专题1-1 集合及集合思想应用（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）

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 专题1-1 集合及集合思想应用
目录
讲高考 1
题型全归纳 3
【题型一】集合中元素表示 3
【题型二】集合元素个数 4
【题型三】知识点交汇处的集合元素个数 5
【题型四】由元素个数求参 7
【题型五】子集关系求参 8
【题型六】集合运算1：交集运算求参 10
【题型七】集合运算2：并集运算求参 12
【题型八】集合运算3：补集运算求参 13
【题型九】应用韦恩图求解 15
【题型十】集合中的新定义 18
专题训练 21

讲高考
1.（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
2.（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.

3．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得：.故选：B.
4．（2021·浙江·高考真题）设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合交集的定义可得结果.
【详解】由交集的定义结合题意可得：.故选：D.
5．（2021·全国·高考真题（文））已知全集，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得：，则.故选：A.
6．（2007·全国·高考真题（文））已知集合，，那么为区间（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先分别利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象化简集合E，F，再利用交集的运算求解.
【详解】∵，
，∴.故选：A.
7．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，且，故.因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，而三角形内切圆的圆心为，半径为，故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为故选：B

题型全归纳

【题型一】集合中元素表示
【讲题型】
例题1：已知集合，下列选项中均为A的元素的是（       ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断．
集合有两个元素：和，
故选：B
例题2、设集合，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对于集合，令和，即得解.
【详解】
，，，，
对于集合，当时，，；
当时，，．，故选：B．

【讲技巧】
集合表示
1、列举法，注意元素互异性和无序性
2、描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素
描述法表示集合时，要注意“那条竖线”前边的字母及字母形式。一般情况下，一个字母是数集，有序数对（a，b、）形式可以理解为点集
【练题型】
1.以下四个写法中：① ；②；③；④，正确的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
对于①，正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以正确；对于③，根据集合的互异性可知正确；对于④， ，所以不正确；四个写法中正确的个数有个，故选C.

2.下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（       ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；

空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.
故选：A.
3.若，则的可能取值有（       ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值.
，则，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则，符合题设；∴或均可以.故选：C

【题型二】集合元素个数
【讲题型】
例题1.已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【分析】
解指数不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得集合的元素个数.
【详解】
由得，，解得，所以.由解得，所以.所以，共有个元素.故选：B.
例题2.，若表示集合中元素的个数，则_______，则_______．
【答案】11； 682．
【详解】
试题分析：当时，，，即，，
由于不能整除3，从到，，3的倍数，共有682个，


【讲技巧】
集合元素个数，多涉及到对集合元素形式的判断：
1.点集多是图像交点
2.数集，多涉及到一元二次方程的根。

【练题型】
1.若集合，，则的元素个数为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别求出集合，然后，由交集定义求得交集后可得元素个数．
由题意得，，，故，有5个元素.
故选：C
2.已知集合，，则集合中所含元素的个数为
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【分析】根据几何A中的元素，可求得集合B中的有序数对，即可求得B中元素个数.
因为，，，
所以满足条件的有序实数对为，，，．
故选:B.
3.集合，则中元素的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
,
,则B中的元素个数为4个.
本题选择D选项.
【题型三】知识点交汇处的集合元素个数
【讲题型】
例题1.1.已知全集，集合，若中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线均对称，且，则中的元素个数至少有
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
求出点关于原点、坐标轴、直线的对称点，其中关于直线对称点，再求它关于原点、坐标轴、直线的对称点，开始重复了．从而可得点数的最小值．
因为,中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线对称，所以所以中的元素个数至少有8个，
故选：C.
例题2.若正方体的棱长为1，则集合中元素的个数为（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】将代入,结合和()化简即可得出集合中元素的个数.
①当时 正方体     故:     ()     故:     ()
中元素的个数为.
②时.
此时中元素的个数为.
综上所述, 中元素的个数为.故选:A.
【讲技巧】
集合知识点交汇处，多涉及到集合与函数，集合与向量，集合与数列，集合与立体几何，集合与圆锥曲线等等相关知识的综合应用。
【练题型】
1.设集合,,,则集合中元素的个数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得出：从,,任选一个；或者从,任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．
解：根据条件得：从,,任选一个,从而,,任选一个,有种选法；
或时, ,有两种选法；共种选法； C中元素有个． 故选A．
2.已知集合，，定义集合，则中元素的个数为
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C
因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．

3.若集合，，用表示集合中的元素个数，则
A． B． C． D．
【答案】D
当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，同理，、的取值也有种，所以，所以，故选D．
【题型四】由元素个数求参
【讲题型】
例题1.若集合中只有一个元素，则=（ ）
A．4 B．2 C．0 D．0或4
【答案】A

