2023年福建省龙岩市中考二模数学试卷（含答案）

2023年龙岩市九年级学业（升学）质量检查

数学试题

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．

1．2023的相反数是（    ）

A．2023    B．－2023   C．   D．

2．如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（    ）

A．     B．

C．     D．

3．下列大学校徽内部图案中， 可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ）

A．  B．  C．  D．

4．下列运算正确的是（    ）

A．      B．

C．      D．

5．若在单词“mathematics（数学）”中任意选择一个字母，则事件“所选字母为元音字母”的概率是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A．     B．

C．    D．

7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题：“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”其大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马、小马各多少匹？若设大马有x匹，小马有y匹，则可列方程组为（    ）

A．      B．

C．      D．

8．在平面直角坐标系中，若将点绕原点O顺时针旋转90°得点Q，则点Q的坐标是（    ）

A．   B．   C．   D．

9．已知反比例函数的图象如图所示，若点P的坐标为，则k的值可能为（    ）

A．3    B．6    C．7    D．8

10．在中，，，，点D（不与C重合）是线段BC上的动点，将沿AC翻折得，当时，四边形ADCE的面积为（    ）

A．    B．   C．    D．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．一元二次方程的两个根为______．

12．若某公司25名员工年薪的具体情况如下表：

则该公司全体员工年薪的众数是______万元．

13．若三角形的三边的长都是整数，其中两边长分别为2和5，则第三边的长可以是______．（只需写出一个符合条件的整数）

14．若圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是______．

15．龙岩市某校八年级“数学好玩”兴趣小组利用“五一”假期开展数学活动．

小组发现：水龙头关闭不严会造成漏水现象．

问题提出：如果每10户家庭大约有1个水龙头关闭不严，那么全市一天会浪费多少水？

大胆设问：漏水量与漏水时间存在一定的数量关系．

小组成员小帅：我从一个关闭不严的水龙头10分钟收集到60毫升的水；

小组成员小蒙：我在小帅的同一个关闭不严的水龙头中，15分钟收集到90毫升的水；

小组成员小芳：据龙岩市统计局官网“龙岩统计年鉴-2022”中显示，2021年龙岩市全市总户数为103万户；

小组组长小蕾：假设每个关闭不严的水龙头漏水均匀且速度相同，根据小芳所获得的信息，可估计全市每天大约有10万个水龙头因关闭不严漏水．这样，就可以计算出全市一天因水龙头关闭不严大约会造成多少水资源浪费了．

请你根据该“数学好玩”兴趣小组提供的信息，估算龙岩市每天因10万个水龙头关闭不严而造成浪费的水有______毫升（用科学记数法表示）．

16．若抛物线（，）经过，两点，则下列结论：①；②；③当时，函数值y随x的增大而增大．

其中结论一定正确的有______．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（8分）计算：

18．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F是直线AC上的两点，且，连接DE，DF，BE，BF，求证：．

19．（8分）先化简，再求值：，其中．

20．（8分）如图，点C是的中点，直线EF与相切于点C，直线AO与切线EF相交于点E，与相交于另一点D，连接AB，CD．

（1）求证：；

（2）若，求∠DCF的度数．

21．（8分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．

频数分布表

请根据图表中的信息解答下列问题：

（1）频数分布表中的______，______；

（2）教育部规定中小学生每天在校体育锻炼时间不少于1小时．若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生达到教育部规定的体育锻炼时间的人数．

22．（10分）近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年“五一”期间龙岩旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超2000%．世界文化遗产——福建土楼（龙岩·永定）是热门的旅游目的地之一．某土楼纪念品专卖店积极为“五一”黄金周作好宣传与备货工作．已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元；用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同．专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元，每个乙种纪念品售价定为8元．

（1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？

（2）根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．

23．（10分）如图，已知中，，．

（1）求作点D关于直线AB的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下连接AE，BE，求证：．

24．（12分）在中，，∠CAB的平分线交BC于点D，将BD绕点B顺时针旋转到BE，BD与BE在AB的同一侧，且，过点E作于点F．

（1）如图1，若，求∠ADB的度数；

（2）求证：A，D，E三点在同一直线上；

（3）如图2，若，，求AB的长．

25．（14分）如图，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点P是线段BC上的动点，连接AP，在AP上方作，PE交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当PE平分∠APC时，求PE的长；

