令得,,

    令得,

    所以,

    故选:C.

    6.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数,公式和定理,若正整数只有1为公约数,则称互质,对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的个数,函数以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如:.记为数列的前项和,则(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】根据题意分析可得,结合等比数列求和公式运算求解.

    【详解】由题意可知:若正整数与不互质,则为3的倍数,共有个,

    ,即数列是以首项,公比的等比数列,

    .

    故选:D.

    7.已知函数,,下列命题中:

    的最小正周期是,最大值是;

    的单调增区间是();

    将的图象向右平移个单位得到的函数是偶函数,

    其中正确个数为(    

    A1 B2 C3 D4

    【答案】C

    【分析】化简可得,即可求出周期、最大值,得出;代入化简,即可得出;解,即可得出;根据图象平移,得出,求出即可判断④.

    【详解】.

    对于,,

    因为,所以的最大值为,故正确;

    对于

    ,故正确;

    对于,由可得,

    所以,的单调增区间是(),故正确;

    对于,将的图象向右平移个单位得到的函数为

    ,故错误.

    综上所述,①②③正确.

    故选:C.

    8.已知是定义在上的奇函数,,且在上单调递增,则不等式的解集为(    

    A B

    C D

    【答案】A

    【分析】由题意不等式等价于,再根据函数的单调性分和两种情况讨论即可得解.

    【详解】因为是定义在上的奇函数,,且在上单调递增,

    所以在上单调递增,

    ,得,

    当时,由,得,

    当时,由,得,

    所以原不等式的解集为.

    故选:A.

     

    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

    9.已知点,,点P为圆C上的动点,则(    

    A.面积的最小值为 B.的最小值为

    C.的最大值为 D.的最大值为

    【答案】BCD

    【分析】对于A,点P动到圆C的最低点时,面积的最小值,利用三角形面积公式;对于B,当点P动到点时,取到最小值,通过两点间距离公式即可求解;对于C,当运动到与圆C相切时,取得最大值,利用正弦值,求角即可求解;对于D,利用平面向量数量积的几何意义进行求解.

    【详解】

    C是以为圆心,为半径的圆.

    对于A,面积的最小值为点P动到圆C的最低点时,

    ,故选项A错误;

    对于B,连接交圆于点,当点P动到点时,取到最小值为,故选项B正确;

    对于C,当运动到与圆C相切时,取得最大值,设切点为,

    ,故选项C正确;

    对于D,当点P动到点时,取得最大值,即在上的投影,,故选项D正确;

    故选:BCD.

    10.如图,在正方体中,点P为线段上的一个动点(不包含端点),则(    

    A

    B.直线PC与直线异面

    C.存在点P使得PC与所成的角为60°

    D.存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°

    【答案】ABD

    【分析】由线面垂直的判定定理可判断A;证明平面,PC平面,可判断B;求出PC与所成的角的最大值恒小于60°可判断C;求出PC与底面ABCD所成的角为60°时,的长度可判断D.

    【详解】对A,在正方体中,易得,底面,

    平面,

    平面,则平面,

    因为平面,所以,故A正确;

    B,因为平面,平面,平面,且,

    所以直线PC与直线异面,故B正确;

    C,因为,所以PC与所成的角即为PC与所成的角,

    由图可知,当点位于点处时,最大,此时

    所以PC与所成的角恒小于60°,故C不正确;

    D,过点作平面交直线于点,则,

    设正方体的边长为,PC与底面ABCD所成的角即为,

    ,则

    ,所以存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°.

    D正确.

    故选:ABD.

    11.以下说法正确的是(    

    A899091929394959697的第75百分位数为95

    B.具有相关关系的两个变量xy的一组观测数据,,,,由此得到的线性回归方程为,回归直线至少经过点,,,中的一个点

    C.相关系数r的绝对值越接近于1,两个随机变量的线性相关性越强

    D.已知随机事件AB满足,,且,则事件AB不互斥

    【答案】ACD

    【分析】对于A选项:结合百分位数的定义即可求解;

    对于B选项:结合经验回归方程的性质即可求解;

    对于C选项:根据相关系数的性质即可判断;

    对于D选项:根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.

    【详解】对于A选项:从小到大排列共有9个数据,则不是整数,则第75百分位数为从小到大排列的第7个数据,即第75百分位数为95,所以A选项正确;

    对于B选项:线性回归方程不一定经过点,,,中的任何一个点,但一定经过样本的中心点即,所以B选项错误;

    对于C选项:若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数的绝对值越接近于,所以C选项正确;

    对于D选项:因为,则

    则事件与相互独立,所以事件AB不互斥,所以D选项正确;

    故选:ACD.

