2023届河南省中原名校联盟高三上学期12月教学质量检测数学（文）试题（解析版）

2023届河南省中原名校联盟高三上学期12月教学质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，因此，.

故选：B.

2．已知，则（    ）

A．1 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】化简复数z，求出共轭复数，进而可得，即得 .

【详解】解：

故选：A

3．圆锥的母线长为2，侧面积为，若球的表面积与该圆锥的表面积相等，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用圆锥侧面积公式与表面积公式求得其表面积，再利用球的表面积公式得到关于的方程，解之即可求得球的体积.

【详解】依题意，设圆锥的底面半径为，母线，

则圆锥的侧面积为，故，

所以圆锥的底面积为，则圆锥的表面积为，

设球的半径为，则，得，

所以球的体积.

故选：C.

4．直线被圆截得的弦长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用配方法，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可.

【详解】由，所以圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以弦长为，

故选：C

5．为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据、、、进行分析，其中表示减重质量（单位：千克），表示每行驶一百千米降低的油耗（单位：升），、、、，由此得到的线性回归方程为.下述四个说法：

①的值一定为；②越大，减重对降低油耗的作用越大；

③残差的平方和越小，回归效果越好；④至少有一个数据点在回归直线上.

其中所有正确说法的编号是（    ）

A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②④

【答案】B

【分析】根据拟合直线不一定过坐标原点可知①错误；由的实际意义可知②正确；残差的平方和越小，说明相关指数越接近于，其拟合效果越好，故③正确；由样本点和回归直线的位置关系可知④错误.

【详解】的实际意义为当减重质量为时，汽车每行驶一百千米所降低的油耗，

从其意义上来看，的值应该等于，

但拟合直线并不一定过坐标原点，因此的值可能比略大或略小，所以①错误；

的实际意义是每行驶一百千米降低的油耗量与减重质量之比，

因此越大，减重对降低油耗的作用越大，所以②正确；

相关指数，所以残差的平方和越小，越接近于，回归效果越好，所以③正确；

有可能没有数据点在回归直线上，所以④错误.

故选：B.

6．如图，是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线不垂直的是（    ）

A．AE B． C． D．

【答案】D

【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合平行线的性质逐一判断即可.

【详解】如图，连接，则，因为，且，所以平面，且平面平面，所以，所以，又，所以.若，则，且，则平面，显然不成立，所以不垂直于.

故选：D

7．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性估计的取值范围，进而比较大小.

【详解】对：在R上单调递增，则，即；

对：，在上单调递增，则，即；

对：在上单调递减，则，即；

综上所述：.

故选：D.

8．甲、乙两人各有若干个苹果，其中甲的苹果不多于10个，甲的苹果数的3倍不少于乙的苹果数，乙的苹果至少比甲的苹果多7个，则甲、乙两人一共的苹果至少有（    ）

A．12个 B．13个 C．15个 D．16个

【答案】C

【分析】设甲的苹果数为x，乙的苹果数为y，则，结合线性规划和实际意义即可求解.

【详解】由题意知，设甲的苹果数为x，乙的苹果数为y，

则，不等式组表示的平面区域如图所示，其中点，

由图可知，直线平移到点A时，目标函数取到最小值，

此时，

结合实际意义，x、y为正整数，所以，满足甲的苹果不多于10个，

所以甲乙两人一共的苹果至少有15个.

故选：C.

9．已知函数的最小正周期为，且将的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数图象的平移变换和奇偶性，可得，由可得，即可求解.

【详解】将函数图象向右平移个单位长度，

得，图象关于y轴对称，

则函数为偶函数，

所以，解得；

又，所以，所以，

则.

故选：A.

10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意和正弦定理可得，进而，利用诱导公式可得，结合三角形的面积公式计算即可求解.

【详解】，由正弦定理，

得，又，所以，

所以，则，

所以，

所以的面积为.

故选：A.

11．已知双曲线的左焦点为，右顶点为A，两条渐近线为.设关于的对称点为，且线段的中点恰好在上，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】方法1：根据几何性质分析可得：，运算求解；方法2：根据点关于线对称求点，再求线段的中点，代入渐近线方程运算求解.

