专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(全国通用，含解析)（原卷版）

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第四部分 三角形
专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）
核心考点
核心考点一 特殊角的三角函数值及其计算
核心考点二 由三角函数值求锐角
核心考点三 锐角三角函数的增减性
核心考点四 解直角三角形及其应用
核心考点五 三角函数的综合
新题速递

核心考点一 特殊角的三角函数值及其运算

例1 （2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（   ）

A． B． C． D．

例2 ．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．

例3 （2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：



小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．







知识点：特殊角的三角函数值
1. 图表记忆
三角函数

图形记忆
30°
45°
60°











1


2. 规律记忆
30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，；
30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。




【变式1】（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以点A为圆心、AB长为半径的弧BE与DC相交于点E，点E为DC的中点，则由BC、CE和弧BE围成的阴影部分图形的面积是（   ）

A． B． C． D．
【变式2】（2022·河南洛阳·统考二模）如图1，在中，，点D是边上的中点，点P从的顶点A出发，沿的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．线段的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则的面积为（    ）

A．4 B． C．8 D．
【变式3】（2020·四川自贡·校考一模）在中，若，，都是锐角，则是______三角形．
【变式4】（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′．当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________．

【变式5】．（2021·新疆乌鲁木齐·校考三模）计算：






核心考点二 由三角函数值求锐角

例1 （2021·山东泰安·统考中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（   ）

A．50° B．48° C．45° D．36°
例2 ．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留）

例3 （2021·山东菏泽·统考中考真题）在矩形中，，点，分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处．

（1）如图1，当与线段交于点时，求证：；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，求证：点在线段的垂直平分线上；
（3）当时，在点由点移动到中点的过程中，计算出点运动的路线长．











【变式1】（2022·山东滨州·统考一模）如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，sinD=,则BC的长为（    ）

A． B． C． D．
【变式2】（2022·山东·统考二模）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ）

A． B． C． D．
【变式3】（2021·贵州遵义·统考一模）在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结合图形进行了操作（如图所示）．在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走80m到达D点，测出塔顶的仰角为45°，那么塔AB的高为____________m（计算结果精确到0.1m，参考数据：，）．

【变式4】．（2022·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，连结，过点作轴于点，，，把绕点逆时针旋转后，得到，则点的坐标为______．

【变式5】（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛千米的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．

(1)渔船航行多远距离小岛最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结果精确到1千米，参考数据）









核心考点三 锐角三角函数的增减性

例1 （2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
例2 （2022·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为__________．

例3 （2021·浙江宁波·统考一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离．

（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高；
（2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？







1. 三角函数值的变化规律
①当角度A在0°—90°间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
②当角度A在0°—90°间变化时，余弦值和余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。




【变式1】（2020·甘肃张掖·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（   ）
A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0