考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.
例题2.已知集合，集合中至少有3个元素，则
A． B． C． D．
【答案】C
试题分析：因为中到少有个元素，即集合中一定有三个元素，所以，故选C.
【讲技巧】
在根据元素与集合关系求解参数值的问题时，容易错的地方是忽略求得参数值后，需验证集合中元素是否满足互异性
【练题型】
1.已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（       ）
A．0 B．0或 C．0或2 D．2
【答案】C
【分析】根据题意转化为抛物线与轴只有一个交点，只需即可求解.
若中只有一个元素，则只有一个实数满足，
即抛物线与轴只有一个交点，∴，∴或2.故选：C
2.．已知，.定义集合，则的元素个数满足（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
先理解题意，然后分①当,时,②当,时, ③当,时,三种情况讨论即可.
解:由，,
①当,时, ,
,
此时的元素个数为个,
②当,时, ,
,
这种情况和第①种情况除外均相同,故新增个,
③当,时, ,
,这种情况与前面重复,新增0个,
综合①②③可得:
的元素个数为个,
故选:A.
3.如果集合中只有一个元素，则的值是（     ）
A．0 B．0或1 C．1 D．不能确定
【答案】B
因为A中只有一个元素，所以方程只有一个根，当a=0时，;当时，，所以a=0或1.

【题型五】子集关系求参
【讲题型】
例题1.已知集合，若，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合，再根据得解.
【详解】
由题得，故，
当时，，显然不满足；
当时，，显然不满足；
当时，，若.故选：D
例题2.已知集合，非空集合，，则实数的取值范围为（       ）.
A． B． C． D．
【答案】B
先化简集合，再由建立不等式组即可求解
【详解】
，由且为非空集合可知，
应满足，解得故选：B
【讲技巧】
集合子集：
(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．
(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集．
(3)子集有下列两个性质：
①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；
②传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
（4）求子集运算时，一定要注意子集是从“空集开始”
【练题型】
1.若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
考虑和两种情况，得到，解得答案.
【详解】
当时，即，时成立；
当时，满足，解得；
综上所述：.故选：C.
2. ，，若，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
由，分和两种情况讨论，利用相应的不等式（组），即可求解.
【详解】
由题意，集合，，因为，
（1）当时，可得，即，此时，符合题意；
（2）当时，由，则满足，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
3.已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
解方程求得集合，分别在和两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果.
【详解】
由得：或，即；①当时，，满足，符合题意；
②当时，，，或，解得：或；
综上所述：实数的值构成的集合是.故选：.
【题型六】集合运算1：交集运算求参
【讲题型】
例题1.已知集合，.若，则实数（       ）
A．3 B． C．3或 D．或1
【答案】A
【分析】将问题转化为“直线与直线互相平行”，由此求解出的取值.
【详解】因为，所以直线与直线没有交点，
所以直线与直线互相平行，
所以，解得或，
当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足，
当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足，
所以的值为，
故选：A.
例题2.已知集合，，若，则实数的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合A，由得到，再分类讨论a的值即可.
【详解】，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.故选：D.
【讲技巧】
交集的运算性质：
1.A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B.
2.求交集题型时，要注意“边界值”是否能取等号
【练题型】
1.已知集合，集合，若，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
由可得出，可知，解出集合，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】且，则，.
若，则，可得，不合乎题意；
若，则，
所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.
2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（       ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.故选：B.
3.已知集合，若，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解出集合，考虑集合是否为空集，集合为空集时合题意，集合不为空集时利用或解出的取值范围.
【详解】由题意，，
当时，，即，符合题意；当，即时，，则有或，即
综上，实数的取值范围为.故选：C.
【题型七】集合运算2：并集运算求参
【讲题型】
例题1..已知，，若，那么实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意,可先化简集合A,再由得,由此对B的集合讨论求a,由于集合B可能为空集,可分两类探讨,当B是空集时,与B不是空集时,分别解出a的取值范围,选出正确选项
【详解】解：由题意,,
由得
又
当B是空集时,符合题意,此时有解得
当B不是空集时,有解得综上知,实数a的取值范围是故选：D
例题2.设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【答案】B
【详解】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以的取值范围为，故选B.

【讲技巧】
并集的运算性质：
A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B⇔A⊆B.