    12.已知函数满足:为偶函数;,.是的导函数,则下列结论正确的是(    

    A.关于对称 B.的一个周期为

    C.不关于对称 D.关于对称

    【答案】ABD

    【分析】A选项,对两边求导可判断选项正误;

    B选项,由①②可知的一个周期为,即可判断选项正误;

    C选项,验证是否等于2d即可判断选项正误;

    D选项,验证是否成立可判断选项正误.

    【详解】A选项,由两边求导得,即关于对称,故A正确;

    B选项,由为偶函数,知.

    ,即的一个周期为,则的一个周期为,故B正确;

    C选项,注意到当时,.

    ,即此时

    关于,即对称,故C错误;

    D选项,由为偶函数,知关于对称,即,则,即关于对称,故D正确.

    故选:ABD

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

    13.已知 ,若对任意,都有,则的最大值为________.

    【答案】/0.5

    【分析】运用整体法,根据正弦型函数的图像求解.

    【详解】由题意, ,又,

    由正弦函数的单调性和周期性可知:

    故答案为: .

    14.平面四边形中,,,,,,点在直线上,点在直线上,且,,则的最小值为______.

    【答案】

    【分析】过点作于点,以点为坐标原点,建立平面直角坐标系,根据已知得出点以及向量的坐标,根据,得出,然后根据基本不等式“1”的代换,即可得出答案.

    【详解】过点作于点.

    因为,

    所以,,.

    如图,以点为坐标原点,分别以所在的直线为轴,建立平面直角坐标系,

    则,,,,,

    所以,

    所以,

    所以,.

    因为

    所以有

    所以,所以,

    所以,

    当且仅当,即时等号成立.

    故答案为:.

    15.如图,多面体中,面为正方形,平面,且为棱的中点,为棱上的动点,有下列结论:

    当为的中点时,平面;

    存在点,使得;

    三棱锥的体积为定值;

    三棱锥的外接球的体积为.

    其中正确的结论序号为__________.

    【答案】

    【分析】根据线面平行的判定定理,及线线垂直的判定,结合棱锥体积的计算公式,以及棱锥外接球半径的求解,对每一项进行逐一求解和分析即可.

    【详解】:当HDE的中点时,取中点为,连接,如下所示:

    因为分别为的中点,故可得//

    根据已知条件可知: //,故//

    故四边形为平行四边形,则//,显然与面,

    故与面相交,即不平行,故错误;

    :因为面面,故

    又四边形为矩形,故,则两两垂直,

    以为坐标原点,建立空间直角坐标系如下所示:

    ,设,,

    所以,故不垂直,故错误;

    ,因为均为定点,故为定值,

    //面,故//面,

    又点在上运动,故点到面的距离是定值,

    故三棱锥的体积为定值,则正确;

    :取的外心为,过作平面的垂线,

    则三棱锥的外接球的球心一定在上,

    因为面,面面,则,又,

    面,故面,即面,

    //,故在同一个平面,过作,连接如图所示.

    中,容易知

    由余弦定理得,故

    由正弦定理得

    设三棱锥的外接球半径为,则,且PBC中点,

    中,,又

    由勾股定理知:,即,

    该棱锥外接球的体积,故错误.

    故答案为:③.

    16.已知双曲线C的左顶点为APC的一条渐近线上一点,APC的另一条渐近线交于点Q,若直线AP的斜率为1,且APQ的三等分点,则C的离心率为______

    【答案】

    【分析】写出直线的方程为,将其分别与双曲线渐近线联立解出的纵坐标,根据为的三等分点,得到关于的方程,最后化为关于的齐次方程,即可得到离心率.

    【详解】不妨设点在第二象限,直线的方程为,

    联立,得点的纵坐标;

    联立,得点的纵坐标.

    由为的三等分点,可知,则有,整理得,

    ,则,故的离心率.

    故答案为:.

     

    四、解答题:6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    1710分)的内角ABC的对边分别为abc,已知.

    (1)A

    (2)若,求面积的最大值.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】(1)由二倍角余弦公式及正弦边角关系得,根据余弦定理求的余弦值,进而确定其大小;

    2)由已知和余弦定理得,再由求面积最大值,注意取值条件.

    【详解】(1)由已知

    ,由正弦边角关系得

    所以,又,所以.

    2)由余弦定理,得,又,

    所以,当且仅当时等号成立,

    所以,故的面积的最大值为.

    1812分)已知数列中,,

    (1)记,证明:数列为等比数列;

    (2)求数列的通项公式;

    (3),求数列的前项和.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)

    (3)

     

    【分析】(1)由已知可推出,即可得出证明;

    2)求出,写出的通项公式,即可得出;

    3)将的表达式代入,裂项可推得,然后求和即可得出答案.

    【详解】(1)因为

    故数列是公比为2的等比数列.

    2)因为

    所以

    所以,

    所以.

