上海市奉贤中学2023届高三三模数学试题（含解析）

上海市奉贤中学2023届高三三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知，则__________.

2．复数在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是________．

3．的展开式中，常数项为__________．

4．点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________．

5．同一平面内的两个不平行的单位向量，，在上的投影向量为，则________．

6．一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积和球的体积的比值________．

7．为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则________．

8．函数在区间的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数________．

9．若数列满足：对于任意正整数n都有成立，则________．

10．正方体的棱长为4，P在平面上，A，P之间的距离为5，则、P之间的最短距离为________．

11．如图：已知△ABC中，，边长为1的正方形DEFG为△ABC的内接正方形，则的最小值为________．

12．设，，A、D为曲线上两点，B，C为曲线上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数b的取值范围为________．

二、单选题

13．“”是“”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

14．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

15．已知两组数据和，其中且时，；且时，，，我们研究这两组数据的相关性，在集合中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a=（    ）

A．8 B．11 C．12 D．13

16．曲线T：图象是类似椭圆的封闭曲线，T上动点P（P在第一象限）到直线距离的最大值为.当实数a变化时，求的最小值为（    ）

A． B． C． D．

三、解答题

17．已知扇形OAB的半径为1，，P是圆弧上一点（不与A，B重合），过P作，M，N为垂足．

(1)若，求PN的长；

(2)设，PM，PN的线段之和为y，求y的取值范围．

18．已知三棱锥，平面，PA=6，AC=4，，M，N分别在线段PB，PC上．

(1)若PB与平面所成角大小为，求三棱锥的体积V；

(2)若平面，求证：平面

19．某数学学习小组的5位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）

(1)在5位学生中依次抽取3位学生．在前2位学生中至少有1位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；

(2)设（，2，…，5）表示第i位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5位学生中随机选取2位，得到数据，定义随机变量X如下：求X的分布列和数学期望EX和方差．

20．已知双曲线T：离心率为e，圆O：．

(1)若e=2，双曲线T的右焦点为，求双曲线方程；

(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求的值；

(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有，求离心率e的取值范围．

21．定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切．

(1)设．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值；

(2)设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；

(3)若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．

参考答案：

1．

【详解】由诱导公式知，故填.

2．

【分析】根据复平面上的点与复数实部、虚部关系列出不等式求解即可.

【详解】因为复数在复平面的第二象限内，所以，解得.

故答案为：

3．160

【分析】求出二项式的展开式通项，再求出通项中x的指数为0的项即可得解.

【详解】的展开式通项为，

令，得，则，

所以常数项160.

故答案为：160

4．9

【分析】用待定系数写出指数函数解析式，代入对应点求解即可.

【详解】设指数函数为，其中且，

将、代入函数解析式得，解得，

.

故答案为：9

5．0

【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义，结合数量积定义求解作答.

【详解】依题意，在上的投影向量，

所以.

故答案为：0.

6．/

【分析】根据正方体和球的表面积公式即可得到正方体棱长和球的半径的关系，再利用正方体和球的体积公式即可得到答案.

【详解】由已知可得设正方体的棱长为,球的半径为，

由题意可知，故可得，

则，，

故，

故答案为：.

7．5

【分析】利用抛物线定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离即可.

【详解】因为抛物线，所以其焦点，准线方程为，

根据抛物线定义可知，又因为直线l方程为，

所以

故答案为：5.

8．/

【详解】函数在区间上的平均变化率等于，

因为，则在时的瞬时变化率为，

则有，解得，因为，所以，

故答案为：.

9．

【分析】题中所给关系式为的前n 项和，根据求出通项公式，在代入上式，利用等比数列求和公式即可求出答案.

【详解】设数列的前n 项和为，，其中，

，

，当时，，

所以，

则.

故答案为：.

10．/

【分析】分别连接，利用线面垂直的性质得，计算出的长，从而得到点的轨迹，再利用圆外定点到圆上动点距离最值模型即可得到答案.

【详解】分别连接，

因为平面，平面，

所以，，，

故点的轨迹为以为圆心，3为半径的段圆弧，

故

故答案为：.

11．

【分析】过点作，利用三角形相似得，再利用基本不等式即可得到最值.

【详解】过点作，设，，显然，

因为，所以，所以，①

同理，所以，②

①②得，即，则，

因为，则，

所以

，

当且仅当，即，

故答案为：.

12．

【分析】对分，和讨论，并寻找其极限位置即可.

【详解】因为两个函数图像大小相同,只是水平移动，

当时,取,当,的纵坐标趋向于正无穷大的时候,可以无限接近为一个矩形，

当时,若能成为矩形必有上的处的在斜率比上的点增长率大，

所以必有,这与矛盾.