【练题型】
1.设集合，，集合中所有元素之和为8，则实数的取值集合为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：B={1,4},两根是x=3，x=a，当a=0、1、3、4时，满足集合中所有元素之和为8，故选C.
2.非空集合，，，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知，进而构造函数，再根据零点存在性定理得，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知，
因为，所以，
所以，
故令函数，
所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：
，即，解得，
所以，实数的取值范围为.
故选：A

3．已知集合，，若，则的值是（       ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.
【详解】因为，若，经验证不满足题意；
若，经验证满足题意.所以.故选：B.
【题型八】集合运算3：补集运算求参
【讲题型】
例题1.已知集合，集合，集合，若，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【详解】由题意， ，
∵集合 ，
①
②m 时，成立；
③
综上所述， 故答案为．
例题2..已知集合，，若，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
解分式不等式求得集合，对进行分类讨论，结合，求得实数的取值范围.
【详解】由或.所以或，所以.由，解得或.，当时，，此时，满足；当时，，由得，即且.综上所述，实数的取值范围是.
故选：B
【讲技巧】
补集运算：
1.符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
2.图形语言：

【练题型】
1.设全集，集合，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合及其补集情况分情况讨论即可.
【详解】由已知得，
所以或，解得，故选：D.
2.已知全集，集合，，则a的所有可能值形成的集合为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，即，当时，不符合元素的互异性，时，符合题意.
【详解】由，即，则，解得，
若，则，而，不符合集合中元素的互异性，舍去；
若，则，，，符合题意.
所以a的所有可能值形成的集合为.故选：A.
3.已知全集,则的值为__________
湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题
【答案】2
【分析】要求a的值，需正确理解原集和补集的含义，由于参数a为未知数，此题应该进行分类讨论
【详解】由补集概念及集合中元素互异性知a应满足

分两种情况进行讨论：
在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去．
在B中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意．答案为：2
【题型九】应用韦恩图求解
【讲题型】
例题1.全集，集合，集合，图中阴影部分所表示的集合为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为.求出集合，即求.
【详解】∵集合，，
由Venn图可知阴影部分对应的集合为，又或，
.故选：.
例题2.已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由集合描述求集合，结合韦恩图知阴影部分为，分别求出、，然后求交集即可.
【详解】，，
由图知：阴影部分为，而，，
∴或，即或，
故选：C
【讲技巧】
并集运算韦恩图：
符号语言
Venn图表示
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

交集运算韦恩图
符号语言
Venn图表示
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

补集运算韦恩图
图形语言：






【练题型】
1.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域和指数函数单调性得到集合，阴影部分表示的集合是，计算得到答案.
【详解】，，
阴影部分表示的集合是.
故选：D.
2.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷个
【答案】C
【分析】由题意首先求得集合M，然后结合韦恩图求解阴影部分所示的集合的元素个数即可.
【详解】求解二次不等式可得，
集合表示所有的偶数组成的集合，
由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合，
由于区间中含有的偶数为，故，
即阴影部分所示的集合的元素共有3个.
本题选择C选项.
3.已知集合，且 、都是全集 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：
,故选C．

【题型十】集合中的新定义
【讲题型】
例题1定义运算.若，且，设实数的所有可能取值构成集合，则_______.
【答案】3
【分析】由新定义得集合可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程根的个数，即等价于研究两个方程、根的个数.
【详解】等价于①或②.
由，且，得集合可以是单元素集合，也可以是三元素集合.
若集合是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，可得；
若集合是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得.
综上所述，或，所以.
例题2..对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合. 已知集合，，则__________.
【答案】.
【分析】解不等式求得集合与集合，根据新定义函数以及新定义集合的概念，求得中的取值范围.
【详解】当时，由两边平方并化简得，即，解得，由于，故的范围是.
当时，恒成立，故的取值范围是.
综上所述，.故①.
由，解得或，故.故②.
要使，由①②可知，.
故答案为.

【练题型】
1.设、、是集合，称为有序三元组，如果集合、、满足，且，则称有序三元组为最小相交（其中表示集合中的元素个数），如集合，，就是最小相交有序三元组，则由集合的子集构成的最小相交有序三元组的个数是________
【答案】7680
【分析】令S={1，2，3，4，5，6}，由题意知，必存在两两不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，而要确定x，y，z共有6×5×4种方法；对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即可得到最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数．
【详解】令S={1，2，3，4，5，6}，如果（A，B，C）是由S的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，（如图），要确定x，y，z共有6×5×4种方法；