【详解】方法1：

如图，设为坐标原点，，直线与交于点，则，且为线段的中点，设线段中点为，则在上，

∵，则，

设直线与轴的交点为，则为线段的中点，且轴，则，

∵，则，

∴，即，整理得

设双曲线的离心率为，

则，解得或（舍去）.

方法2：

由题意可得：，

不妨设直线，，

则，解得，即，

设线段中点为，点，则，

将点坐标代入方程得，整理得，

设双曲线的离心率为，

则，解得或（舍去）.

故选：C.

12．已知函数在区间单调递增，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知不等式在上恒成立，对称轴为.分别对、、三种情况讨论函数的单调性求出函数对应的最小值，结合m的取值范围分别求出、取值范围即可.

【详解】因为函数在上单调递增，

所以不等式在上恒成立，

令，，对称轴为.

当即时，函数在上单调递减，

，得，

所以，

由知，，无法判断的取值范围；

，

由知，，无法判断的取值范围；

当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，得，

所以，

由知，，

；

当即时，函数在上单调递增，

，所以，.

故选：D.

二、填空题

13．已知，为两个互相垂直的单位向量，则______.

【答案】

【分析】运用平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】因为，为两个互相垂直的单位向量，

所以

所以，

故答案为：

14．的值为______.

【答案】##

【分析】根据诱导公式，逆用、正用两角和的正弦公式进行求解即可.

【详解】

故答案为：

15．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为______.

【答案】##

【分析】如图，过作，垂足为E，求出、，利用相似三角形的性质求出，结合锥体的体积公式分别求出四棱锥和的体积即可.

【详解】如图，该四棱台为，

四棱锥的高交于，交于，

由题意知，，过作，垂足为E，

则，又，所以，

在四棱锥中，，

所以，而，

解得，

所以四棱锥的体积为，

四棱锥的体积为，

所以四棱台的体积为.

故答案为：.

16．已知直线与抛物线交于A，B两点.设为轴上的点，且，则的面积为______.

【答案】

【分析】设，抛物线的焦点为，易知直线AB过焦点F.

联立方程组，求出点A、B的坐标，进而求出AB中点C的坐标，根据可得，求出点P的坐标，结合计算即可求解.

【详解】设，抛物线的焦点为，易知直线AB过焦点F.

，

解得，代入，

得，

即，

所以AB的中点坐标，设，有，

又，所以，得，

解得，即，

所以.

故答案为：.

三、解答题

17．已知数列满足，，是公差为1的等差数列.

(1)证明：是等比数列；

(2)求的前项和.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)根据等差数列的定义求出数列的通项公式，可得，等式两边同时加n，则，结合等比数列的定义即可证明；

(2)由(1)和等比数列的通项公式可得，利用分组求和法即可求解.

【详解】（1）因为是公差为1的等差数列，，

所以，

即，等式两边同时加n，

得，又，

所以是以2为首项，2为公比的等比数列；

（2）由(1)知，，所以，

所以

18．如图，在四棱锥中，，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，E为BC的中点，为PB上的点，且.

(1)证明：平面平面ABCD；

(2)E到平面ADF的距离.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)根据线面垂直的性质可得，，建立如图空间直角坐标系，求出各点、线段的坐标，根据空间向量的线性运算求出点F的坐标，利用空间向量法求出平面的法向量，结合即可证明；

(2)结合(1)，利用空间向量法，根据点到平面的距离公式计算即可求解.

【详解】（1）由题意知，，由平面，平面，

得，，建立如图空间直角坐标系，

则，设，

所以，

因为，所以，即，

有，解得，即，

所以，易知为平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，

则，令，得，

所以，所以，得，

故平面平面；

（2）由(1)知，，设平面的一个法向量为，

则，令，得，

所以，又，

所以点E到平面的距离为.

19．甲、乙两人加工一批标准直径为50mm的钢球共1500个，其中甲加工了600个，乙加工了900个.现分别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取50个进行误差检测，其结果如下：

(1)估计这批钢球中直径误差不超过的钢球的个数；

(2)以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为的钢球中抽取5个，再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率；

(3)你认为甲、乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由.

【答案】(1)1062；

(2)；

(3)乙更符合标准，理由见解析.

