2023届辽宁省鞍山市高三下学期第一次模拟联考数学试题含解析

2023届辽宁省鞍山市高三下学期第一次模拟联考数学试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求，从而可求.

【详解】由题设有，故，故，

故选：D

2．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，，所以,

所以.

故选：D.

3．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 (n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前项和，若，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】利用数列的递推关系求得通项公式，再结合等比数列求和公式即可求出结果．

【详解】因为 (n＝0,1,2，…)，所以，

所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，所以Sn＝＝2n－1

所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6，

故选：B

4．已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出，由平面向量的数量积可求得，计算的值，再开方即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

所以

，

所以，

故选：B.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.

【详解】因为，所以由，

，

故选：A

6．为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（    ）种

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对甲校分配的大学生人数进行分类讨论，利用排列、组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.

【详解】若甲校分名大学生，此时有种分配方法；

若甲校分名大学生，此时有种分配方法.

综上所述，共有种分配方法.

故选：C.

7．已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设圆锥底面半径为，高为，根据圆锥的侧面积求出，再由勾股定理求出，最后代入体积公式，即可得到答案；

【详解】设圆锥底面半径为，高为，

，

，

，

故选：D

8．函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（    ）

A．4 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】根据，结合是定义在R上的偶函数，易得函数的周期为2，然后由求解.

【详解】因为，且是定义在R上的偶函数，

所以，

令，则，

所以，即，

所以函数的周期为2，

所以.

故选：B.

二、多选题

9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（如图）：

根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（    ）

A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元

C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

【答案】ABC

【分析】根据频率分布直方图求出该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户得频率即可判断A；

根据频率分布直方图求出中位数即可判断B；

根据频率分布直方图求出家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间频率解判断C；

根据频率分布直方图求出平均数即可判断D.

【详解】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户得频率为，所以比率估计为6%，故A正确；

对于B，因为，所以该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B正确；

对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间频率为，所以估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故C正确；

对于D，该地农户家庭年收入的平均值为

，

所以估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元，故D错误.

故选：ABC.

10．已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则下列结论中正确的是（    ）

A．的最大值为

B．的图象一条对称轴为

C．在上单调递减

D．把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象

【答案】AC

【分析】根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的最值性质，可判断A;采用代入验证的方法可判断B;根据余弦函数的单调性可判断C;根据三角函数图象的平移变换规律可判断D.

【详解】，

最小正周期为，，得，

则，

的图象过点，，

即，得，得，，

，当时，，

则，

则 最大值为，故A正确，

，即图象的一条对称轴为错误，

当时，，此时为减函数，故正确，

把的图象向左平移个单位长度，得到，无法得到的图象，故错误，

故选：AC．

11．已知分别是双曲线的左､右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（    ）

A．双曲线的渐近线方程为 B．以线段为直径的圆的方程为

C．点的横坐标为或 D．的面积为

【答案】CD

【分析】根据双曲线方程得，由此可得渐近线方程和以为直径的圆的方程，知AB正误；联立渐近线与圆的方程，可求得坐标，由此可判断CD正误.

【详解】由双曲线方程知：，，的渐近线方程为，A错误；

，以为直径的圆方程为，B错误；

由得：或，点的横坐标为或，C正确；

，，D正确.

故选：CD.

12．如图所示，从一个半径为（单位：）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥，则以下说法正确的是（    ）

A．四棱锥的体积是

B．四棱锥的外接球的表面积是

C．异面直线与所成角的大小为

D．二面角所成角的余弦值为

【答案】BCD

【详解】设正方形边长为，则有，

所以，解得，

折叠而成正四棱锥如图所示，其中为外接球的球心，

四棱锥的高，

所以四棱锥的体积，所以选项A错误；

设四棱锥外接球的半径为，球心到底面的距离为，

则有，

解得，所以四棱锥外接球表面积，

因为，所以异面直线与所成角为，

取的中点，连接，，如图，

因为，均为等边三角形，

所以，，

所以为二面角所成角的平面角，

在中，由余弦定理得

，

故正确答案为BCD.

故选：BCD

三、填空题

13．在展开式中，常数项是___________.

【答案】

【分析】求出二项展开式的通项公式，x的指数为0的项即为所求.

【详解】的展开式通项，

展开式的常数必使，此时，，

所求常数项为.

故答案为：

14．若函数的图像在点处的切线方程为，则实数______．

【答案】

【分析】利用导数和切线斜率间的关系求实数的值.

【详解】，则，依题意有，则实数.

故答案为：-2

15．若正实数，满足，则的最小值为________.

【答案】5

【解析】将所求式子变形为，结合基本不等式即可求出最小值.

