高教版（2021）通用类第五节 牛顿运动定律及其应用教案

虚位移（虚功）原理

曾凡林

哈尔滨工业大学理论力学教研组

本讲主要内容

1、约束及其分类

2、虚位移、虚功及理想约束

3、虚位移（虚功）原理

1、约束及其分类

约束

限制质点或质点系(系统)运动的条件称为约束. 这个限制条件的数学方程称为约束方程.

fs (x1 ,

y1 , z1 ,, xN ,

yN , zN ; x1 ,

y1 , z1,, xN ,

yN , zN ;t)  0

1. 几何约束和运动约束

s  1,2, , m

m  3 N

1.1   几何约束：仅限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。

fs (xk ,

如右图

yk ,

zk ;t)  0

x2  y2  l 2

f  x, y, z   0

1.2   运动约束：既限制质点系的位置又限制运动速度的约束。

fs (xk ,

yk ,

zk ;

xk ,

yk ,

zk ;t)  0

纯滚动条件：

vA

x A

 r  0

 r  0

2        定常约束和非定常约束

2.1   定常约束：约束条件不随时间变化(不显含t)的约束(稳定约束)。

fs (xk ,

yk ,

zk ;

xk ,

yk ,

zk )  0

x2  y2  l 2

2.2   非定常约束：约束条件随时间变化(显含t)的约束(不稳定约束)。

fs (xk ,

yk ,

zk ;

xk ,

yk ,

zk ;t)  0

x2  y2

 l0

   vt 2

3        其他分类的约束

3.1   非完整约束：约束方程中包含坐标对时间的导数, 且不可能积分成有限形式的约束(不可积分的运动约束) 。

fs (xk ,

yk ,

zk ;

xk ,

yk ,

zk ;t)  0

3.2   完整约束：约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式的约束(几何约束或可积分的运 动约束) 。

fs (xk ,

yk ,

zk ;t)  0

fs (xk ,

yk ,

zk ;

xk ,

yk ,

zk ;t)  0

3.3   双侧约束：约束方程是等式的约束(固执约束)。

fs (xk ,

yk ,

zk ;

xk ,

yk ,

zk ;t)  0

x2  y2

 l 2

y  C

3.3 单侧约束：约束方程是不等式的约束(非固执约束)。

fs ( xk ,

fs ( xk ,

yk ,

yk ,

zk ;

zk ;

xk ,

xk ,

yk ,

yk ,

zk ;t)  0

zk ;t)  0

x2  y2

 l 2

y  C

4. 本讲所讨论的约束

仅讨论定常的双侧、完整、几何约束

fs (x1 ,

y1 ,

z1 ,, xN ,

yN , zN )  0

N为质点数，m为约束方程数.

s  1,2, , m

m  3 N

x2  y2  l 2