专题06 导数及其应用-冲刺高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

专题06 导数应用

解析几何一般作为解答题21题或者是22题形式出现。一般作为压轴题或者是次压轴题出现，难度较大。

1 极值点偏移，拐点偏移

2  函数放缩问题

3  端点效应问题

4  隐零点问题

5  同构问题

6 双变量恒成立使成立问题

7 与三角函数知识交叉问题

8  新定义问题

题型一：极值点偏移，拐点偏移问题

1 已知函数.

(I)若为上的增函数,求的取值范围;

(II)若,且,证明:.（拐点偏移）

题型二：函数放缩问题

1 已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：对任意的，

【解析】（1）由题意，的定义域为，且，

当时，，所以在上单调递增，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）要证，只需证，即证，

也即，设，则，

所以，从而在上单调递减，在上单调递增，

故，即，故当时，，

设，则，

所以，

故在上单调递减在上单调递增，

又，所以有2个零点和1，其中，

且当时，，当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

结合知恒成立，从而，

所以当时，对任意的恒成立.

1 已知函数.

（1）若，讨论的单调性；

（2）若，证明：当时，

题型三：端点效应问题

1 设函数，其中为自然对数的底数.

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，；

（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立.

【解析】（1）由题意，的定义域为，

当时，，所以在上单调递减，

当时，，

故在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，要证，只需证，即证，也即，

设，则，所以在上单调递增，

结合知恒成立，所以，故成立.

（3）解法1：由题意，等价于，

令，则恒成立，，

当时，，

设，则，

所以在上单调递增，结合知，即在上单调递增，

又，所以当时，，从而，符合题意，

当时，，由（1）可得在上单调递减，

又，所以当时，，另一方面，由（2）可得当时，恒成立，

从而当时，，不合题意，

当时，，故在上单调递减，结合知，即，不合题意，

综上所述，实数的取值范围为.

1 设函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若当时，，求的取值范围.

题型四：隐零点问题

．已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）如果，是曲线上的任意一点，若以，为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；

（3）讨论关于的方程的实根的个数情况．

【解析】解：（1）当时，，定义域为，

则

令，得，由，得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由题意，，

以，为切点的切线的斜率满足，

所以对恒成立．

又当时，，所以的最小值为

（3）由题意，方程化简得

，，

令，则．

当时，，当时，，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．

所以在处取得极大值，即最大值，最大值为

（1）

所以当时，即时，的图象与轴恰有两个交点，

方程有两个实根；

当时，的图象与轴恰有一个交点，

方程有一个实根；

当时，的图象与轴无交点，

方程无实根．

1已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有且仅有3个零点，求的取值范围．（其中常数，是自然对数的底数）

类型五  同构问题

同构法的三种基本模式

1.乘积型：将两个式子分别同构变形成几个数的乘积，或者将等式（不等式）两边同构变形成几个数的积；

2.比商型：将两个式子分别同构变形成两个数的商，或者将等式（不等式）两边同构变形成几个数的商；

3.和差型：将两个式子分别同构变形成几个数的和与差，或者将等式（不等式）两边同构变形成几个数的和与差.

三、常用的同构变形

1.对数恒等式（黄金变换）：

，特别的；

2.常见变形（利用对数恒等式变形而来）

，，，，…，

，，，

，，

.

1 （2022 武汉二调‧22）已知函数，

，其中.

（1）当时，求的值；

（2）讨论的零点.

解：（1）略；

（2）由得（观察的形式进行同构变形），

即，即，

当时，，则，函数递减，

当时，，则，函数递增，

而，所以或（不能同时满足），

显然方程有一个解，

由得，设（），则，

当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，函数有最小值，于是

当时，函数有一个零点；当时，函数有二个零点；当时，函数有三个零点.

（2022湖北八市3月联考22）设函数（为自然对数的底）.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围.

