2022年上海市徐汇区高三6月线下高考三模数学试卷含答案解析

徐汇区高三线下复课数学自评试卷

2022.06

一､填空题

1. 已知复数，（其中为虚数单位），则___________.

2. 已知集合，，则___________.

3. 设等差数列的前n项和为，若，则等于___________.

4. 函数的反函数为，则___________.

5. 已知，则___________.

6. 已知多项式，则___________.

7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为___________.

8. 某校航模队甲组有10名队员，其中4名女队员，乙组也有10名队员，其中6名女队员.现采用分层抽样（层内采用不放回随机抽样）从甲､乙两组中共抽取4名队员进行技术考核，则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为___________.

9. 设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.

10. 设是直线与圆在第一象限的交点，则___________.

11. 已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.

12. 已知一簇双曲线：，设双曲线的左､右焦点分别为､，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则___________.

二､选择题

13. 已知空间三条直线a､b､m及平面，且a､，条件甲：，；条件乙：，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（    ）

A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充分且必要条件 D. 既非充分也非必要条件

14. 函数图象的大致形状是（    ）

A.  B.

C.  D.

15. 当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时，该点的坐标是（    ）.

A  B.  C.  D.

16. 已知函数，，对于不相等实数、，设，，现有如下命题：

①对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得；

②对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，

下列判断正确的是（    ）

A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题

三､解答题

17. 如图，在正三棱住中，，异面直线与所成角的大小为．

（1）求正三棱柱的体积；

（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）在为锐角的中，角、、的对边分别为、、，若，，且的面积为，求的值.

19.  某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

20. 已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，的最大值；

（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值.

21. 记实数、中较小者，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.

（1）已知数列、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；

（2）已知首项为，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；

（3）若数列满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.

徐汇区高三线下复课数学自评试卷

2022.06

一､填空题

1. 已知复数，（其中为虚数单位），则___________.

【答案】

【分析】利用复数的乘法化简可得结果.

【详解】由已知可得.

故答案为：.

2. 已知集合，，则___________.

【答案】

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果.

【详解】因为，因此，.

故答案为：.

3. 设等差数列的前n项和为，若，则等于___________.

【答案】45

【分析】根据等差数列的性质有，再结合条件，求得，最后由求解.

【详解】由等差数列的性质得：，

又因为，

所以，

解得，

所以.

故答案为：45

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.

4. 函数的反函数为，则___________.

【答案】

【分析】设，利用反函数的性质求出的值，即可得解.

【详解】设，则点在函数的图象上，

所以，，解得，因此，.

故答案为：.

5. 已知，则___________.

【答案】##

【分析】利用诱导公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果.

【详解】，因此，.

故答案为：.

6. 已知多项式，则___________.

【答案】

【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可求得的值.

【详解】因为的展开式通项为，的展开式通项为，

由，可得，所以，.

故答案为：.

7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为___________.

【答案】

【分析】由，得到，然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解.

【详解】解：当抛物线开口向右时，如图所示：

因为，

所以，

由抛物线的定义得，

所以是等边三角形，

所以，

所以抛物线的方程是，

同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为：，

综上：抛物线的方程为：，

故答案为：

8. 某校航模队甲组有10名队员，其中4名女队员，乙组也有10名队员，其中6名女队员.现采用分层抽样（层内采用不放回随机抽样）从甲､乙两组中共抽取4名队员进行技术考核，则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为___________.

【答案】

【分析】利用分层抽样，求出从甲组中抽取2名队员，从乙组抽取2名队员，得到一共的选法，再求出乙组抽取的队员中恰有一名女队员的选法，利用古典概型概率公式求出答案.

【详解】利用分层抽样，从甲组中抽取2名队员，从乙组抽取2名队员，则共有种选法，从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的选法有种选法，

所以从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.

故答案为：

9. 设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.

【答案】

【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果.

【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，

因为，，则，，故，

因为平面，平面，，

所以，为直线、的公垂线，故，

因为，，，

所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为，

因此，该圆锥的侧面积为.

故答案为：.