【详解】解：因为，所以，因为，

所以，当且仅当，即时等号成立，

即的最小值为5.

故答案为:5.

【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，属于基础题.本题的关键是将所求式子中的3换成.

16．已知椭圆C：的左、右顶点分别为, ，且以线段,为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为_____.

【答案】

【分析】根据直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，可得关于 的方程，再利用离心率的计算公式可得.

【详解】椭圆C：的左、右顶点分别为,,以线段,为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，根据直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于半径，

则有 ，即 ，可得 ，

椭圆的离心率为 .

故答案为：

四、解答题

17．设数列的前n项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式：

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据化简条件可得数列为等差数列，再由求出首项即可得出等差数列的通项公式；

（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解.

【详解】（1）

，

是以2为公差的等差数列，

，

即，

解得，

（2），

.

18．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，延长BC至D，使，的面积为．

(1)求AB的长；

(2)求外接圆的面积．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）利用余弦定理可求得，从而可得为等边三角形，再利用三角形的面积公式即可得出答案；

（2）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得外接圆的半径，即可得解.

【详解】（1）解：因为，

所以，

又，所以，

又因，所以为等边三角形，故，

由，可得，

故，

解得或；

（2）解：由（1）得：

当时，，

则

，

所以，

设外接圆的半径为，

由正弦定理可得，所以，

所以外接圆的面积为，

当时，，

则

，

所以，

同理外接圆的面积为，

综上所述，外接圆的面积为.

19．甲､乙､丙三人，为了研究某地区高中男生的体重(单位：)与身高(单位：)是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6名高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：

根据表中数据计算得到关于的线性回归方程对应的直线的斜率为.

（1）求关于的线性回归方程；

（2）从该地区大量高中男生中随机抽出位男生，他们身高(单位：)的数据绘制成如图的茎叶图.

①估计体重超过的频率，

②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出人，记这人中体重超过的人数为，求的分布列及其数学期望(用（1）中的回归方程估测这位男生的体重).

【答案】（1）；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.

【分析】（1）先求出，代入求出，得到回归方程；

（2）由回归方程求出体重超过同学身高约为177.7，根据茎叶图得到有3个，计算频率；由题意分析随机变量的可能取值，求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望.

【详解】解：（1）依题意可知

故关于的线性回归方程为

①令得

故这位男生的体重有位体重超过

所以频率

②的可能取值为

则的分布列为

.

【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：

（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；

（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；

（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形，且面底面ABCD．

(1)若M为BC中点，求证：；

(2)求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取AD中点O，连接OM，则由梯形中位线定理可得，再由已知可得，由为等边三角形，得，再结面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理得面POM，从而可证得，

（2）以O为坐标原点，以向量，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可

【详解】（1）取AD中点O，连接OM．因为在梯形ABCD中，

O，M分别为AD，BC的中点，所以，又，所以．

因为为等边三角形，故，

又面底面ABCD，面面，

面ADP，故底面ABCD．

因为面ABCD，所以．

又因为，所以面POM，

而面POM，故．

（2）由（1）可知，以O为坐标原点，以向量，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，，

设为平面PAD的一个法向量，

则，即，令，则．

设为平面PBC的一个法向量，则有

则，即，令，

则．

于是，

因为由图可知面PAD与面PBC所成的二面角为锐角，

所以面PAD与面PBC所成的二面角的余弦值为．

21．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题意知抛物线开口向右可设其抛物线方程，焦点为，抛物线上点A的横坐标为1，可设出点坐标含有未知数，再由可列出，再由，代入即可解得，即可求出抛物线方程.

（2）  由题意设直线l：，，，再把抛物线与直线进行联立消，得.直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得，可写出圆心和半径进而写出圆的方程，在令，即可求出以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.

【详解】（1）由题意可设抛物线方程为，､，

由.可得，即.解得

抛物线方程为：.

（2）设直线l：，，，

由联立得，.

则.

直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得.

以AB为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为. 令.则.

即，解得或.

即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，.

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；

（2）对任意的，都有成立，只需任意的，，然后，结合（1）的单调性求出即可求解

【详解】（1）该函数的定义域为，

，

①当时，恒成立，函数的递增区间为；

②当时，令，解得或，

所以函数的递增区间为，递减区间为，

所以当时，函数的递增区间为；

当时，函数的递增区间为，递减区间为．

（2）对任意的，都有成立，只需任意的，，

①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；

②当时，，在上是增函数，

所以只需，而，所以满足题意；

③当时，，在上是减函数，

在上是增函数，所以只需即可，

而，从而不满足题意；

综上①②③可得：实数a的取值范围为．