    3)因为

    所以

    1912分)在四棱锥中,四边形为等腰梯形,,,,.

    (1)证明:平面平面;

    (2)若,,求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)

     

    【详解】(1)证明:在等腰梯形中,,,,

    过点C作于E,则,可知

    由余弦定理知

    ,所以.

    又,,,平面,

    所以平面.

    又平面,所以平面平面.

    2)解:因为平面,,所以C为坐标原点,,的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系.

    ,,

    .

    设平面的法向量为

    ,令,则,即.

    设直线与平面所成的角为,

    即直线与平面所成角的正弦值为.

    2012分)今年以来,人们的出行需求持续释放,各种旅游项目态势火爆,旅游预订人数也开始增多.某调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查,其中有200名游客进行了预订,这200名游客中各年龄段所占百分比如图所示:

    年龄在19-35岁的人群称为青年人群,已知在所有调查游客中随机抽取1人,抽到不预订的青年游客概率为.

    (1)请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为旅游预订与是否为青年有关;

     

    预定旅游

    不预定旅游

    合计

    青年

     

     

     

    非青年

     

     

     

    合计

     

     

     

    (2)按照分层抽样的方法,从预订旅游客群中选取5人,再从这5人中任意选取3人,求3人中至少有2人是青年人的概率.

    附:,其中.

    0.050

    0.010

    0.001

     

    3.841

    6.635

    10.828

     

    【答案】(1)列联表答案见解析,能在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为旅游预订与是否青年有关

    (2)

     

    【分析】(1)先求出青年游客预订旅游人数,再求出青年游客不预订旅游的人数,从而得到列联表,再利用列联表求出的值,从而得到结论;

    2)先求出每层抽取的人数,再求出基本事件的个数和事件包含的个数,利用古典概率公式即可求出结果.

    【详解】(1200名有预订的游客中,青年游客人数为

    200名不预订的游客中,青年游客人数为

    可知列联表如下

     

    预订旅游

    不预订旅游

    合计

    青年

    120

    75

    195

    非青年

    80

    125

    205

    合计

    200

    200

    400

    所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为旅游预订与是否青年有关.

    2)按分层抽样,从预定游客中选取5人,

    其中青年游客的人数为人,非青年游客2人,

    所以从5人中任取3人,其中至少有2人是青年人的概率为

    .

    2112分)已知椭圆经过点,离心率为,与轴交于两点,,过点的直线与交于另一点,并与轴交于点,直线与直线交于点.

    (1)求椭圆的方程;

    (2)设为原点,当点异于点时,求证:为定值.

    【答案】(1)

    (2)证明见解析

     

    【分析】(1)由椭圆过点及离心率,可得椭圆方程;

    2)法一:设直线方程,联立方程组确定点,联立直线,方程可得,从而确定;法二:设,分别表示直线,,进而表示点,即可确定,若直线过点,可得,当直线不过点时,要证,即证,化简即可得证;法三:设,分别表示直线,,进而表示点,即可确定,化简即可.

    【详解】(1)由题意得,

    又因为,解得,,

    所以的方程为

    2

    法一:

    若的斜率不存在,则,

    此时,,不符合题意,

    若的斜率存在,则设的斜率为,则的方程为,

     联立方程,得

    解得,

    所以

    所以

    联立,的方程,解得:,

    所以点坐标为

    直线,令,解得:,

    所以,

    所以为定值.

    法二:

    若在轴上,则,

    此时,,不符合题意,

    设, 则,且,,

    消去得

    解得

    令,解得,

    特别地,当过点时,,,此时

    要证恒成立,即恒成立,

    只需证

    即证

    即证

    即,

    上式显然成立,

    所以.

    法三:

    若在轴上,则,

    此时,,不符合题意,

    设, 则,且,,

    消去得

    解得

    令,解得,

     

    所以为定值.

    2212分)已知函数,为的导数.

    (1)讨论的单调性;

    (2)若直线与曲线有两个交点,求a的取值范围.

    【答案】(1)见解析

    (2)

     

    【分析】(1)设,对求导,分和讨论即可;

    2)分离参数得,设,利用导数研究其值域与图像即可.

    【详解】(1)设的定义域为,.

    当时,在上为增函数,在上单调递增;

    当时,,.

    ,单调递增,

    ,单调递减.

    综上,当时,在上单调递增;

    当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.

    2)直线与曲线有两个交点,即关于的方程有两个解,

    整理方程,.

    ,其中,

    .

    ,则.

    当时, ,此时函数单调递增,

    当时, ,此时函数单调递减.

    ,

    得时,,,

    当时,,,

    当时,,,

    则函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,

    .

    当趋近于时,趋近于0,即当时,;

    当趋近于0,趋近于,

    作出如图所示图象:

    故要使直线与曲线有两个交点,则需,

    即的取值范围是.


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