10. 设是直线与圆在第一象限的交点，则___________.

【答案】

【分析】求出直线与圆在第一象限内的交点坐标，分析可知当时，的值会无限趋近于点与点连线的斜率，结合斜率公式可求得的值.

【详解】联立，解得，

因为，当时，直线趋近于直线，

此时，直线与圆在第一象限的交点趋近于点，

而可视为点与点连线的斜率，

当时，的值会无限趋近于点与点连线的斜率，

故.

故答案：.

11. 已知､是空间相互垂直单位向量，且，，则的最小值是___________.

【答案】3

【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到，求出最小值，进而求出答案.

【详解】因为互相垂直，所以，

，

当且仅当时，取得最小值，最小值为9，

则的最小值为3.

故答案为：3

12. 已知一簇双曲线：，设双曲线的左､右焦点分别为､，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则___________.

【答案】

【分析】分析得到为右顶点，从而，利用等差数列求和公式进行计算.

【详解】如图，由双曲线定义可知：，

而根据切线长定理得：，，，

所以，

即，解得：，即为右顶点，

，故，

所以

故答案为：

二､选择题

13. 已知空间三条直线a､b､m及平面，且a､，条件甲：，；条件乙：，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充分且必要条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】由充要条件的定义进行判断即可

【详解】由题意，空间三条直线a､b､m及平面，且a､，

由线面垂直判定定理可得：，，且需要与相交才能得出，故甲不能推出乙；

而由线面垂直的定义可得，则必垂直内任意直线，即，，故乙能推出甲；

故由充要条件的定义可知，乙是甲的充分不必要条件

故选：A

14. 函数图象的大致形状是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【分析】

分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号，可得出合适的选项.

【详解】，该函数的定义域为，

，函数为偶函数，

当时，，，，此时.

因此，函数图象的大致形状是C选项中的函数图象.

故选：C.

【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

15. 当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时，该点的坐标是（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【分析】将两个参数方程都化为直角坐标方程，由题意可知过圆心且垂直于直线的直线与圆的交点，就是所求的点

【详解】解：曲线(为参数)的直角坐标方程为，

直线(t为参数)的直角坐标方程为，

当直线过圆心且垂直于直线时，

直线的方程为，即，

由，得或，

所以当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时，该点的坐标是，

故选：B

16. 已知函数，，对于不相等的实数、，设，，现有如下命题：

①对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得；

②对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，

下列判断正确的是（    ）

A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题

【答案】D

【分析】假设①中的结论成立，构造，取，判断函数的单调性，可判断①；假设②中的结论成立，构造函数，判断出函数的单调性，可判断②.

【详解】对于①，假设对于任意实数，存在不相等的实数、，使得，

则，可得，

即，取，可得，

令，因为函数、在上均为增函数，

所以，当、，且时，；

当时，函数的增长速度比函数的速度增长得更快，

任取、，且，记点、、、，

则直线比直线的斜率更大，即，

故，故①错；

对于②，假设对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，

则，可得，

构造函数，

因为函数为上的增函数，函数在上为增函数，

所以，函数在上为增函数，

取，则，

记，

当时，，则，

所以，存在区间，使得函数在上不是增函数，

故对任意的实数，函数不单调，

故对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，②对.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查的是有关函数命题真假的判断，解题的关键在于假设结论成立，通过等式的结构构造新函数，转化为新函数的单调性问题来处理.

三､解答题

17. 如图，在正三棱住中，，异面直线与所成角的大小为．

（1）求正三棱柱的体积；

（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【答案】（1）   

（2）

【分析】（1）由已知可得，又，求得正三棱柱的底面边长为．再求出底面积，代入棱柱体积公式可得正三棱柱的体积；

（2）在底面三角形中，过作，垂足为，则为直线与平面所成角，求解三角形得答案．

【小问1详解】

解： 异面直线与所成角的大小为，且，

，又，

，即正三棱柱的底面边长为．

．

则；

【小问2详解】

解：在底面三角形中，过作，垂足为，

则为中点，又平面平面，平面平面，所以平面，连接，

则为直线与平面所成角，

因为，，

，

．

即直线与平面所成角的大小为．

18. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）在为锐角的中，角、、的对边分别为、、，若，，且的面积为，求的值.