【分析】（1）根据题意表格中的数据，分别求出甲、乙加工钢球直径误差不超过mm的个数即可；

（2）先求出比例，结合古典概型的概率计算即可；

（3）观察表格中的数据，即可下结论.

【详解】（1）由题意知，加工直径误差不超过mm的钢球中，

甲：个，乙：个，

所以这批钢球中直径误差不超过mm的钢球一共有个；

（2）甲、乙加工钢球的总数之比为，

所以抽取的5个钢球中，甲占2个，记为A，B，，乙占3个，记为a，b，c，

从5个钢球中抽取的2个钢球的基本事件有：，共十个，

则全是乙加个的基本事件为：，共3个；

所以所求概率为；

（3）乙加工的钢球更符合标准.

理由：甲、乙各加工的50个钢球中直径误差为0mm的个数：甲有20个，乙有24个，；甲生产的钢球中误差达到的个数较多.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且当轴时，.

(1)求的方程；

(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据题意设，则，结合椭圆的定义可得，解方程即可；

(2)易知当切线斜率不存在时等式成立；当切线斜率存在且不为0时，设，利用导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，令，求出Q的坐标，利用两点坐标求距离公式分别求出，，进而表示出、，结合化简计算即可.

【详解】（1）由题意知，，得，

当轴时，设，

代入椭圆方程，得，解得，即，

由椭圆的定义知，，又，

所以，由，解得，

故椭圆C的方程为；

（2）当切线斜率不存在时，切线方程为，此时点P与点Q重合，等式成立；

当切线斜率为0时，切线与x轴不相交，不符合题意；

当切线斜率存在时，设，

由，得，则，

所以切线的斜率为，得切线方程为，

即，

整理得，

即，所以切线方程为，

令，得，即，

由(1)知，，

则，

，

又，得，

所以，

，

所以，即，即证.

21．已知是函数的极值点.

(1)求；

(2)证明：有两个零点，且其中一个零点；

(3)证明：的所有零点都大于.

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据极值点的定义可得，求得，检验即可；

(2)根据函数零点个数、方程的根个数与函数图象交点的个数之间的联系，作出和函数图象，结合图形即可判断零点的个数.利用零点的存在性定理即可判断零点的范围；

(3)根据零点的定义可得，利用导数研究函数的性质，根据不等式的性质可得，又，由放缩法可得，结合图形即可证明.

【详解】（1），则，

因为是函数的极值点，所以，

即，解得.

当时，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以是函数的极小值点，故；

（2）由(1)知，，令，则，

作和函数图象，如图所示，

由图可知，两函数图象有2个交点，且一个交点分布在上，另一个分布在上，

所以方程有2个解，即函数有2个零点.

易知2是函数的一个零点，设另一个零点为，

又，，

所以，又函数在定义域上连续，

由零点的存在性定理，知；

（3）由(1)知，，

当时，，

当时，令，则，

设，则，，

令或，令，

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

又，，得

所以，又，

所以当时，

，

作出函数和的图象，如图所示，

由图可知，两函数图象的交点的的横坐标都大于，

故函数的所有零点都大于.

【点睛】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为.

(1)求的普通方程和的直角坐标方程；

(2)设是上的点，，是的两个焦点，求的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据的参数方程和化简即可求出的普通方程；根据二倍角的余弦公式和、化简即可求出的直角坐标方程；

(2)由题意可知，，根据两点坐标求距离公式可得，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）由题意知，，

又，所以，

即的普通方程为；

由，得，

整理，得，又，，

所以的直角坐标方程为，即；

（2）因为P是上的点，所以，

由(1)知，，

得，

，

所以

，

由二次函数的性质知，

当时，取到最大值，且最大值为，

所以的最大值为.

23．设、、为正数，且.证明：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由不等式的基本性质可得出，利用反比例函数在上的单调性可证得结论成立；

（2）利用基本不等式可得出，，，利用不等式的基本性质可证得结论成立.

【详解】（1）证明：因为、、为正数，由可得，

所以，，

因为函数在上为增函数，故.

（2）证明：由基本不等式可得，，

，

由不等式的基本性质可得

，

当且仅当时，等号成立，故.