中职物理高教版（2021）通用类主题一 运动和力第五节 牛顿运动定律及其应用教学设计

2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束

(1)     空间任意力系的平衡方程

空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零. 空间任意力系的平衡方程:

(基本式)

空间任意力系平衡的充要条件：力系中各力在任一坐标轴上的投影的代数和等于零，以及各力对每一个坐标轴的力矩的代数和也等于零.

空间任意力系的

平衡方程(基本式)

平衡方程除了基本式之外，还有四矩式、五矩式、六矩式。

有几个力矩平衡方程，称之为几矩式。

基本式以外的方程形式，通常不再给限定条件，一般的情况下只要列出的方程能求解出未知量即是未违反限制条件。

各种形式应该根据实际情况灵活运用。

空间平行力系的平衡方程

Fz   0

Mx   0

My   0

三个方程，能求解三个独立的未知量。

各种力系的独立平衡方程个数

(2)     空间常见约束类型

1. 1个未知约束量

二力杆

2. 2个未知约束量

径向轴承

蝶铰链

3. 3个未知约束量

4. 4个未知约束量

导向轴承 万向接头

5. 5个未知约束量

带有销子的夹板 导轨

6. 6个未知约束量

空间固定端约束

分析实际的约束时，需要忽略一些次要因素，抓住主要因素，做一些合理   的简化。比如导向轴承和径向轴承之间的区别；蝶铰链和止推轴承之间的   区别。如果刚体只受平面力系的作用，则垂直于该平面的约束力和绕平面   内两轴转动的约束力偶都应该为零，相应减少了约束量的数目。

例1 车床主轴如图所示，已知车刀对工件的切削力为：径向切削力Fx=4.25kN

纵向切削力Fy=6.8kN，主切削力(切向)Fz=17kN，方向如图。在直齿轮C上有切向力Ft和径向力Fr，且Fr=0.36Ft。齿轮C的节圆半径R=50mm，被切削工件的半径r=30mm,卡盘及工件等自重不计，其余尺寸如图所示。当主轴匀速转   动时。

求：(1) 齿轮啮合力Ft及Fr；(2) 径向轴承A和止推轴承B的约束力；(3) 三爪卡盘E在O处对工件的约束力。

解: (1) 取主轴及工件组成的整体为研究对象，

分析受力。

在Axyz坐标系下，列平衡方程：

F  0 F  F  F

 F  0 F

 x Bx t

Ax x B y

Fy   0 FBy  Fy   0

Fz  0 FBz Fr FAz Fz  0

Mx F  0

My F  0

 (488  76)FBz  76Fr

Ft  R Fz r  0

 388Fz  0

z

  r Fz

 Mz F   0

(488  76)FBx   76Ft

 388Fx  30Fy  0

Fx x

又： Fr

 0.36Ft ,

R Ft

Fr

左视图（从左往右看）

空间任意力系及重心的计算 

(2) 取工件为研究对象，建立Oxyz坐标系，分析受力。

Fx   0

FOx

   Fx  0

z

100

Fy   0

FOy  Fy  0

FO z Fz

z

O F

 30

Fx y

Fz   0

FOz

   Fz  0

Mx

y

FO x

O y

Fy D

 M x F   0

100FZ

   Mx  0 x

 M y F   0

   30FZ

    M y  0

 Mz F   0

100Fx

  30Fy

   Mz  0

FOx

 4.25kN, FOy

 6.8kN, FOz

 17kN

 Mx

 1.7kN  m, M y

 0.51kN m, Mz

 0.22kN  m

空间任意力系有6个独立的平衡方程，可求解6个未知量，但其平衡方程不局限于本例的形式。为了使解题简便，每个方程中最好只包含一个未知量。为此，选投影轴时应尽量与其余未知力垂直；选取矩轴时应尽量与其余的未知力平行或相交。投影轴不必相互垂直，

取矩轴也不必与投影轴重合，力矩方程的数目可取3个至6个。

空间任意力系及重心的计算 

例2 已知均质水平长方板重为P,用六根无重直杆支承，直杆两端各用球铰链与板和地面连接，板长宽分别为b，a，离地面高度为b. A点作用水平力F=2P，

求各根杆的受力。

z

解：取均质板为研究对象，各杆均为二力杆，编号 b

如图。假设杆都受拉力，分析板的受力。

 M AB (F )  0

    F6

 a  P  a  0

a D          C

F

2 F A

6 b

F11 H P F5 6

 M AE (F )  0

 M AC (F )  0

 MBF (F )  0

 F5    0

 F4    0

 F1     0

F2 F3

2

x E

5 G y

3 4

F

 M (F )  0

Fb  P  b  F

 b  0

FG 2 2

 M (F )  0

   F  b 

P  b  F

cos 45  b  0

BC 2 2 3

空间任意力系及重心的计算