【答案】（1）   

（2）或

【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，代入点、的坐标，可分别求出、的值，可得出函数的解析式；

（2）由结合角的取值范围可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值.

【小问1详解】

解：由图象可知，函数的最小正周期为，.

因为点在函数的图象上，所以，即.

又，则，从而，即.

又点在函数的图象上，所以由，得.

此时，则在附近单调递增，合乎题意，

所以函数的解析式为.

【小问2详解】

解：由，所以，，

因为，

，

，则，所以，或，可得或，

当时，因为，可得.

又因为，所以，

解得；

当时，因为，可得，

因为，所以，

解得.

所以或.

19.  某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

【答案】（1），（）；（2）．

【详解】1）由条件得，所以2分

，（）．

（２）因为，

所以恒成立

恒成立

设，则：

恒成立，

由恒成立得

（时取等号）

恒成立得（时取等号）

所以．

20. 已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，的最大值；

（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到，结合的取值范围，求出最大值；（3）设出直线方程，表达出两点坐标，由､､三点共线得到方程，化简后得到.

【小问1详解】

由题意得：焦距为，得，

点坐标代入椭圆方程得：，

，解得：，，

所以椭圆的标准方程为.

【小问2详解】

设直线的方程为，由

消去可得，

则，即，

设，，则，，

则，

易得当时，，故的最大值为.

【小问3详解】

设，，，，

则①，②，

又，所以可设，直线的方程为，

由消去可得，

则，即，

由，及①，代入可得，

又，所以，所以，

同理可得.

故，，

因为､､三点共线，所以.

将点，的坐标代入，通分化简得，即.

【点睛】处理圆锥曲线问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再利用弦长公式或题干中条件，求出取值范围或得到方程，求出参数.

21. 记实数、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.

（1）已知数列、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；

（2）已知首项为，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；

（3）若数列满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.

【答案】（1）数列不是“趋向递增数列”，数列是“趋向递增数列”，理由见解析   

（2）   

（3）证明见解析

【分析】（1）利用定义“趋向递增数列”判断数列、，可得出结论；

（2）求得，分、、、、、六种情况讨论，验证能否恒成立，综合可得出取值范围；

（3）利用充分条件、必要条件的定义，利用反证法结合“趋向递增数列”的性质证明数列中没有，再证明出数列中没有时数列不是“趋势递增数列”.

【小问1详解】

解：由于，记，

所以，

，

由于，不满足对任意均有，

所以数列不是“趋向递增数列”，

由于，记，

所以，

数列是“趋向递增数列”.

【小问2详解】

解：.

当时，数列为单调递增数列，此时，满足题意，

当时，数列为常数列，不满足题意；

当时，数列为单调递减数列，此时，不满足题意；

当时，此时，满足题意；

当时，此时，不满足题意；

当时，此时，不满足题意，

综上所述，的取值范围是.

【小问3详解】

证明：先证必要性：假设存在正整数使得，，

令.

因为、为正实数，且，所以，于是.

则数列从第项开始为：、、、、、、.

若为奇数，，，

与数列为“趋向递增数列”矛盾：

若为偶数，，，‘’与数列为“趋向递增数列”矛盾，

故假设不成立，所以数列为“趋向递增数列”的必要条件是中没有；

再证非充分：

首先，若中没有，构造数列：，，，，此时，

，，与“趋向递增数列”定义矛盾；

其次，证明数列中各项均大于.

下面利用数学归纳法证明.即证：，

①当时，，；

②假设当时，命题成立，即，.

当时，，.

因此，有对任意，均有.

当为偶数时，；

当为奇数时，，

所以对任意均成立.

因此，中没有是数列为“趋向递增数列”非充分条件.

所以数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义“趋势递增数列”，在证明第三问时，可充分采用反证法与数学归纳法结合充分条件、必要条件的定义来证明，并且可充分利用特例法来推出矛盾.