（3）已知点D在x轴上，且，连接DC交PE于点F，若，求点P的坐标．

2023年龙岩市九年级学业（升学）质量检查

数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分。

10．【解析】中，，，∴

当时，，

由沿AC翻折得可得，即和都是等边三角形．

在中，，，，∴，

∵沿AC翻折得，

∴，

∴和都是等边三角形．

∴，

∴四边形ADCE的面积的面积的2倍的面积．

二、填空题：本大题共6题，每题4分，共24分。

11．，  12．3.5  13．4或5或6  14．  15．

16．①③

【解析】法一：∵抛物线经过，两点，

∴，解得：，

∵，∴，，∴，∴成立，即①正确；

，

当时，；

当时，，∴不一定成立，即②不一定正确；

抛物线的对称轴，

抛物线开口向上，当时，函数值y随x的增大而增大．即③正确．

法二：已知抛物线经过，，，其中点C在y轴负半轴，可以画出该抛物线的大致图象如图，

因为，，∴抛物线的对称轴直线，，

观察图象可知，，，，即①正确．

抛物线开口向上，当时，函数值y随x的增大而增大．即③正确．

时，，从抛物线的大致图象无法确定y值符号，∴②不一定正确．

三、解答题：本大题共9题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（8分）解：原式

18．（8分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，，

∴，

∴，即，

在和中，，

∴（SAS），∴．

证法二：连结BD交EF于O点，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，，

∵E，F在直线AC上，，

∴，

∴四边形BEDF是平行四边形，∴．

19．（8分）解：原式

当时，原式．

20．（8分）证明：（1）连接OC，OB

∵点C是的中点，∴，∴，

又∵，∴（备注：写成“∵点C是AB的中点，∴，”不扣分）

∵直线EF与相切于点C，∴，

∴；

（2）∵，∴，

∴，

由（1）知，，

∴，即，

∵，，∴，∴，

∴．

21．（8分）解：（1）根据频数分布表中A组的频数为2和扇形统计图中A组的占比为5%可得，

∴，；（注：无过程不扣分）

（2）由（1）知，A组和B组是不符合教育部规定体育锻炼时间的人群，其人数占比为，

∴符合教育部规定体育锻炼的占比为，

∴该校九年级的480名学生中，达到教育部规定体育锻炼时间的人数大约为．

22．（10分）解：（1）设每个乙种纪念品进价为x元，则每个甲种纪念品的进价为元，

依题意有，解得：，

经检验，是原分式方程的解，，

∴每个甲种纪念品和乙种纪念品进价分别是10元和6元．

（2）设进货方案是甲种纪念品进货y个，那么乙种纪念品进货个，

∵进货资金不超过3000元，∴，解得，

由题意，专卖店获得的销售利润为，

∵W随着y的增大而增大，∴当时，W有最大值950，

∴该专卖店获销售利润最大的进货方案是甲种纪念品进货150个，乙种纪念品进货250个．

23．（10分）

解：（1）作法一：    作法二：    作法三：

（2）证明：方法一：过E作交BC于F，则．

由作法得，，，

∵，∴，

∴，

∴四边形ACFE是平行四边形，

∴，，

∵，∴，

∴，∴，

∴．

方法二：过A，E分别作，，垂足分别为G，H，

由作法得，，，

∵，∴，

∴，∴，

∵，，

∴，∴，

∴，

∵，

∴，∴．

24．（12分）解：（1）∵，∴，

∵AD平分∠CAB，∴，

∵，∴，

∴；

（2）方法一：连接DE，过点B作于点H，则，

由旋转得，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴

∵AD平分∠CAB，∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴A，D，E三点在同一直线上．

方法二：连接DE，

在中，，，

∵，，

∴，，

∴，

中，，

∵AD平分∠CAB，∴，

∴，

∴，

∵，∴，

∴，

∴A，D，E三点在同一直线上．

方法三：连接AE，过点D作于G，

∵，即，AD平分∠CAB，

∴，，

∴（AAS），

∴，

∵，，

∴，∴,

∵，，

∴，

∵，

∴，∴，

∴A，D，E三点在同一直线上．

（3）解法一：过点D作于G，

∵，即，AD平分∠CAB，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴（AAS），

∴，∴，

∵，∴，

∴．

∴，则，

∴

∵，，

∴，∴，即，

∴，则，

∴．

解法二：过点D作于G，

∵，即，AD平分∠CAB，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴（AAS），∴，

∵，∴，

在中，，

∴，，

∵，，

∴，

∵，

∴，∴，即，解得：．

解法三：过点D作于G，过B作于H，

则，

∵，即，AD平分∠CAB，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴（AAS），

∴，∴，

∵，，∴，

∴，

∴，则，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，∴，即，

∴．

解法四：过点D作于G，过B作于H，

∵，即，AD平分∠CAB，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴（AAS），

∴，∴，

∵，，∴，

∴，

∴，则，

∴，

∵，，

∴，∴，即，

∴，∴，

∵，，

∴，，

在和中，

，即，

∵，∴．

【在中，】

25．（14分）解：（1）直线的解析式为，当时，；当时，，

∴，，

∵抛物线经过B，C两点，

∴，解得：，，

∴抛物线的解析式为；

（2）∵，，

当PE平分∠APC时，，

∴，

∴，，

∴点P在抛物线的对称轴上，点P，E的纵坐标相同，

∵当时，

∴，

∴，整理得：，

解得：，

∵点E在AP上方的抛物线上，

∴点E的坐标为，∴；

（3）由，，得，，

∴，，，

设，则，

在中，根据勾股定理，，

解得：，∴，，

∵，∴，

∵，

又∵，∴，

∵，∴，∴，

∴，∴，

由，，可知，

法一：设，则，代入上式，

，整理得，

解得：，

∴或，

过点P作于点M，则，

∴,

①当时，，

解得：，，∴，

点P的坐标为；

②当时，

解得：，，∴，

点P的坐标为；

综上所述，点P的坐标为或；

法二：设，过点P作于点M，则，

∴，即

∴，，，，

∴

∵

∴，∴，即，

解得：，

∴，．