对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A，B，C中的某一个或不属于任何一个，则有43种确定方法．
所以最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数6×5×4×43=7680．
故答案为：7680
2.．集合有个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则_____.
【答案】
【分析】将这个子集分成以下几种情况：①含的子集；②不含，含且还含有其他元素的子集；③不含，不含但含有其他元素的子集；④只含的子集一个.将每种情况下的计算出来，并根据②③中的集合是一一对应的，求满足的，可得答案.
【详解】所有非空子集为，这个子集分成以下几种情况：
①含的子集个，这些子集均满足；
②不含，含且还含有其他元素的子集个；
③不含，不含但含有其他元素的子集有个；
④只含的子集一个，满足.
其中②③中的集合是一一对应的，且满足对应成相反数，
因此，.
故答案为：.
3.设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中：
①；②；③；④
以0为聚点的集合有______．
上海市延安中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题
【答案】②③
【解析】根据集合聚点的新定义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，
①对于某个，比如，
此时对任意的，都有或者，
也就是说不可能，从而0不是的聚点；
②集合，对任意的，都存在（实际上任意比小得数都可以），
使得，∴0是集合的聚点；
③集合中的元素是极限为0的数列，
对于任意的，存在，使，
∴0是集合的聚点；
④中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足得的，
∴0不是集合的聚点．
故答案为：②③．


一、单选题
1．已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（    ）
A．6 B．7 C．14 D．15
【答案】A
【分析】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以集合的元素个数为，
因此集合的所有非空真子集的个数是，
故选：A
2．设全集，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求，再求并集即可.
【详解】由题可知：，
而，
所以.
故选：C
3．如图，设是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据韦恩图，利用集合的运算即可求解.
【详解】由图象可知：阴影部分对应的集合的元素，∴，且，
因此．
故选：B．
4．设集合，都是实数集的子集，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设交集的结果知，进而可得.
【详解】由知：，
所以.
故选：D
5．设集合，，若，则实数的值为（    ）
A． B．2或-4 C．2 D．-4
【答案】B
【分析】根据给定条件可得，由此列出方程求解，再验证即可得解．
【详解】因，则，即或，
当时，，，符合题意，
当时，解得或，
若，则，，符合题意，
若，则，，不符合题意，
于是得或，
所以实数的值为2或．
故选：B
6．集合或，，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，分和两种情况，建立条件关系即可求实数a的取值范围.
【详解】，①当时，即无解，此时，满足题意；
②当时，即有解
当时，可得，要使，则需要，解得
当时，可得，要使，则需要，解得
综上，实数a的取值范围是
故选：A.
7．用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（    ）
A．4 B．3 C．2 D．9
【答案】C
【分析】由新定义，确定，再由新运算确定，并由集合的定义确定，然后由判别式求得值，得集合，从而得结论．
【详解】由已知，又，所以或，
又中显然是一个解，即，因此，所以，
所以有两个相等的实根且不为0，
，，经检验符合题意，，
所以．
故选：C．
8．已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果.
【详解】因为或，解得或
即，
因为，所以
当时，，满足要求.
当时，则，由，
可得，即
当时，则，由，
可得，即
综上所述，
故选:B.

二、填空题
9．若集合，，且，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【分析】根据已知条件，运用集合并集运算定义，列出关于参数的不等式，即可求得参数的取值范围.
【详解】已知，，
，，
故参数的取值范围为.
故答案为：
10．已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝_____．
【答案】8
【分析】先通过，判断得，分类讨论与的情况，得到，，，再求的元素，进而得到，解得，故得答案．
【详解】由得，所以，
又因为，即，所以，
（1）若，
因为，所以，此时，，，
即，故，从而，
所以，则，即或1，与矛盾；
（2）若，
则，，即，所以，
从而，显然，即或1，
而与矛盾，故，，
又，故，
将，，代入，得到，解得或（舍去），
所以．
故答案为：8．
11．已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合___________.
【答案】或或.
【分析】求得中所有元素之和后，根据中元素个数得到其元素所满足的关系式，依次判断中元素不同个数时可能的结果即可.
【详解】，中所有元素之和为；
若中仅有一个元素，设，则，解得：，不合题意；
若中有且仅有两个元素，设，则，
当，时，，；
若中有且仅有三个元素，设，则；
当，，时，，
若中有且仅有四个元素，设，
则，
当，，，时，，；
若中有且仅有五个元素，若，此时，
中最多能有四个元素；
综上所述：或或.
故答案为：或或.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过对中元素个数的分类讨论，依次从小至大排列中元素可能的取值，根据满足的关系式分析即可得到满足题意的集合.
12．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素； ②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为___．
【答案】132
【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．
【详解】集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，由集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素； ②A1∪A2∪A3＝M可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时X1最小值为22；
15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X2最小值为17；
9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特征数最小，这时X3最小值为10；则X1+X2+X3的最小值为22+17+12＝51．
同理可知最大的三个数为21，20，19；
含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34；
含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；
含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；
则X1+X2+X3的最大值为34+27+20＝81；
所以X1+X2+X3的最大值与最小值的和为51+81＝132．
故答案为：132．