类型六 双变量恒成立使成立问题

已知．

（1）求函数的单调区间；

（2）设，，，求证：．

【解析】（1）解：函数的定义域为，

因为恒成立，

所以函数在为减函数，

故函数的单调递减区间为；

（2）证明：不妨设，

先证，只要证，即证，

即证，令，，则需证，

由（1）知，在为减函数，

当时，，又（1），

所以，即得证；

下面再证，即证，

令，，只要证，，

令，，则恒成立，故在为减函数，

所以（1），则，

所以成立．综上所述，．

已知函数．

（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）若，求在区间，上的最小值；

（3）若函数有两个极值点，，求证：．

类型七  与三角函数知识交叉问题

1 已知函数为的导数.

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

【解析】（1）由题意，，当时，，所以，从而在上单调递增，故的最小值为.

（2）当时，成立，

当时，等价于（1），

当时，等价于（2），

设，则，

当时，设，则，

当时，由（1）可得，所以在上单调递增，结合知恒成立，所以在上单调递增，又，所以恒成立，

而在上，，从而，满足（1），

当时，，

易得在上为增函数，，

所以在上有一个零点，当时，；当时，，

从而在上单调递减，在上单调递增，又，

所以在上有一个零点，且当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，

所以在上恒成立，故在上单调递增，

又，所以在恒成立，从而，满足（2），所以当时，满足题意，

当时，在上恒成立，所以在上单调递增，

又，

所以在上有一个零点，且当时，，从而在上单调递减，

又，所以当时，，不满足（1），不合题意，

综上所述，实数的取值范围为.

1．已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)对任意的，都有，求a的取值范围．

类型八 新定义问题

1  若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．

①在上的导数存在；

②在上的导数存在，且（其中）恒成立．

(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．

(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．

【答案】(1)函数在区间上具有性质；

(2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；

(3)的最大值为.

【详解】（1）令，，

则，，

，，

当时，恒成立，

∴函数在区间上具有性质；

（2）∵，∴，

∵在处取得极值，且为奇函数，∴在处也取得极值，

∴，解得，∴， ，

当时，令，解得；令，解得；

故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值，

∴，当时，恒成立，

∴存在实数，使在区间上恒成立，

∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；

（3）∵，∴，

令， 则，

令，则，

当时，，在区间上单调递增，又∵，，

∴存在，使，∴当时，，，在区间上单调递减，当时，，，在区间上单调递增，

∴当时，的最小值为，

由，有，∴，

∵，∴，又∵恒成立，

∴，∵且，∴的最大值为.

1．对于函数f（x），若存在实数满足，则称为函数f（x）的一个不动点.已知函数，其中

(1)当时，

（i）求f（x）的极值点；

（ii）若存在既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：

(2)若f（x）有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b使得，均为f（x）的不动点？证明你的结论.

一、解答题

1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；

(2)求证：；

(3)设函数的两个零点、，求证：.

2．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，，…，，使得（其中，为正整数），则称为的“重覆盖函数”.

(1)是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)求证：是的“4重覆盖函数”；

(3)已知，，若为的“3重覆盖函数”，求实数的范围.

3．（2023·四川凉山·二模）已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．

4．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知函数满足恒成立.

(1)求的取值范围；

(2)设，求在上的零点个数；

(3)在（2）的条件下，设在上最小的零点为，若且，求证：.

5．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知函数，

(1)若，试确定函数的单调区间；

(2)若，且对于任意，恒成立，求实数k的取值范围；

(3)令，若至少存在一个实数，使成立，求实数k的取值范围.

6．（2023·全国·模拟预测）已知函数.

(1)若在上的最大值为，求实数的值.

(2)若存在两个零点，.

①求实数的取值范围；

②证明：.

7．（2023·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增.

(1)求的最大值；

(2)证明：当时，在上仅有一个零点.

8．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.

(1)若，

（i）求的极值.

（ii）设，证明：.

(2)证明：当时，有唯一的极小值点，且.

9．（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）已知函数.

(1)证明：函数有且只有一个零点；

(2)设，，若是函数的两个极值点，求实数的取值范围，并证明.

一、解答题

1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．

2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

4．（2022·北京·统考高考真题）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，讨论函数在上的单调性；

(3)证明：对任意的，有．

5．（2022·天津·统考高考真题）已知，函数

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若和有公共点，

（i）当时，求的取值范围；

（ii）求证：．

6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点

①；

②．

9．（2020·山东·统考高考真题）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．