当时,取,此时处的斜率为2,取临界,,此时得到，

即当时,可以看成极限时候的矩形.

当时,若能成为矩形必有上的处的在斜率比上的点增长率大，

所以必有,这与矛盾.

所以的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题的关键是寻找特殊位置，找到临界值的情况，对进行合理地分类讨论，从而得到其范围.

13．A

【分析】直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】因为，

但“”不能推出“”，

故“”是“”的充分不必要条件，故选A.

【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，意在考查对基本概念的掌握情况，属于简单题.

14．C

【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断.

【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于，

根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故，

根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故，

综上，

故选：C.

15．B

【分析】根据相关性与线性回归方程的关系即可得到答案.

【详解】设点坐标为，且，

由题意得前9个点位于直线上，面，则要使相关性更强，应更接近10，

四个选项中11更接近10，

故选：B.

16．A

【分析】确定曲线T所过的定点，过此定点作直线平行于直线，再按点在及左侧、右侧讨论求解作答.

【详解】曲线：图象如图，

因为时，恒成立，即曲线恒过定点，

过点作直线平行于直线，

当符合条件的点在直线及左侧时，，

当符合条件的点在直线的右侧时，令点到直线的距离为，显然，

此时，因此，

所以当实数a变化时，求的最小值为.

故选：A.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．

17．(1)；

(2).

【分析】（1）在直角与直角中，利用锐角三角函数的定义求解作答.

（2）由（1）中信息，把y用x的函数表示出，再借助正弦函数的性质求解作答.

【详解】（1）在中，，则，显然，

则，从而，

在中，，所以.

（2）依题意，

，

因此，

显然，于是，

所以y的取值范围是.

18．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用线面角求出，进而求出面积，再求出体积作答.

（2）由线面垂直的判定证得平面，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.

【详解】（1）在三棱锥中，平面，则是PB与平面所成角，即，

而，则，在中，，，有，

因此的面积，

所以三棱锥的体积.

（2）在三棱锥中，平面，平面，则，而，

平面，于是平面，平面，有，

因为平面，平面，则，又平面，

所以平面.

19．(1)

(2)分布列见解析，期望为1，方差为.

【分析】（1）设出事件，计算出相关概率，再利用条件概率公式即可得到答案；

（2）分析出的可能取值为0,1,2，分别计算其对应概率，再利用期望和方差公式即可.

【详解】（1）表中2人第一次成绩优于第二次成绩,3人第二次成绩优于第一次成绩.

设事件为在5名学生中先抽取2名学生其中至少有1名同学第一次成绩高于第二次成绩,事件为抽取的第三名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩.

则，

，

所以，

则抽一名学生，且该生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为 .

（2）共种，

，

，

随机变量可能的取值为0,1,2.

，

则随机变量的分布列为:，

的数学期望，

.

20．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据离心率和右焦点即可求出答案.

（2）根据对称性分析，，则，代入曲线方程即可求得结果.

（3）根据已知，利用圆心到直线距离为，得出，再由，可得，然后联立，得出，，上式联立化简可得，进而利用关系，得出的范围.

【详解】（1）因，双曲线T的右焦点为，

则，，，，

则双曲线方程为.

（2）如图所示，

因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，

则，，

则，

代入双曲线方程，

可得，

令，则，解得，

即.

（3）由题知，作图如下，

因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且，

则圆心到直线距离为，

化简得，①

又，设，

则，即，

则，②

联立得，

则，，③

联立①②③，得，

则，

又，

则，

则，

即离心率e的取值范围为.

【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练“点差法”的应用，计算量较大，属于中档题.

21．(1)9；

(2)；

(3)不存在，理由见解析.

【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求解作答.

（2）设出切点坐标，利用导数和几何意义结合圆的切线性质，建立函数关系，再利用导数求函数最小值作答.

（3）假定存在点满足题意，利用导数的几何意义结合同角公式导出矛盾作答.

【详解】（1）设点，由，求导得，

于是，解得，由，得，解得，

所以m的值为9.

（2）设切点，由求导得，则切线的斜率为，

又圆M：的圆心，直线的斜率为，

则由，得，令，求导得，

当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，

因此当时，，

所以当时，.

（3）假设存在满足题意，

则有，对函数求导得：，

于是，即，

平方得，

即有，因此，

整理得，而恒有成立，则有，

从而，显然，于是，即与恒成立矛盾，

所以假设不成立，即不存在点满足条件.

【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.